第十二讲 菱形

第十二讲菱形
一、【基础知识精讲】
1．菱形的的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
2．菱形的性质:
（1）菱形具有平行四边形的一切性质．
（2）菱形的四条边相等．
（3）菱形的两条对角线互相垂直平分；并且每一条对角线平分一组对角．3．菱形的识别方法:
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
（3）四条边相等的四边形是菱形．
4．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．
二、【例题精讲】
例1．菱形的周长是8 cm，则菱形的一边长是______．
例2．菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为____．例3．菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为____．例4．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A．对角相等B．对边相等
C．对角线互相垂直D．对角线相等
例5．能够判别一个四边形是菱形的条件是（）
A．对角线相等且互相平分B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相平分D．一组对角相等且一条对角线平分这组对角例6．□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，
求证：四边形AFCE是否是菱形。

A
D
E
P C B F
三、【同步练习】
★A 组★
◎选择题
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等 2.能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）
A.对角线相等且互相平分
B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相平分
D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角 3.菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是（ ）
A.168 cm 2
B.336 cm 2
C.672 cm 2
D.84 cm 2 4.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ）
A.43
B.83
C.103
D.123
5.下列语句中，错误的是（ ）
A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴
B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到
C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到
D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到
6.（2007浙江绍兴）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，则下列式子中一定成立的是（ ）
A ．AC=2OE
B ．BC=2OE
C ．AD=OE
D ．OB=OE
7.（2009浙江杭州8）如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的 中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ）
A ．35°
B ．45°
C ．50°
D ．55
◎填空题
8.菱形的周长是8 cm ，则菱形的一边长是______.
9.菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______. 10.菱形的对角线的一半的长分别为8 cm 和11 cm ，则菱形的面积是_______. 11.菱形的面积为24 cm 2，一对角线长为6 cm ，则另一对角线长为______，边长为______.
12.菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1∶3,那么菱形的边长为_______.
◎解答题
13.如图，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由.
14.□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？
15.菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积.
16.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH.
17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱
形ABCD的周长．
★B 组★
1.学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm
，如图所示．已知每个菱形图案的边长，其一个内角为60°．
（1）若d ＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L ；
（2）当d ＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？
2.（2009广东18）在菱形A B C D 中，对角线A C 与B D 相交于点O ，56AB AC ==，．过
点D 作D E A C ∥交B C 的延长线于点E ．
（1）求B D E △的周长；
（2）点P 为线段B C 上的点，连接P O 并延长交A D 于点Q ．求证：B P D Q =．
3.(综合拓展)如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，∠B 的角平分线交AD 于E ，交AC 于G 。

（1）比较AE 、AG 的大小，并说明理由； （2）作GF ⊥BC 于F ，连结EF ，判断四边形AEFG 的形状，并说明理由。

（3）若AD=4,BD=3，求AE 的长。

A Q D E
B C
O
第十三讲矩形、正方形
一、【基础知识精讲】
（一）矩形：有一个角为直角的平行四边形叫矩形．
1．矩形的性质:
（1）具有平行四边形的一切性质．（2）矩形的四个内角是直角．
（3）矩形的对角线相等且互相平分．
2．矩形的识别方法:
（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线相等的平行四边形为矩形．（3）三个角是直角的四边形是矩形．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（二）、正方形：有一组邻边相等的矩形叫正方形．（或有一个角是直角的菱形叫正方形）
1.正方形的性质:由于正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.因此，正方形具有以下性质：
(1)对边平行，四条边都相等. (2)四个角都是直角．
(3)两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
2.正方形的识别方法:
(1) 有一组邻边相等的矩形是正方形．(2) 有一个角是直角的菱形是正方形.
二、【例题精讲】
例1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( )
(A)对角相等 (B)对边相等
(C)对角线相等 (D)对角线互相平分
例2．已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成锐角的度数为__.
例3．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判定这个四边形是正方形的是( )
(A)AO=BO=CO=DO，AC⊥BD (B)AB∥CD，AC∥BD
(C)AD∥BC，∠A=∠C (D)AO=CO，BO=DO，AB=BC
例4．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则对角线长为_______，短边长为_______．
例5．正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______．
例6．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，
DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：四边形CFDE是正方形．
例7．已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE：∠BAE=3：1，
求∠EAC的度数．
三、【同步练习】
★A组★
◎选择题
1.两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（）
A.一般平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
2.四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）
A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD
B.AB∥CD，AC=BD
C.AD∥BC，∠A=∠C
D.OA=OC，OB=OD，AB=BC
3.在矩形ABCD的边AB上有一点E，且CE=DE，若AB=2AD，则∠ADE等于（）
A.45°
B.30°
C.60°
D.75°
4.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）
A.16
B.22
C.26
D.22或26
5.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）
A.12+122
B.12+62
C.12+2
D.24+62
◎填空题
6.延长等腰△ABC的腰BA到D，CA到E，分别使AD=AB，AE=AC，则四边形BCDE 是________，其判别根据是_______.
7.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.
8.矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长少4 cm，则AB=_______，BC=_______.
9.正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.
10.在一正方形的四角各截去全等的等腰直角三角形而得到一个小正方形，若小正方形的边长为1，那么所截的三角形的直角边长是________.
◎解答题
11.在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，且AB=CD，四边形ABCD是矩形吗？为什么？
12.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？说明理由.
13.E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.
14.如图，正方形ABCD，AB=a，M为AB的中点，ED=3AE，（1）求ME的长；（2）△EMC是直角三角形吗？为什么？
15.以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF，
（1）试探索BE和CF的关系？并说明理由.
（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角.
★B组★
1．矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为______________.
2．E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，CE＝CA，AE交CD于F，则∠AFC＝ ____ .
3．矩形的面积为12cm2，一条边长为3cm，则矩形的对角线长为_______．
4．M为□ABCD的边AD的中点，且MB=MC，你能说明□ABCD一定为矩形吗？写出你的说明过程．
5.如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG 上取一点G，使EG=AE.
求证：AE⊥EG.
6.已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.。