2023年上海奉贤中学高二下期中数学试卷及答案

奉贤中学2023学年第二学期高二年级数学期中
一、填空题（本题共12题，满分54分，1—6每题4分，7—12每题5分）
1.各项为正数的等比数列
{}n a 中，151,16a a ==，则公比是__________.
2.已知抛物线
22(0)y px p =>的焦点坐标为()2,0，则p 的值为___________.3.设
()
P M 表示事件M 发生的概率，若
()()112
,,()243P A P B A P B A =
==∣∣，则
()P B =
__________.
4.已知等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：27129a a a ++=，则13S =__________．
5.已知一个随机变量X 的分布列为101a b c -⎛⎫
⎪⎝⎭，若b 是a ，c 的等差中项，则b =__________.
6.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______．
7.圆锥曲线
22
1x my +=的焦点在x 轴上，离心率为1
2，则实数m 的值是__________.8.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若[]50E X =，[]30
D X =，则p 的值为
_________.
9.已知变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则变量x ，y 之间的相关系数
r =__________.(计算结果精确到0.01)
x
681012y
6
5
3
2
10
.
已知数列
{}n a 中，0n a >，且对于任意正整数n 有
112n n n S a a ⎛⎫
=
+ ⎪⎝⎭
，则
n S =
_________.
11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物
不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2023这2023个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为
__________.12.已知数列
{}n a 中，213a a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，且满足
(
)2*
11322,N n n n S S S n n n +-++=+≥∈．若对任意*
N n ∈，都有1n
n a
a +<，则首项1a 的
取值范围是______．
二、单选题（本题共4题，满分18分，13，14每题4分，15，16每题5分）
13.用最小二乘法求回归方程是为了使（）
A.
()1
n i
i y y =-=∑ B.
(
)1
n
i i y y =-=∑ C.
()1
n
i
i y y =-∑最小 D.
()2
1
n
i
i y y =-∑最小
14.已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是A.132
2a a a +≥ B.2
2
2
132
2a a a +≥C.若13a a =，则12
a a = D.若31a a >，则42
a a >15.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，
()()
2212~N ,6,~N ,2X Y μμ．X 和Y 的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是
（
）
A.
()6
D X = B.12
μμ>C.(38)(38)P X P Y ≤<≤ D.(34)(34)
P X P Y ≤<≤16.数列{}n a 满足132a =，2
11n n n a a a +=-+，*n ∈N ，则122022
111a a a +++ 的整数部分
是（）
A .
1
B.2
C.3
D.4
三、解答题（本题共5题，满分78分，17—19每题14分，20，21题每题18分）
17.如图，
在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，3PA =，设E 为侧棱PC 的中点
.
（1）求四棱锥E ABCD -的体积V ；（2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小.
18.为了推进国家“民生工程”，
某市现提供一批经济适用房来保障居民住房.现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供,,A B C ,3人申请，且他们的申请是相互独立的.（1）求,A B 两人不申请同一套住房的概率；
（2）设3名申请人中申请甲套住房的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
19.近两年，
直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达
40%，每年年底把除运营成本a 万元，再将剩余资金继续投入直播平合.
（1）若100a =，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？
（2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到0.1万元）
20.如果数列{}n a 对任意的*N n ∈，211n n n n a a a a +++->-，则称{}n a 为“速增数列”.（1）判断数列{}2
n
是否为“速增数列”？说明理由；
（2）若数列{}n a 为“速增数列”.且任意项Z n a ∈，121,3,2023k a a a ===，求正整数k 的最大值；
（3）已知项数为2k （2,Z k k ≥∈）的数列{}n b 是“速增数列”，且{}n b 的所有项的和等于
k ，若2n b
n c =，1,2,3,,2n k = ，证明：12k k c c +<.
21.已知椭圆()22
2:109x y b b
Γ+=>的左右焦点分别为1F ，2F ，p 为Γ上的动点.
（1）若b =
，设点P 的横坐标为0x ，试用解析式将1PF 表示成0x 的函数；
（2）过点P 的直线():20l y kx k =+≠与Γ的另一个交点为Q ，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点()0,N n ，求n 关于b 的表达式；
（3）试根据b 的不同取值，讨论满足12F F P 为等腰锐角三角形的点P 的个数.
奉贤中学2023学年第二学期高二年级数学期中
一、填空题（本题共12题，满分54分，1—6每题4分，7—12每题5分）
1.各项为正数的等比数列{}n a 中，151,16a a ==，则公比是__________.
【答案】2【解析】
【分析】直接利用等比数列的通项公式计算得到结果
【详解】由已知等比数列{}n a 中，151,16a a ==，得44
5116a a q q ===，又等比数列{}
n a 的各项为正数,0q >,故2q =.故答案为：2.
2.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为()2,0，则p 的值为___________.【答案】4【解析】
【分析】利用抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而求得p 值.【详解】因为抛物线22(0)y px p =>，所以抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，又因为抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为()2,0，所以
22
p
=，则4p =.故答案为：4.
3.设()P M 表示事件M 发生的概率，若()()112,,()243
P A P B A P B A =
==∣∣，则()P B =__________.
【答案】7
24
【解析】
【分析】根据题意分别求出()P B A 、()P A 进而利用()()()P B P AB P AB =+即可求出结果.
【详解】因为1(1(3
P B A P B A =-=
，
1()1()2
P A P A =-=
，则()()()()(|)((|)
P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅11117242324
=
⨯+⨯=故答案为：
724
.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：27129a a a ++=，则13S =__________．【答案】39【解析】
【分析】由27129a a a ++=求得73a =,()
11313713=132
a a S a +=
代入即可求得.
【详解】∵()27122127777923a a a a a a a a a =++=++=+=，∴73a =，∴()
1137
1371313213392
2
a a a S a +⨯==
==．故答案为：39
5.已知一个随机变量X 的分布列为101a b c -⎛⎫
⎪⎝⎭，若b 是a ，c 的等差中项，则
b =__________.
【答案】13
【解析】
【分析】根据分布列的性质及等差中项即可求b .【详解】由题可知，21
a c
b a b
c +=⎧⎨
++=⎩，解得1
3b =，
故答案为:
1
3
.6.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______．【答案】0.87##87
100
【解析】
【分析】由全概率公式计算．
【详解】记灯光合格中事件A ，灯泡来自甲厂为事件B ，灯泡来自乙厂为事件C ，
由已知()70%P B =，()30%P C =，(|)90%P A B =，(|)80%P A C =，所以90708030()(|)()(|)()0.87100100100100
P A P A B P B P A C P C =+=⨯+⨯=．故答案为：0.87．
7.圆锥曲线221x my +=的焦点在x 轴上，离心率为1
2，则实数m 的值是__________.【答案】43
【解析】
【分析】根据圆锥曲线焦点在x 轴上且离心率小于1，确定a ,b 求解即可.【详解】因为圆锥曲线221x my +=的焦点在x 轴上，离心率为1
2，所以曲线为椭圆，且2
2
11,a b m
==
，所以2222
2211
14
c a b e a a m -===-=，
解得43
m =
，故答案为：
43
8.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若[]50E X =，[]30D X =，则p 的值为_________.【答案】2
5
##0.4【解析】
【分析】根据题意，由二项分布的期望方差公式，即可得到结果.【详解】因为随机变量X 服从二项分布(),B n p ，则[]50E X np ==，[]()013D np X p ==-，解得25p =
.故答案为：
25
9.已知变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则变量x ，y 之间的相关系数
r =__________.(计算结果精确到0.01)
x
6
8
10
12
y
6532
【答案】0.99-【解析】
【分析】根据相关系数公式求解即可.【详解】根据表中数据计算可知11
(681012)9,(6532)4,44
x y =
⨯+++==+++=()()()()()()()()()()4
1
69648954109341292414
i
i
i x x y y =--+--+--+----=-=∑，
()
()()()()224
2
2
12698910912920i i x x =-+-+=-+-=-∑()
()()()()2
42
2
1
2
2
6454342410i i y y =-+--+--=+=∑，
变量,x y 之间的相关系数(
)()
4
72
0.9910i
i
x x y y r --=
--∑，
故答案为:0.99-.
10.已知数列{}n a 中，0n a >，且对于任意正整数n 有112n n n S a a ⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭，则
n S =_________.
【答案】【解析】
【分析】由题意可得22
11n n S S --=,又11S =,则数列{}
2
n S 是以1为首项,1为公差的等差数列,
然后结合等差数列通项公式的求法求解即可.
【详解】已知数列{}n a 中,0n a >,且对于任意正整数n 有112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,
11
1
2n n n n n S S S S S --=-+-,
11
1n n n n S S S S --+=
-,即22
11n n S S --=,
又11111
1
2,0,1,S S S S S =+
>∴=
所以数列{}
2
n S 是以1为首项,1为公差的等差数列，即2
n S n =,
又∵0n S >,∴=n S .
故答案为.
11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2023这2023个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为__________.【答案】135【解析】
【分析】根据题意可知所求数为能被15整除余1，得出数列{}n a 的通项公式，然后再求解项数即可.
【详解】因为能被3除余1且被5整除余1的数即为能被15整除余1的数，故(
)*
1514,n a n n =-∈N ，又2023n
a
≤，解得135n =.
故答案为：135.
12.已知数列{}n a 中，213a a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，且满足
()
2*11322,N n n n S S S n n n +-++=+≥∈．若对任意*N n ∈，都有1n n a a +<，则首项1a 的
取值范围是______．【答案】137,156⎛⎫
⎪⎝
⎭【解析】
【分析】根据给定的递推公式，分段求出数列{}n a 的表达式，再利用给定不等关系列出不等式组求解作答.
【详解】*2,N n n ≥∈，2
1132n n n S S S n +-++=+，有2
213(1)2n n n S S S n ++++=++，于是得2163n n n a a a n ++++=+，有3216(1)3n n n a a a n +++++=++，因此36n n a a +-=，数列31331{},{},{}n n n a a a -+分别是以234,,a a a 为首项，6为公差的等差数列，
而32114S S S ++=，213a a =，即有32121114a a a a a a +++++=，解得31149a a =-，又43215a a a ++=，则有411115(149)361a a a a =---=+，
于是得*N n ∈，3113131136(1),1496(1),616(1)n n n a a n a a n a a n -+=+-=-+-=++-，
因对任意*N n ∈，都有1n n a a +<，则12a a <，3133132n n n n a a a a -++<<<，
从而得11
11
11113314914961
6136
a a a a
a a a a <⎧⎪<-⎪⎨-<+⎪⎪+<+⎩，解得1137156a <<，所以首项1a 的取值范围是137
(,156
.故答案为：137(
,156
【点睛】思路点睛：给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n
S S a +-=转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .
二、单选题（本题共4题，满分18分，13，14每题4分，15，16每题5分）
13.用最小二乘法求回归方程是为了使（）
A.
()1
n i
i y y =-=∑ B.
(
)1
n
i i y y =-=∑ C.
()1
n
i
i y y =-∑最小 D.
()2
1
n
i
i y y =-∑最小
【答案】D 【解析】
【分析】由最小二乘法的求解即可知.
【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小，故选：D
14.已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是A.132
2a a a +≥ B.2
2
2
132
2a a a +≥C.若13a a =，则12a a = D.若31a a >，则42
a a >【答案】B 【解析】
【详解】设{a n }的首项为a 1，公比为q ，当a 1<0，q <0时，可知a 1<0，a 3<0，a 2>0，所以A 不正确；
当q ＝－1时，C 选项错误；当q <0时，a 3>a 1⇒a 3q <a 1q ⇒a 4<a 2，与D 选项矛盾．因此根据
基本不等式可知B 选项正确．
15.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，()()
2212~N ,6,~N ,2X Y μμ．X 和Y 的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（
）A.()6D X = B.12
μμ>C.(38)(38)
P X P Y ≤<≤ D.(34)(34)P X P Y ≤<≤【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，随机变量X 服从正态分布，且()21~N ,6X μ，
可得随机变量X 的方差为226σ=，即()36D X =，所以A 错误；
对于B 中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量1230,34μμ==，
所以12μμ<，所以B 错误；
对于C 中，根据正态分布密度曲线图像，可得38X ≤时，随机变量X 对应的曲线与x 围成的面积小于38Y ≤时随机变量Y 对应的曲线与x 围成的面积，
所以(38)(38)P X P Y ≤<≤，所以C 正确；
对于D 中，根据正态分布密度曲线图像，可得1(34)2P X ≤>，1(34)2P Y ≤=，即(34)(34)P X P Y ≤>≤，所以D 错误.
故选：C.
16.数列{}n a 满足132a =
，211n n n a a a +=-+，*n ∈N ，则122022
111a a a +++ 的整数部分是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】A
【解析】【分析】根据已知条件，利用累加法求得m ，结合数列的单调性即可判断m 的取值范围，进而求得其整数部分
【详解】由2
11n n n a a a +=-+可得211(1)n n n n n a a a a a +==---，所以111(1)1111n n n n n
a a a a a +--=--=，所以111111n n n
a a a +-=--，则12111111a a a -=--，232
11111a a a -=--，34311111a a a -=--，L ，202220232022
11111a a a -=--，上述式子累加得：
120231220221111111m a a a a a -=++⋯+=--，故2023121m a =--，
又因为()2212101n n n n n a a a a a +-+=-=≥-，即1n n a a +≥，
所以111n n a a a -≥≥≥> ，根据递推公式得：132a =，1221714a a a =-+=，2322371216a a a =-+=>，所以202332a a ≥>，那么20231(0,1)1a ∈-，则202312(1,2)1m a =-∈-，则m 的整数部分是1，
故选：A
【点睛】关键点睛：本题考查累加法，以及数列的单调性，能够正确的裂项从而累加是解决问题的关键
三、解答题（本题共5题，满分78分，17—19每题14分，20，21题每题18分）
17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，3PA =，设E 为侧棱PC 的中点.
（1）求四棱锥E ABCD -的体积V ；
（2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小.
【答案】（1）2
（2
）arcsin 221【解析】
【分析】（1）根据锥体体积公式求得正四棱锥E ABCD -的体积V .
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小.
【小问1详解】
设AC BD O = ，则O 是,AC BD 的中点，
连接OE ，由于E 是PC 的中点，所以//OE PA ，1322OE PA =
=，由于PA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ，所以()1322232
V =⨯⨯⨯=.【小问2详解】
依题意可知,,AB AD PA 两两相互垂直，
以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
()()()()32,0,0,0,0,3,2,2,0,1,1,,0,2,02B P C E D ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，()()31,1,,2,0,0,0,2,32BE DC PD ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭ ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，
则20230
n DC x n PD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，故可设()0,3,2n = ，设直线BE 与平面PCD 所成角为θ，
则3312221sin 2219
94114n BE n BE θ⋅+===⋅+⨯++ ，
由于π02θ≤≤，所以12221arcsin 221θ=.
18.为了推进国家“民生工程”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房.现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供,,A B C ,3人申请，且他们的申请是相互独立的.
（1）求,A B 两人不申请同一套住房的概率；
（2）设3名申请人中申请甲套住房的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
【答案】（1）34（2）分布列见解析，数学期望为
3
4【解析】
【分析】（1）设出事件，求出,A B 两人申请同一套住房的概率，再利用对立事件求概率公式求出,A B 两人不申请同一套住房的概率；
（2）方法一：求出X 的可能取值及对应的概率，求出分布列和数学期望；方法二：得到13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
，再根据二项分布的性质求出分布列和数学期望.【小问1详解】
设,A B 两人申请同一套住房为事件M ，
()14111C 444
P M =⨯⨯=，所以,A B 两人不申请同一套住房的概率为()314
P P M =-=
；【小问2详解】
方法一：随机变量X 可能取的值为0,1,2,3.
()3
033270C 464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2
1313271C 4464
P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2231392C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3
33113C 464
P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭所以X 的分布列为X
0123P 27642764964164
所以数学期望()27279130123646464644
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.方法二：依题意得13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
，所以()3333
133C C ,0,1,2,34464k k k k k P X k k --⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X
0123P 27
642764964164
所以数学期望()13344E X =⨯
=.19.近两年，
直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除运营成本a 万元，再将剩余资金继续投入直播平合.
（1）若100a =，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？
（2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到0.1万元）
【答案】（1）936万元
（2）3000万元
【解析】
【分析】（1）用n a 表示第n 年年底扣除运营成本后直播平台的资金，然后根据已知计算123,,a a a 可得；
（2）由已知写出1236,,,,a a a a ，然后由63000a ≥求得a 的范围．
【小问1详解】
记n a 为第n 年年底扣除运营成本后直播平台的资金，
则15001.4100600a =⨯-=，
26001.4100740
a =⨯-=37401.4100936
a =⨯-=故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元.
【小问2详解】
15001.4a a =⨯-，
()225001.4 1.45001.4 1.4a a a a a
=⨯-⨯-=⨯--L
()
6546500 1.4 1.4 1.41a a
=⨯-+++ 6
61 1.45001.41 1.4a -=⨯-⋅-由63000a ≥，得46.8a ≤，
故运营成本最多控制在46.8万元，
才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元.
20.如果数列{}n a 对任意的*N n ∈，211n n n n a a a a +++->-，则称{}n a 为“速增数列”.（1）判断数列{}2n
是否为“速增数列”？说明理由；（2）若数列{}n a 为“速增数列”.且任意项Z n a ∈，121,3,2023k a a a ===，求正整数k 的最大值；
（3）已知项数为2k （2,Z k k ≥∈）的数列{}n b 是“速增数列”，且{}n b 的所有项的和等于
k ，若2n b n c =，1,2,3,,2n k = ，证明：12k k c c +<.
【答案】（1）是，理由见解析
（2）63
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）计算1212n n n a a +++-=，12n
n n a a +-=，122n n +>，得到答案.
（2）根据题意得到()
120232k k +≥，Z k ∈，计算当64k =时，()
120802k k +=，
当65k =时，()
121452k k +=，得到答案.
（3）证明211k m m k k b b b b -+++>+，得到()1k k k k b b +>+，得到11k k b b ++<，代入计算得到证明.
【小问1详解】
因为2n n a =，则21121222n n n n n a a +++++=--=，11222n n n n n a a ++-=-=，
又122n n +>，故211n n n n a a a a +++->-，数列{}2
n
是“速增数列”.【小问2详解】121,3,2023k a a a ===，
当2k ≥时，
(
)()()11221120231231k k k k k a k ---==-+-++-+≥++++-+ ，即()
120232k k +≥，Z k ∈，
当63k =时，()
120162k k +=，当64k =时，()
120802k k +=，
故正整数k 的最大值为63.
【小问3详解】
2111k k k k k k b b b b b b +++-->->-，故211k k k k b b b b ++-->-，即211k k k k b b b b +-++>+；32211112k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b +++++---->->->->-，故3212k k k k b b b b ++--->-，即32121k k k k k k b b b b b b +--+++>+>+，
同理可得：211k m m k k b b b b -+++>+，*N m ∈，11m k ≤≤-，
故()()()()1221222111k k k k k k k k b b b b b b b b b k b b -++=+++=++++++>+ ，
故11k k b b ++<，1112222k k k k b b b b k k c c ++++=⨯=<，得证.
【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题意利用累加法的思想确定211k m m k k b b b b -+++>+是解题的关键.
21.已知椭圆()222:109x y b b
Γ+=>的左右焦点分别为1F ，2F ，p 为Γ上的动点.
（1）若b =，设点P 的横坐标为0x ，试用解析式将1PF 表示成0x 的函数；
（2）过点P 的直线():20l y kx k =+≠与Γ的另一个交点为Q ，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点()0,N n ，求n 关于b 的表达式；
（3）试根据b 的不同取值，讨论满足12F F P 为等腰锐角三角形的点P 的个数.
【答案】（1）10023,[3,3]3
PF x x =+∈-.（2）()2
,0,32
b n b =∈；（3）答案见解析；
【解析】
【分析】（1）设00(,)P x y ，写出椭圆的方程及1F 的坐标，利用两点间的距离公式求出1PF 的表达式，点P 坐标代入椭圆方程用0x 表示出0y ，即可进一步将1||PF 表示成0x 的函数；
（2）设点P 、Q 的坐标为()11,x y 、()
22,x y ,联立写出韦达定理，利用P N QN k k '=可得,b n 的关系.
（3）根据椭圆的对称性，只需讨论12PF PF =和1112F P F F =两种情况，分类讨论可求结果.
【小问1详解】
设00(,)P x y ，其中2200195x y +=，0[3,3]x ∈-
，由2c ==得左焦点1(2,0)F -，
则
1||PF =
00022|3|3,[3,3]33x x x =+=+∈-；【小问2
详解】
设点P 、Q 的坐标为()11,x y 、()
22,x y ，由22
2192x y b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()
22229363690b k x kx b +++-=，
于是2
121222223636999k b x x x x b k b k
--+==++，由题意，P '的坐标为()11,x y -,因为P '、Q 、N 三点共线，所以P N QN k k '=，即1212
n y n y x x --=-，将112y kx =+和222y kx =+代入并整理,得12
2122n kx n kx x x ----=-，即1222n n k k x x ---=+-，即()122121n k x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，将1212,x x x x +代入得()22369(2)(36)0k b n k -+--=，于是()2
,0,32
b n b =∈.【小问3详解】设122F F
c =,于是1(,0)F c -,2(,0)F c
，且c =当12PF PF =或112F P F F =或221F P F F =时,12PF F △为等腰三角形，根据椭圆的对称性，只需讨论12PF PF =和1112F P F F =两种情况，
此时，当等腰三角形的顶角为锐角时即为等腰锐角三角形，
(1)若12PF PF =且12F PF ∠为锐角，如图1：在2 POF 中，245OPF ∠< ，则有3c b <<，
3b <<，解得
3232b <<，由对称性知当3232
b <<时，如图2：以12,PF PF 为腰的等腰锐角三角形有2
个，(2)若112PF F F =且12PF F ∠为锐角，
如图3：首先12F F 大于1PF 的最小值，
∵1PF 的最小值为3,c -，于是由23c c >-得1c >即0b <<又∵12PF F ∠为锐角，11222,2262PF F F c PF a c c ===-=-，于是2221122PF F F PF +>，即()2
224462c c c +>-，整理得2690c c +->，
解得3c >，结合229b c =-，解得0b <<，
又<0b <<
由对称性知当0b <<时，如图4：以112,PF F F 为腰的等腰锐角三角形的点P 的个数为4个，
综上:当320,2b ⎛∈ ⎝⎦
时，只有以112,PF F F 为腰的等腰锐角三角形，满足这样的点P 的个数共有4个，如图4.
当322b ⎛∈ ⎝时，以112,PF F F 为腰的等腰锐角三角形的点P 的个数为4个，以12,PF PF 的等腰锐角三角形有2个，满足这样的点P 共有6个，图2与图4合并.
当b ∈时，以12,PF PF 为腰的等腰锐角三角形有2个，满足这样的点P 的个数共有2个,如图2.
【点睛】关键点点睛：满足12F F P 为等腰锐角三角形的个数，以哪两个边为腰进行分类讨论，找出临界情况是解题关键，从临界值向两边分类，统计满足条件的三角形的总个数.。