人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形考试复习试题(含答案) (8)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形

考试复习试题（含答案)

如图，已知等边△ABC中，D为边AC上一点．

（1）以BD为边作等边△BDE，连接CE，求证：AD=CE；

（2）如果以BD为斜边作Rt△BDE，且∠BDE=30°，连接CE并延长，与AB的延长线交于F点，求证：AD=BF；

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）欲证明AD=CE，只要证明△ABD≌△CBE即可；

（2）如图2中，倍长BE到H，连CH，DH．首先证明△DBH是等边三角形，由（1）可知，△ABD≌△CBH，推出AD=CH，∠A=∠HCB=∠ABC=60°，推出BF∥CH，推出∠F=∠ECH，再证明△EBF≌△EHC，推出BF=CH，由此即可证明．

（1）证明：如图1中，

∵△ABC，△BDE都是等边三角形，

∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABD=∠CBE，

在△ABD和△CBE中，

AB BC

ABD CBE BD BE

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△ABD≌△CBE，

∴AD=CE．

（2）如图2中，倍长BE到H，连CH，DH．

∵BE=EH，DE⊥BH，

∴DB=DH，∠BDE=∠HDE=30°，

∴∠BDH=60°，

∴△DBH是等边三角形，

由（1）可知，△ABD≌△CBH，

∴AD=CH，∠A=∠HCB=∠ABC=60°，

∴BF∥CH，

∴∠F=∠ECH，

在△EBF 和△EHC 中，BEF CEH F ECH BE EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴△EBF ≌△EHC ，

∴BF=CH ，

∴AD=CE ．

点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形30°角的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形.

72．如图1，等腰△ABC 中，AC =BC

＝∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，D 为线段AO 上一动点，以CD 为一边在CD 下方作等腰△CDE ,使CD =CE 且∠DCE=45˚，连结BE .

(1) 求证：△ACD ≌△BCE ；

(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、CQ,若CP ＝CQ ＝5,求PQ 的长.

(3) 连接OE ，直接写出线段OE 的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）

OE=4-【解析】

试题分析：()1根据SAS 即可证得ACD BCE ≌；

()2首先过点C 作CH BQ ⊥于H ，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC ∠=︒， 则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ 的长．

()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.

试题解析：()1 证明：∵△ABC 与△DCE 是等腰三角形，

∴AC =BC ,DC =EC ,45ACB DCE ∠=∠=，

45ACD DCB ECB DCB ∴∠+∠=∠+∠=，

∴∠ACD =∠BCE ；

在△ACD 和△BCE 中，

,AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

(SAS)ACD BCE ∴≌；

()2首先过点C 作CH BQ ⊥于H ，

(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，

∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，

45DAC ∴∠=，

ACD BCE ≌，

45PBC DAC ∴∠=∠=，

∴在Rt BHC 中,422

CH BC =⨯

==， 54PC CQ CH ===，，

3PH QH ∴==，

6.PQ ∴= ()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值. 最小值为：4OE =-

73．如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点， BE 交AD 于F ，且有DC=FD ，AC=BF ．

（1）说明△BFD ≌△ACD ；

（2）若10AB ，求AD 的长；

（3）请猜想BF 和AC 的位置关系并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）BF ⊥AC.

【解析】

试题分析：（1）在Rt △ACD 和Rt △BFD 中，根据直角边DC =FD 和斜边AC =BF 对应相等，可证明△BFD △△ACD ；

（2）由（1）知：AD =BD ，又AD △BC ，△ADB 为等腰直角三角形，已知斜边AB 的长，运用勾股定理可将AD 的长求出；

（3）由△ADC△△BDF，得到∠EBC=△DAC，又因为△DAC+△ACD=90°，所以△EBC+△ACD=90°，则BE△AC，即BF△AC．

试题解析：解：（1）△AD是ABC的高，△△ACD与△BFD都是直角三角形，△DC=FD，AC=BF，△Rt△ACD△Rt△BFD．

（2）△Rt△ACD△Rt△BFD，△AD=BD．

在Rt△ACD中，△AD

2+BD2=AB2，△2AD2=AB2，△AD=；

（3）△△ADC△△BDF，△△EBC=△DAC．

又△△DAC+△ACD=90°，△△EBC+△ACD=90°，△△BEC=90°，△BE△AC，即BF△AC．

点睛：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．

74．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．

（1）求证：△ADE≌△ABF；

（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）50.

【解析】

试题分析：（1）利用正方形性质得到边相等角相等，利用SAS证明