高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究

2022年第6期教育教学1
SCIENCE FANS 不等式在高考试题中占据较大比重，通过对高考试题中的不等式问题展开分析，能够从中总结规律和经验，优化教学策略，逐步落实数学核心素养的培养。

1 不等式高考试题分析1.1 不等式的性质应用问题1.1.1 判断命题是否成立
2019年高考全国Ⅱ卷理科数学第6题：若a >b ，则（ ）
A.ln(a−b )>0
B.3a <3b
C.a 3−b 3>0
D.|a |>|b |
解析：取a =2，b =1，满足a >b ，那么ln(a−b )=0，排除A；因为9=3a >3b =3，排除B；取a =1，b =−2，满足a >b ，1=|a |<|b |=2，排除D；幂函数y =x 3是增函数，a >b ，所以a 3−b 3>0，故选C。

1.1.2 利用不等式的性质比较大小
2019年高考全国Ⅰ卷理科数学第3题：已知a =log 20.2，b =20.2，c =0.20.3，则（ ）
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.b<c<a
解析：这道题可运用中间量0比较a 和c 的大 小，运用中间量1比较b 和c 的大小，a =log 20.2< log 21=0，b =20.2>20=1，0<0.20.3<0.20=1，则0<c <1，a<c<b 。

1.2 解不等式问题
该类型的问题主要涵盖了一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式等，高考中的出题形式十分多样，通常涵盖选择、填空、解答题等。

从类型来看，有直接考查学生解不等式能力的 试题，也有将不等式作为解题工具的综合问题[1]。

1.2.1 直接解不等式问题
2019年高考全国Ⅰ卷理科数学第1题：已知集 合M ={x |−4<x <2}，N ={x |x 2−x −6<0}，则M ∩N =（ ）
A.{x |−4<x <3}
B.{x |−4<x <−2}
C.{x |−2<x <2}
D.{x |2<x <3}
解析：本题主要是考查学生对集合交集及一元二次不等式的掌握情况，且还渗透了一定的运算素养的考查。

学生可以应用数轴表示法，从数形结合思想的角度思考并得出答案。

由题意得知M ={x |−4<x <2}，N ={x |−2<x <3}，则M ∩N ={x |−2<x <2}。

1.2.2 间接考查解不等式
高考试题中有一些综合问题，是引导学生从不等式的解题角度切入，解决其他问题。

而为了获得正确答案，就必须要解出不等式，从中筛选出需要的值，并且能够将正确结果作为下一步计算的重要依据。

2017年高考全国Ⅲ卷理科数学第20题：已知函数
f (x )=x −1−a ln x 。

（1）若
f (x )≥0，求a 的值。

解析：本题将导数问题与不等式结合。

f (x )的定义域为(0，+∞)，若a ≤0，因为02ln 21
)21(<+−=a f < 0，所以不满足题意；若a >0，由x
a
x x a x f −=
−=1)(知，当x ∈(0，a )时，
f (x )<0；当x ∈(a ，+∞)时，
f (x )>0，所以 f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，+∞)单调递增，故x =a 是
f (x )在(0，+∞)上的唯一最小值点。

由于
f (1)=0，所以当且仅当a =1时， f (x )≥0。

1.3 线性规划问题
在高考数学中，线性规划问题十分常见，通过让学生结合条件获得最值，考查学生对线性目标函数的掌握情况。

通过将约束条件设计为非线性的约束条件，或者是将目标函数设计成为非线性的目标函数，进而解答。

不仅能培养学生的数学素养，还让学生学会用类似的技巧去解决其他代数问题[2]。

1.3.1 基本的线性规划问题
2019年高考天津卷理科数学第2题：设变量x ，
高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究
林鉴强
（浙江省遂昌中学，浙江 丽水 323300）
【摘 要】不等式是高中数学知识中的一个重点板块，其在数量关系教学中发挥着不可忽视的作用，是十分重要的高
考考查内容。

文章就近年来的不等式高考试题展开分析，并提出具体的教学策略。

【关键词】高中数学；不等式；高考试题；教学策略
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2022）06-0029-03
中学教育
SCIENCE FANS 2022年2月28日y 满足约束条件
−≥−≥≥+−≤−+1
10202y x y x y x ，则目标函数z =−4x +y 的
最大值为（ ）
A.2
B.3
C.5
D.6
解析：已知不等式组表示的平面区域如图1中
阴影部分，目标函数的几何意义是直线
y =4x +z 在 y 轴上的截距，且截距最大时z 有最大值，故目标函
数在点A 处取得最大值，由 −==+−1
2x y x ，得A (−1，
1)，所以z max =−4×(−1)+1=5。

1.3.2 线性规划问题模型的应用问题
在解决二元不等式的过程中，应用线性规划问题模型能够找到解题突破口，依托于数形结合方法，进而解答一些代数问题。

2019年高考北京卷理科数学第5题：若x ，y 满
足|x |≤1−y ，且
y ≥−1，则3x +y 的最大值为（ ）A.−7 B.1 C.5 D.7
解析：这道题的线性目标函数和学生经常见到的目标函数略有差异，需要去绝对值，进行等价变形。

由题意
−≤≤−≤−y x y y
111，作出可行域，如图2阴影
部分所示。

设z =3x +y ，y =z −3x ，当直线l 0：y =z −3x 经
过点（2，−1）时，z 取最大值5。

1.4 不等式的证明问题
在证明不等式的过程中，教师可以指导学生先将不等式看作是给定条件下的绝对不等式。

在证明
不等式的过程中，教师应引导学生积极联想记忆不
等式的性质和定理，由此展开推理。

这类题型充分
考查了学生对不等式性质和定理的掌握情况，对其综合应用能力的要求较高[3]。

1.4.1 导函数与不等式的证明
2018年高考全国Ⅲ卷理科数学第21题：已知函数
f (x )=(2+x +ax 2)ln(1+x )−2x ，若a =0，证明：当−1<x <0时，
f (x )<0；当x >0时， f (x )>0。

解析：这道题是函数不等式的例子，首先需
要借助导函数讨论函数的单调性。

当a =0时，
f (x )= (2+x )ln(1+x )−2x ， f '(x )=ln(1+x )−x x
+1。

设函数
g (x )= f '(x )=ln(1+x )−x x
+1，则 g '(x )=2
)1(x x +，当−1<x <0时，
g '(x )<0；当x >0时， g '(x )>0，故当x >−1时， g (x )≥ g (0)=0，且仅当x =0时， g (x )=0，
从而
f '(x )≥0，且仅当x =0时， f'(x )=0，所以 f (x )在 (−1，+∞)单调递增，又 f (0)=0，故当−1<x <0
时，
f (x )<0，当x >0时， f (x )>0。

1.4.2 圆锥曲线与不等式的证明
2018年高考全国Ⅲ卷理科数学第20题：已知斜
率为k 的直线l 与椭圆C ：13
42
2
=+y x 交于A ，B 两点，
线段AB 的中点为M (1，m )（m >0）。

证明：k <− 2
1−<。

解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则13421
21=+y x ，
13
42
2
22=+y x =1
，两式相减，并由k x x y y −−2121=k ，得0342121=⋅+++k y y x x 0342121=⋅+++k y y x x =0。

由题设知1221=+x x =1，y y =+2
21m ，于是=− m k 43−=，由题设得0<<23m ，故<− 21−<k 。

1.5 最值问题最值问题是不等式问题中出现频率较高的一种类型。

在高考数学试卷中，常见的是将最值问题和
=y
图1
2022年第6期函数相结合，让学生求最值。

也有一些问题将最值问题和圆锥曲线等相结合，形成较为典型的最值特征问题，或者是不等式恒成立、有解问题求最值。

2019年高考江苏卷第10题：在平面直角坐标系
xOy 中，P 是曲线 y =x +x
4
(x >0)上的一个动点，则点P
到直线x +y =0的距离的最小值是（ ）
解析：利用导数求平行于x +y =0的直线与曲线 y =x +x
4
(x >0)的切点，再由点到直线的距离公式求点
P 到直线x +y =0的距离的最小值。

由 y =x +x 4
(x >0)得
出y'
=1−241'x
y −=，设斜率为−1的直线和曲线 y =x +x 4(x >0)切于(x 0，x 0+0
4x )，由1−204
x =−1，解得x 0=2(x >0)，
所以曲线 y =x +x
4
(x >0)上，点P (2，32)到直线
x +y =0的距离最小，最小值为42
2
32=+=4。

高考经常考查的热点也包含了求参数的取值范围，并且这类问题涵盖的知识点较多。

取值范围问题主要是考查学生建立不等关系的方法，通过建立不等关系来解答不等式问题。

2 高中数学不等式教学策略2.1 巩固基础知识
首先，教师要结合学生实际发展水平，遵循学生的学习特点和规律，创新教学模式，帮助学生牢固掌握基础知识，在课堂教学中不断激发学生的学习兴趣，以此达到更好的教学成效。

如在教学不等式问题的过程中，教师可以引导学生掌握“一正、二定、三相等”的规律。

其中，“一正”就是a +b ≥ab 2，其中a 、b 两个数值为正；“二定”就是指当a +b 为定值的时候，可以确定ab 的最大值，当ab 为定值的时候，可以确定a +b 的最小值；“三相等”主要就是指当数值a 、b 相等时，等式成立，即a +b =ab 2。

学生掌握以上规律，在实际解决问题的过程中就能够灵活应用，得出答案[4]。

2.2 开展不等式习题竞赛
教师在教学过程中，应积极转变教学理念，凸显学生在课堂上的主体地位，通过定期开展不等式的习题竞赛活动，激发学生的好胜心和求知欲。

这样不仅能够增强师生互动、生生互动，还能够帮
助学生获得综合素养的提升，使其灵活应用不等式 知识。

如教师可以定期选定一个课时作为数学知识竞赛时间，竞赛以笔试的形式开展。

与此同时，教师还可以采用小组合作的模式，将全班学生分为能力均衡的若干小组，以小组为单位进行答题比赛，确保每个学生都有发挥的空间，形成互帮互助的氛围，实现共同进步。

2.3 强化微课应用
在微视频中融合本节课知识的重难点和概念定义，可以帮助学生初步了解相关知识，并能够记录自己的不懂之处，有针对性地学习和探索。

与此同时，教师还可以邀请学生参与微视频的制作，不仅能够进一步激发学生的学习热情，还能够更好地帮助学生掌握不等式知识，加强师生之间的交流。

除此之外，教师和学生在进行微课制作的时候，应当紧密贴合学生生活实际，选择学生喜爱的情境来开展微课教学，促进学生核心素养的形成，提升教学引导成效。

高中数学中不等式问题的应用十分广泛，并且近年来在高考试卷中，不等式问题的考核深度和广度也在不断增加。

教师应结合近年来高考中的常见问题，帮助学生归类总结，并积极创新教学思路。

同时，在课堂教学中，要优化教学模式，注重培养学生的数学思维，培养学生的逻辑思维能力和逆向思维能力，循序渐进地提高学生的数学核心素养。

【参考文献】
[1]景瑞强.高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究[J].高考,2020(13).
[2]王惠.高中数学不等式高考试题分析与教学策略[J].数学学习与研究:教研版,2018(10).
[3]杨金荣.高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究[J].中学生作文指导,2020(30).
[4]瞿志彬.新课改下关于高中数学不等式高考试题分析与 教学策略研究[J].课程教育研究:学法教法研究,2019 (22).【作者简介】
林鉴强（1975～），男，汉族，浙江遂昌人，本科，高级教师。

研究方向：高中数学教学。

林鉴强：高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究。