河北省唐山一中2013-2014学年高一数学下学期期中试题卷 理

唐山一中2013－2014学年度第二学期期中考试
高一年级数学试卷 〔理科〕
说明：
1.考试时间120分钟，总分为150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

卷Ⅰ〔选择题 共60分〕
一.选择题:〔此题共12小题，每一小题5分，共60分。

在每一小题给出的四个选项中，
只有一项为哪一项符合题目要求的。

〕
1.ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c .假设B ＝2A ,a ＝1, b ＝2,如此这样的三角形有 〔 〕
A .只有一个
B .有两个
C .不存在
D .无数个
2. 不等式(5)(6)6x x x -->-的解集是〔 〕
A ．(5,)+∞
B ．(6,)+∞
C ．φ
D ．(,5)(6,)-∞+∞
3．假设某程序框图如下列图，如此输出的p 的值是 ( )
A ．30
B ．28
C ．21
D ．55
4. ．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，如此15S =〔 〕
A ．60
B ．70
C ．90
D ．40
5．设=(1,1),=(3,1),O 为坐标原点,动点P(x,y)满足0≤
·
≤1,
0≤
·
≤1,如此2z x y =--的最大值是( )
A . 0
B .1
C .
12D .12
- 6．在正项等比数列{}n a 中，3512a a ⋅=，如此71a a +的最小值为〔 〕
A
.B
. C
. D
.7.ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ,假设三边的长为连续的三个正整数,且A >B >C ,9b =10a cos C ,如此sin A ∶sin B ∶sin C 为( )
A .4∶3∶2
B .5∶6∶7
C .5∶4∶3
D .6∶5∶4
8.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，假设n n S T =24
31
n n ++，如此n a =n b 时n ＝〔 〕
A ．无解
B .6
C ．2
D ．无数多个
9. 0a >，,x y 满足约束条件，假设2z x y =+的最小值为0，如此a =〔〕
A ．
1
4B ．1C ． 1
2
D ．2 10. 假设数列{n a }的前n 项和2
390n S n n =+-，如此
456
123
a a a a a a ++++的值为 ( )
A .18
B .2-
C .2
D .1
2
-
11.ABC ∆的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉x 米后，剩余的局部组成一个钝角三角形，如此x 的取值范围是 〔 〕
A .0<x <5
B . 1<x <5
C . 1<x <3
D .1<x <4
12. 如下各函数中，最小值为2的是( )． A ．y ＝x ＋1x B ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2
C ．y ＝x 2＋3
x
2＋2
D ．y
卷Ⅱ〔非选择题 共90分〕
二.填空: 本大题共4小题，每一小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13.ABC ∆的三边分别为a ,b ,c ，且a ＝1，B ＝45°，ABC S ∆＝2，如此ABC ∆的外接圆的面积为.
14．假设n a ＝2n 2
＋λn ＋3(其中λ为实常数)，n ∈N *
，且数列{n a }为单调递增数列，
如此实数λ的取值范围为________． 15．假设两个正实数x ，y 满足
2x
＋1
y ＝1，并且2x ＋y ＞m 恒成立，如此实数m 的取值范围是.
16.｛n a ｝是等差数列,d 为其公差, n S 是其前n 项和,假设只有4S 是{n S }中的最小项,如此可得出的结论中正确的答案是.
① d >0 ②40a <③50a >④70S <⑤80S >
三.解答题:本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．a ,b ,c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边, c a sin C +c cos A .
(1)求角A ;
(2)假设a =ABC ∆求ABC ∆的周长.
18. 数列{n a }中,12a =,121,()n n a a n n N *
+=-+∈,
(1)求证:数列{n a n -}为等比数列.
(2)判断265是否是数列{n a }中的项,假设是,指出是第几项,并求出该项以前所有项的
和(不含265),假设不是,说明理由.
19. 火车站A 北偏东30方向的C 处有一电视塔,火车站正东方向的B 处有一小汽车,测得BC 距离为31km ,该小汽车从B 处以60公里每小时的速度前往火车站,20分钟后到达D 处,测得离电视塔21km ,问小汽车到火车站还需多长时间?
20. 某企业生产A ，B 两种产品，生产每吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表： 生产每吨
A 产品的利润
是5万元，生产每吨B 产品的利润是10万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360 t ，并且供电局只能供电200 kW ，试问该企业生产A ，B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？
21. 设数列{n a }是等差数列，数列{n b }的前n 项和n S 满足1n n S b =-,()n N *
∈,
且2513
11
1,1a a b b -=
=+。

〔Ⅰ〕求数列{n a }和{n b }的通项公式： 〔Ⅱ〕设n T 为数列{n a .n b }的前n 项和，求n T ． 22. 函数f (x )＝a
x x
+
，x ∈[)∞+,1,0a >. (1) 当a ＝
1
2
时，求函数f (x )的最小值； (2) 假设函数()f x 的最小值为4,求实数a
高一数学理科参考答案
一选择题:1. C 2.C 3.A 4.B 5.A 6.D 7.D 8.C 9.B 10.D 11.C 12..D 二.填空: 13.
252
π
14.(6,)-+∞ 15.(,9)-∞ 16.①②③④ 三.解答题:所给步骤分是个建议分，不适宜之处，请教师们定夺。

17. 解:(1)由c
a sin C +c cos A 与正弦定理得
A sin C +cos A sin C -sin C =0,
由sin C ≠0,所以sin 〔A +
π6〕=1
2
, ------------------4分 又0<A <π,∴6π<A +π6
76π
<――――――――5分
故A =23
π. ――――――――6分
(2)△ABC 的面积S =1
2
b c sin A
,故b c =4. ――――――――8
由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2b c cos A ,得22
()a bc b c +=+
代入a
=b c =4解得:4b c +=,故三角形周长为
4+解出b ,c 的值亦可)――12
18. (1)证明:由121,()n n a a n n N *
+=-+∈知:
1n a +- (n +1)=2n a n -+1-(n +1)=2(n a n -
), 1a -1≠0 ∴n a -n ≠0 ∴
1(1)
n n a n a n
+-+-=2
∴{n a n -}是以1为首项,以2为公比的等比数列. ―――――――――――6分
(2).由(1)知n a -n =12n -,∴n a =12n -+n . ――――――――――8分 265是数列{n a }中的第9项.(原因是: {n a }是递增数列,265是奇数,它只能为{n a }中的奇数项,又256<265<512,∴猜测是第9 项,经验证符合猜测,不写原因不扣分) ―――
9分
∴8S =(1+2+
+8)+(017222+++)
=291 ――――――12分 19.解:由条件A ∠=60,设,ACD CDB αβ∠=∠=,
在BCD ∆中,由余弦定理得:2221
cos 27
CD BD BC CD BD β+-=
=-⋅ ------------4分
∴sin β==
∴sin sin(60)sin cos 60cos sin 60αβββ=-=-
.―――――8分 在ADC ∆中,由正弦定理,得:sin 15sin CD AD A
α
⋅=
=(km )―――――――10分
∴(分钟)
答:到火车站还需15分钟. ―――――――12分 20.解 设生产A ，B 两种产品各为x ，y 吨，利润为z 万元，如此
⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.
z ＝5x ＋10y .
作出可行域(如图)，作出在一组平行直线5x
＋
10y ＝t (t 为参数)，此直线经过M (20,24)，故
z
的最优解为(20,24)，z 的最大值为5×20＋ 10×24＝340(万元)．
21.解:〔Ⅰ〕由1n n S b =- (1) 知:当n =1时,111b b =-,∴11
2
b =
. 当n ≥2时,111n n S b --=- (2) (1)-(2)得:12n n b b -=,
10b ≠∴10n b -≠
∴
112n n b b -= (n ≥2) ∴{}n b 是以12为首项以1
2
为公比的等比数列, ∴12n n b =
∴31
8
b =――――――4分 ∴253,9a a ==∴5236d a a =-=∴2d =
故 11,12(1)21n a a n n =∴=+-=-. ―――――――6分
〔Ⅱ〕
n a .n b =
21
2
n
n -. ―――――――7 ∴2313521
2222n n n S -=++++①―――――――8
12n S =23411352321
22222
n n n n +--+++++②―――――――9
①-②得:23111111212()222222
n n n n S +-=++++- =1323
22n n ++-. ――――――――11分
∴23
32n n
n S +=-. ――――――――12分 22.解(1) a ＝12时, f (x )＝1
2x x
+ , x ∈[)∞+
,1――――――――1分
令1
(0)2x x x
=
>,得[1,)2x =∉+∞∴不能用不等式求最值. 设121x x ≤<,如此121221
11
()()()(
)22f x f x x x x x -=-+- =1212
1
()(1)02x x x x --
< ∴ 函数 f (x ) 在x ∈[)∞+,1上是单调递增函数. ―――――5分
∴min 3
()(1)2
f x f ==
―――――6分
〔注：用不等式做一律不给分〕 (2) 当
01a <<
时,令a
x x
=
,得1,x =<[1,)+∞
∴类似于(1)可知函数 f (x ) 在x ∈[)∞+,1上是单调递增函数.
∴min ()(1)14f x f a ==+=,得3
a =与01a <<不符(舍) ―――――
8
当1a ≥时1≥,∴由不等式知
:a
x x
+
≥当a
x x
=
,即x =,min ()f x ==4, 解得4a =
综上所述：函数()f x 的最小值为4时,a =4. ――――――12分。