第五章 图像复原(恢复)

即满足所谓的齐次性和叠加性条件，则成系统H为线性系统， 对二维空间函数，如果H还满足：
H [ f ( x − α , y − β )] = g ( x − α , y − β )
则成该系统为线性空间（位置）不变系统，即系统在某 点的响应只与该点的值有关，而与其位置无关。 尽管现实世界多为非线性和空间变化系统，但通常难以 直接解决问题。通常须采用线性系统的成熟理论基础， 把系统进行线性空不变近似来解决图像复原问题。
⋯ he ( j,1) ⋯ he ( j,2) ⋯ he ( j,3) ⋱ ⋮ ⋯ he ( j,0)
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(3)n是MN 维噪声向量，则最后的退化模型为： n
g = Hf + n
因此，图像复原的过程就是在已知退化图像g的情况下，通过 退化参数H和n的有关先验知识，尽可能对原图像对最好最准 确的估计。
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5.1.2 连续退化模型
根据二维冲激函数δ(x, y)的卷积取样特性，对线性系统H：
f ( x, y ) =
+∞ +∞
−∞ −∞
∫∫
f (α , β )δ ( x − α , y − β )dα d β
g ( x, y ) = H [ f ( x, y )] = H[ ∫ = =
+∞ +∞ +∞ +∞
f. 双极脉冲（椒盐）噪声
Pa for z = a p ( z ) = Pb for z = b 0 otherwise
当Pa或Pb中有一个为零时，则称是单极的；当没有一个为零时，称为双 极的，当二者近似相等时，噪声象散布的椒盐粒子，所以通俗叫椒盐噪 声。由于脉冲噪声相对于图像强度大得多，通常被数字化成图像的极值 （纯黑或白）. 以上几种噪声各有特点，可以用于不同场合的噪声建模，见p226。 21
5.1 图像退化/恢复过程模型 图像退化/
图象退化的原因： （1）摄影时照相机镜头的移动； （2）放大镜凸透变形； （3）传感器、数字化仪、显示设备质量下降等。 图象退化/恢复过程模型（假定已有退化过程H和加性噪声 的一些知识）： g(x,y) f(x,y) 退化函数H 退化过程 图 5.1
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+ n(x,y)
fe(x)、 he(x)均是长度为M的周期延拓函数，其卷积为
g e ( x ) = ∑ f e ( m) he ( x − m)
m =0
M −1
x = 0,1,2, ⋯ , M − 1
ge(x)也是长度为M的周期性离散函数。
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若把fe(x)、 ge(x) 表示成向量形式：
f = [ f e (0), f e (1), ⋯ , f e ( M − 1)]T g = [ g e (0), g e (1), ⋯ , g e ( M − 1)]T
f e ( x ), he ( x ),
x = 0,1,2, ⋯ , M − 1 x = 0,1,2, ⋯ , M − 1
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其中， ≥ A + B − 1 M
也即：
f ( x) 0 ≤ x ≤ A − 1 f e ( x) = A ≤ x ≤ M −1 0 h( x) 0 ≤ x ≤ B − 1 he ( x ) = B ≤ x ≤ M −1 0
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此时，退化系统可以表示为如下模型(即为卷积积分）：
g ( x, y ) =
+∞ +∞
−∞ −∞
∫∫
f (α , β )h( x − α , y − β )dα d β
当成像过程中还存在加性噪声时，可进一步表示为：
g ( x, y ) =
+∞ +∞
−∞ −∞
∫∫
f (α , β )h( x − α , y − β )dα d β + n( x, y )
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5.2 常见噪声模型
数字图像的噪声主要来源于图像采集（成像传感器、数字化） 和图像传送（通道干扰）等过程。 噪声种类：白噪声（傅立叶谱为常数）、空间周期噪声。 除了周期噪声外，一般为简化问题的分析，都把噪声看出与空 间和图像均无关。 一些重要的噪声模型及概率密度函数(PDF): a. Gassian或正态噪声（最理想的临界模型）：
⋯ he (−M +1) ⋯ he (−M + 2) ⋯ he (−M + 3) ⋱ ⋮ ⋯ he (0)
利用周期性：he(x)=he(x+M)， H可以写成如下的循环矩阵 （方阵，每一行是前一行循环右移一位的结果）：
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he (M −1) he (M − 2) he (0) h (1) he (0) he (M −1) e H = he (2) he (1) he (0) ⋮ ⋮ ⋮ he (M −1) he (M − 2) he (M − 3)
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噪声参数估计
1. 对周期噪声，从图像傅立叶变换的谱峰就能估计； 2. 有些噪声参数可以直接从成像传感器的产品说明书上得到； 3. 通常的方法是选择图像的一块小的背景灰度近似为常数的区域来 估计。通过直方图来估计形状（参照前六种噪声）与方程和均值 参数，再通过二者来计算参数a和b，如对一小块背景灰度看上去 几乎不变的区域S：
第五章 图像复原（恢复） 要点： 要点：
退化模型
–连续系统表示 连续系统表示 –离散向量空间表示 离散向量空间表示
噪声模型 恢复方法
–滤波法 滤波法 –代数法 代数法 –非线性法 非线性法 –约束点扩展函数解卷法 约束点扩展函数解卷法
1
几个概念：
图象增强：旨在改善图象质量，增强视觉效果， 图象增强： 比较主观和启发式的过程。如：对照度拉伸 图象恢复：力求保持图象的本来面目，以保真原 图象恢复： 则为前提，找出图象降质的原因，描述其物理过程， 提出数学模型。大部分是一个客观的过程。如：图 像去模糊。 基本思路：利用某种先验知识对退化过程建模， 并在某个质量准则下，应用其逆过程来得到原图像 的最优化估计。 退化：图像 退化：图像质量下降。有代表性的一种现象—图 象模糊。
µ = 1/ a; σ 2 = 1/ a 2 ; a > 0;
该DPF是Erlang密度的特殊情况，即b=1
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e.均匀噪声
1 p( z ) = b − a 0 其中： for a ≤ z ≤ b otherwise
µ = (b + a) / 2; σ 2 = (b − a )2 /12
则循环卷积为:
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g ( x, y) = ∑∑ f e (m, n)he ( x − m, y − n)
m =0 n =0
M −1 N −1
x = 0,1,2......M − 1 y = 0,1,2......N − 1
写成矩阵形式 :
g = Hf f、g是MN维向量，H是MN × MN矩阵。
H是分块循环矩阵。即：
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H0 HM −1 HM −2 H H0 HM −1 1 H = H2 H1 H0 ⋮ ⋮ ⋮ HM −1 HM −2 HM −3
其中：
⋯ H1 ⋯ H2 ⋯ H3 ⋱ ⋮ ⋯ H0
he ( j,0) he ( j, N −1) he ( j, N − 2) h ( j,1) he ( j,0) he ( j, N −1) e Hj = he ( j,2) he ( j,1) he ( j,0) ⋮ ⋮ ⋮ he ( j, N −1) he ( j, N − 2) he ( j, N − 3)
2
退化例子
j i Digital video camera Direction of motion of belt Object to be imaged Conveyor belt Figure 1 Imaging of object moving at constant velocity.
3
4
几种噪声模型的图形特征：
[a] [b] [c] [d] [e] [f]
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不同噪声特征的测试说明实验：
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g. 再讨论一种与空间相关的噪声——周期噪声
周期噪声主要来自于电子机械的干扰，通常由各种不同频率的正弦波或 余弦波组成，对图像中的每一种频率的正弦噪声(如果强度足够强的 话），其频率域变换表现为一对相对于频率域原点对称的脉冲。因此， 周期噪声很容易通过频率域滤波方法滤除。
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对线性空间不变系统，图5.1可以用如下的函数式表示： 空间域：
g ( x, y ) = h ( x, y ) * f ( x, y ) + n Fra bibliotek x , y )
频率域：
G (u, v) = H (u, v) F (u, v) + N (u, v)
对这样的系统，图像恢复也称为图像解卷(deconvolution)， 而在恢复过程中所使用的滤波器也称为解卷滤波器。
⋯ he (1) ⋯ he (2) ⋯ he (3) ⋱ ⋮ ⋯ he (0)
(2) 二维空间推广
f(x,y)、h(x,y)均匀采样，样本数分别为A*B，C*D。周 期性地延拓成M*N样本
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f ( x, y ) 0 ≤ x ≤ A − 1和0 ≤ y ≤ B − 1 f e ( x, y ) = A ≤ x ≤ M − 1和B ≤ y ≤ N − 1 0 h ( x, y ) 0 ≤ x ≤ C − 1和0 ≤ y ≤ D − 1 he ( x, y ) = C ≤ x ≤ M − 1和 D ≤ y ≤ N − 1 0
则循环卷积可以写成如下的矩阵形式：
g = Hf
H是如下的M*M的矩阵。
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he (−1) he (−2) he (0) h (1) he (0) he (−1) e H = he (2) he (1) he (0) ⋮ ⋮ ⋮ he (M −1) he (M − 2) he (M − 3)
1 − ( z − µ )2 / 2σ 2 p( z ) = e 2πσ
b. Rayleigh 噪声（适合用在近似有偏斜的直方图）: 其中：
2 2 ( z − a )e − ( z − a ) / b for z ≥ a p( z ) = b 0 for z < a
µ = a + πb / 4 σ 2 = b(4 − π ) / 4
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c. Erlang (Gamma)(密度）噪声
a b z b −1 − a z e p ( z ) = ( b − 1) ! 0 其中： fo r z ≥ 0 fo r z < 0 a , b > 0; b ∈ Z
µ = b / a; σ
2
= b / a2;
d. 指数噪声
ae− az p( z ) = 0 其中： for z ≥ 0 for z < 0
恢复滤波器 恢复过程
f(x,y)的最 优估计
f ( x, y )
5.1.1 系统H的基本定义 系统H
设两个输入信号f1(x, y)和f2(x, y)，经过系统H的对应输出为 g1(x, y)和 g2(x, y)，且满足：
H [k1 f1 ( x, y ) + k2 f 2 ( x, y )] = k1 g1 ( x, y ) + k2 g 2 ( x, y )
−∞ −∞
∫
f (α , β )δ ( x − α , y − β )dα d β ]
−∞ −∞ +∞ +∞
∫ ∫ H [ f (α , β )δ ( x − α , y − β )]dα d β ∫∫
f (α , β ) H [δ ( x − α , y − β )]dα d β
−∞ −∞
令（x, α , y , β ) = H [δ ( x − α , y − β )]; 此时该积分叫做第一类叠加积分，或Fredholm积分。 h 当H同时为空间不变时：H [δ ( x − α , y − β )] = （x − α , y − β ) h
且噪声和系统是独立的，也和位置无关。
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5.1.3 离散时退化模型的向量空间表示
为便于计算机实现，需将退化模型离散化。
(1) 先讨论一维卷积
对f(x)及h(x)均匀采样,样本数分别为A及B,即
f(x) x=0,1,---,A-1 h(x) x=0,1,---,B-1
离散循环卷积是针对周期函数定义的，为了不致使离散循环 卷积的周期性序列之间定发生相互重叠现象（卷绕效应），必 须把函数f(x)和h(x)周期性地延拓成（参考教材p200）：