2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 2.2.1.2

第2课时　分析法
课时过关·能力提升
基础巩固
1分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的
( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.等价条件答案A
2欲证2-成立,只需证( )5<6‒7A.(2-)2<()256‒7B.(2-)2<()265‒7C.(2+)2<()275+6D.(2-)2<(-)2
5‒67解析由分析法知,欲证2-,只需证2+,即证(2+)2<()2,故选C.5<6‒77<6+576+5答案C
3要证明<2,可选择的方法有下面几种,其中最合理的是( )3+75A.综合法 B.分析法C.特殊值法 D.其他方法
答案B
4分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c ,且a+b+c=0,求证:a 索的因
b 2
-ac <3应是( )A.a-b>0 B.a-c>0C.(a-b )(a-c )>0 D.(a-b )(a-c )<0
答案C
5
将下面用分析法证明≥ab
的步骤补充完整:要证≥ab ,只需证a 2+b 2≥2ab ,也就是证 ,即
a 2+
b 2
2a 2+b 2
2证 ,由于 显然成立,因此原不等式成立. 答案a 2+b 2-2ab ≥0　(a-b )2≥0　(a-b )2≥0
6用A ,B ,C 和a ,b ,c 分别表示△ABC 的三个内角和三条边.求证:当tan A ·tan B>1时,△ABC 为锐角三角形.
证明要证三角形为锐角三角形,只需证A ,B ,C 均为锐角,只需证tan A ,tan B ,tan C 均为正.
因为tan A tan B>1,且A+B<π,所以tan A>0,且tan B>0.又因为tan C=tan[180°-(A+B )]
=-tan(A+B )=>0,
tanA +tanB
tanAtanB -1所以A ,B ,C 均为锐角,即△ABC 为锐角三角形.7已知a ,b ,m 是正实数,且a<b ,求证:.
a b <
a +m
b +m 证明由a ,b ,m
是正实数,故要证,
a b <
a +m
b +m 只需证a (b+m )<b (a+m ),只需证ab+am<ab+bm ,只需证am<bm.而m>0,所以只需证a<b.
由条件知a<b 成立,故原不等式成立.8设|a|<1,|b|<1,求证:
<1.
|a +b
1+ab
|证明要证<1,
|a +b 1+ab |只需证|a+b|<|1+ab|,只需证(a+b )2<(1+ab )2,只需证a 2+2ab+b 2<1+2ab+a 2b 2,只需证a 2-a 2b 2+b 2-1<0,只需证(a 2-1)(b 2-1)>0.
当a 2<1,b 2<1,即|a|<1,|b|<1时,上式成立.所以原不等式成立.
9设a ,b ∈(0,+∞),且a ≠b ,求证:a 3+b 3>a 2b+ab 2.(提示:a 3+b 3=(a+b )(a 2-ab+b 2))证明方法一(分析法):
要证a 3+b 3>a 2b+ab 2成立,即证(a+b )(a 2-ab+b 2)>ab (a+b )成立.又因为a+b>0,
所以只需证a 2-ab+b 2>ab 成立,即证a 2-2ab+b 2>0成立,即证(a-b )2>0成立.而依题设a ≠b ,
则(a-b )2>0显然成立.由此命题得证.方法二(综合法):
a ≠
b ⇔a-b ≠0⇔(a-b )2>0⇔a 2-2ab+b 2>0⇔a 2-ab+b 2>ab.
注意到a ,b ∈(0,+∞),a+b>0,由上式即得(a+b )(a 2-ab+b 2)>ab (a+b ).所以a 3+b 3>a 2b+ab 2.
能力提升
1若a ≥0,P=,Q=,则P ,Q 的大小关系是( )a +a +7a +3+a +4 A.P>Q B.P=Q C.P<Q
D.由a 的取值确定
解析要比较P ,Q ,只需比较P 2=2a+7+2与Q 2=2a+7+2,只需比较a 2+7a 与
a 2+7a a 2
+7a +12a 2+7a+12的大小,显然前者小.答案C
2要证a 2+b 2-1-a 2b 2≤0,只需证明( )A.2ab-1-a 2b 2≤0
B.a 2+b 2-1-≤0a 4+b 4
2C.-1-a 2b 2≤0
(a +b )2
2
D.(a 2-1)(b 2-1)≥0
解析因为a 2+b 2-1-a 2b 2≤0⇔(a 2-1)(b 2-1)≥0,故选D.答案D ★
3已知
a ,
b ,μ∈(0,+∞),且=1,则使得
a+b ≥μ恒成立的μ的取值范围是 .
1a +
9b 解析∵a ,b ∈(0,+∞),且=1,
1a +
9b ∴a+b=(a+b )
=10+≥10+2
=16,当且仅当b=3a 时等号成立.
(1a +9b
)(
9a b +b a
)9∴a+b 的最小值为16.
∴要使a+b ≥μ恒成立,只需16≥μ成立,故0<μ≤16.
答案(0,16]
4若对任意x>0,≤a 恒成立,则a 的取值范围是 . x
x
2
+3x +1解析当x>0时,
(当且仅当x=1时,取等号),要使≤a 恒成立.
x
x 2
+3x +1
=
1x +1x
+3
≤
12+3=1
5
x
x 2
+3x +1只需≤a
即可.故
a ≥.
1515答案
[1
5,+∞)
5已知a>0,>1.求证:
.
1b ‒
1
a 1+a >
11-b 证明要证
,1+a >
11-b 只需证1+a>,
1
1-b 只需证(1+a )(1-b )>1(1-b>0),即1-b+a-ab>1,所以
a-b>ab.只需证>1,
a -b
ab 即>1.
1b ‒
1a 由已知a>0,>1
成立,
1b ‒1a 所以
成立.
1+a >
11-b 6已知a>0,用分析法求证:≥a+-2.
a 2+
1a
2
‒2
1a 证明要证
≥a+-2,
a 2+
1a
2
‒2
1a 只需证
+2≥a+,
a 2+
1
a 2
1a
+2
又a>0,故只需证,即要证a 2
++4
+4≥a 2+2++2
(
a 2+1a
2
+2
)
2
≥(a +1a
+2
)2
1a 2
a 2+
1a
2
1
a 2
+2,只需证2
,
2·
(a +
1a
)a 2+
1a
2≥2(
a +
1
a
)只需证4≥2.
(a 2
+1
a 2
)(a 2
+2+1
a 2
)即a 2+≥2.而此不等式显然成立,
1
a 2
故原不等式成立.★
7已知2tan A=3tan B.
求证:tan(A-B )=.
sin2B
5-cos2B 分析观察条件与结论,结论中出现二倍角,可把二倍角公式化为单角,再将分式化为整式,同时等式的左边可用差角正切公式,再结合已知等式消去角A ,此时将等式中的常数2化为2(sin 2B+cos 2B ),可以发现等式中两边是关于sin B 与cos B 的二次式,再逆用公式tan B=将弦化为切即可完成证明.
sinB
cosB 证明因为2tan A=3tan B ,
所以tan A=tan B.3
2要证
tan(A-B )=,
sin2B
5-cos2B 只需证,
tanA -tanB 1+tanAtanB =
2sinBcosB
5-(1-2sin 2B )
只需证
,
1
2
tanB 1+32
tan 2B =
2sinBcosB 4+2sin 2B
即证,
tanB
2+3tan
2
B
=
sinBcosB 2+sin 2B 只需证tan B (2+sin 2B )=(2+3tan 2B )sin B cos B ,只需证tan B (2cos 2B+3sin 2B )=(2+3tan 2B )sin B cos B ,只需证tan B
(2+3·sin 2B cos 2B
)
=(2+3tan 2B )·,
sinBcosB cos 2B
即证tan B (2+3tan 2B )=(2+3tan 2B )tan B.
因为tan B (2+3tan 2B )=(2+3tan 2B )tan B 显然成立,所以
tan(A-B )=成立.
sin2B
5-cos2B。