定积分的概念和性质

§4.3 定积分的概念和性质
1、定积分基本概念 2、定积分的性质
定积分概念
一、定积分问题举例 1、求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
0
a
bx
思想方法
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi1 xi xn1 xn b
是时间间隔 [T1,T2 ] 上t的连续函数，v(t) 0
且
，计算在此段时间内物体经过的
路程。 思想方法
（1）分割：
在区间 [T1,T2 ]中任取若干分点：
T1 t0 t1 ti1 ti tn1 tn T2
把 [T1 ,T2 ] 分成n个小区间 ： [ti1,ti ]
a
性质7 （定积分中值定理）如果函数f (x)在闭区
间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一点
，使
b
a f (x)dx f ( )(b a) (a b)
这个公式叫积分中值公式。
证 由性质6，有
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
即有 m 1
I
，如果
取极限
存在，且极限值I不依赖于 i 的选取，也不依
赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上
的定积分(简称积分)，记作
b
n
b
a
f
(x)dx
I f (x)dx lim
a
0
其中：f(x)叫做被积函数;
i 1
f (i )xi
,即
f(x)dx叫做被积表达式;
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定
积分的和(差)。即
b
b
b
a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx
•证
b
n
a
[
f
(x)

g ( x)]dx

lim
0
i 1
[
f
( i
)

g ( i
)]xi
n
n
lim 0
这些小区间的长度最大者）时，和式 f (i )xi 的
n
i 1
极限就是A，即
A lim 0
i 1
f (i )xi
可见，曲边梯形的面积是一和式的极限
y=f(x) y
0 a x0 x1
f(ξｉ) x2 xi1ξｉxi
xn1 xn b x
2、变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)
a
a
•证
b
n
a
kf (x)dx

lim
0
i 1
kf
( i
)xi
n
b
k lim 0 i1
f (i )xi
a
f (x)dx
• 性质3 (定积分的区间可加性) 若a c b，则
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
a x0 x1 x2 xn1 xn b
分
划 任取 i [xi1, xi ]
，作和式
n
S f (i )xi i 1
xi xi xi1 max{ x1, x2 ,, xn}
近似求和
记
n
lim
0
i 1
f (i )xi
• 证 因f(x)在区间[a,b]上可积，所以对[a,b] 的任意分划，积分和的极限总是不变的。 考虑[a，b]的一个特殊分划，使c作为一个 分点，那么[a，b]上的积分和等于[a，c]上 的积分和加[c，b]上的积分和，记为
f (i )xi f (i )xi f (i )xi
y y=f(x)
0 a x0 x1
f(ξｉ) x2 xi1ξｉxi
xn1 xn b x
（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一 个近似值。
n
把n个小矩形的面积相加得和式 f (i )xi i 1
它就是曲边梯 形面积A的近似值，即
n
A f (i )xi .
i 1
的曲边梯形的面积。
一般情形,ab f (x)dx 的几何意义为：它
是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b 之 间的各部分面积的代数和。
y
＋
a
0 －
＋ bx
定积分的性质 中值定理
规定 (1) 当a=b时，
b
a f (x)dx 0
(2) 当a>b时,
b
a
a f (x)dx b f (x)dx
[a,b]
[a,c]
[c,b]
• 令λ→0，上式两端同时取极限，得
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
• 注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3
总是成立的。例如，当a<b<c时，由性质3，
有
c
b
c
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
xn1 xn b
x
（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形
在第i个小曲边梯形的底[xi1, xi ]上任取一点（i xi1 xi ), 它所对应的函数值是f (i ).用相应的宽为xi ,长为f (i )的小矩形 面积来近似代替这个小曲边梯形的面积，即Ai f (i )xi
0
ba
• 性质5 若在区间[a，b]上，f (x) 0 ，则
b
a f (x)dx 0 (a b)
• 证 因f (x) 0 ，所以 f (i ) 0, (i 1,2,, n)
• 又 (i )xi 0
i 1
f (i )xi
lim 0
g(i )xi
i 1
b
b
a f (x)dx a g(x)dx
• 注：此性质可以推广到任意有限多个函数 的代数和的情形。
•
• 性质2 被积函数的常数因子可以提到积 分符号外。即
b
b
kf (x)dx k f (x)dx
（k为常数）
a
a
性质6 设M及m分别是f (x)在[a,b]上的最大值
•
及最小值,则
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
证 因 m f (x) M
所以
b
b
b
mdx f (x)dx Mdx
a
a
a
即
b
m(b a) f (x)dx M (b a)
三、函数可积的充分条件
定理1 若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在 [a，b]上可积。
定理2 若f(x)在[a，b]上有界，且只有有 限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积。
四、定积分的几何意义
若f(x)≥0，则
b
a
f
(x)dx
的几何意义表示
由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成
y
y=f(x)
0 a x0 x1
f(ξｉ) x2 xi1ξｉxi
xn1 xn b x
（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之
和的极限 就是曲边梯形面积A的精确值。
n
分割越细， f (i )xi 就越接近于曲边梯形的面积A，当
i 1
小区间长度最大值趋近于零，即 0（ 表示 n
小区间长度记为：ti ti ti1(i 1,2,3,, n)
n
（2）近似求和：s v(i )ti . i 1
（3）取极限：
n
s

lim
0
i 1
v( i )ti
（ 表示所有小区间的长度的最大者）
二、定积分的定义
定义 设函数f（x）在[a，b]上有界， 在[a，b]中任意插入若干个分点：
把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间 ：[xi1, xi ] 小区间长度记为： xi xi xi1 (i 1,2,3,, n) 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为Ai
y
y=f(x)
0 a x0 x1 x2 x3 xi1 xi
i 1
， 因此
• 所以
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
f (i )xi
0
• 推论1 如果在区间[a，b]上，f (x) g(x)
则
b
b
a f (x)dx a g(x)dx
(a b)
• 证 因 g(x) f (x) 0 ，则
b
a [g(x) f (x)]dx 0
x叫做积分变量;
a叫做积分下限，b叫做积分上限;
[a,b]叫做积分区间。
如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称 f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b] 上不可积。
注：定积分的值只与被积函数以及积分 区间有关，而与积分变量的记法无关。即
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
a
a
b
• 于是
b
c
c
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
b
c
b
a f (x)dx c f (x)dx
• 性质4
b
b
1dx dx b a
a
a
• 证 因f(x)≡1，所以
b
n
1dx
a

lim
0
1xi
i 1

lim (b a)
b
f (x)dx M
ba a
因m、M分别是f (x)的最小值和最大值，由
连续函数的介值定理知，在[a，b]上至少存
在一点，使得
1
b
f (x)dx f ( )
ba a
即
b
f (x)dx f ( )(b a)
a
(a b)
小测验
求

1
1 dx 1 x2
• 由性质1，有
b
b
f (x)dx g(x)dx
a
a
• 推论2
b
b
a f (x)dx a f (x) dx
(a b)
证 因 f (x) f (x) f (x)
所以

b
f (x)dx
b
b
f (x)dx f (x) dx
a
a
a
即
b
b
f (x)dx f (x) dx