第02讲 集合的运算(7大考点13种解题方法)(解析版)

第02讲集合的运算（7大考点13种解题方法）
考点考向
集合之间的基本运算
如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形符号
A ∪
B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }
1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }2．并集的性质
A ∪
B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .
3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B。

符号为A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }。

4.交集的性质
A ∩
B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A .
5、对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 。

符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }。

【要点注意】
1．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()(
)U
U
A B A B U ⇔=∅⇔=痧.
2.德▪摩根定律：
①并集的补集等于补集的交集，即()=()()U U
U A B A B 痧；②交集的补集等于补集的并集，即()=(
)
()U U
U A
B A B 痧．
方法技巧
1.求集合并集的两种基本方法：
（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.2.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．
（3）若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．3.集合基本运算的求解规律
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．
(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．
考点精讲考点一：交集
题型一：交集的概念及运算1．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B =（）
A ．{1,2,3,4}
B ．{2,3}
C ．{1,2}
D ．∅
【答案】B
【分析】根据交集的定义可求A B .【详解】{}2,3A
B =，故选：B.
2．（2022·全国·高一）已知集合{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =（）
A ．{}1,0,1-
B ．{}
0,1C ．{}
2,0,1,2-D ．{}
1,0,1,2-【答案】B
【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.
【详解】因为{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以{0,1}A B =，
故选:B ．
题型二：根据交集的结果求集合或参数
3．
（2017·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知集合{}2,3,4,5A =，{}1,B a =，若{}5A B =，则=a （
）A ．2B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【分析】根据集合的交运算结果，即可求得参数值.【详解】因为{}5A B =，故可得{}51,a ∈，则5a =.故选：D.
4．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）若集合{}322P x x =<≤，非空集合{}2135Q x a x a =+≤<-，则能使()Q P
Q ⊆成立的所有实数a 的取值范围为(
)
A ．(1,9)
B ．[1,9]
C ．[6,9)
D ．(6,9]
【答案】D
【分析】由()Q P Q ⊆知Q P ⊆，据此列出不等式组即可求解.【详解】∵()Q P Q ⊆，∴P Q Q ⋂=，Q P ⊆，
∴21352133522a a a a +<-⎧⎪
+>⎨⎪-≤⎩
，解得69a <≤，故选：D.
题型三：根据交集的结果求集合元素个数
5．（2021·河南·襄城县实验高级中学高一阶段练习）已知集合()1,A x y y x ⎧
⎫==⎨⎬⎩⎭，
(){},B x y y x =
=，则A
B 中元素的个数为（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【分析】联立方程解得11x y =⎧⎨=⎩或1
1
x y =-⎧⎨=-⎩，得到答案.
【详解】1y x y x
⎧
=
⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故A B 中有两个元素.
故选：C.
6．（2022·江苏·高一）若集合{}1,2,3,4A B =，{}1,2A B =，集合B 中有3个元素，则A
中元素个数为（）A ．1B ．2
C ．3
D ．不确定
【答案】C
【分析】根据条件得到{}1,2,3B =或{}1,2,4B =，进而可得集合A 中元素个数.【详解】{}1,2A
B =，则集合B 中必有元素1，2
当{}1,2,3B =时，{}1,2,4A =，当{}1,2,4B =时，{}1,2,3A =，故集合A 中元素个数为3.故选：C.
考点二：并集
题型四：并集的概念及运算
1．（多选）（2021·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，
{|320}B x x =->，则（
）
A ．32A
B x x ⎧⎫
⋂=<⎨⎬⎩
⎭B ．A B =∅
C ．{}
2A B x x ⋃=<D ．A B R
=
【答案】AC
【分析】先求得集合B ，由此确定正确选项.
【详解】3
{|320}{|}2B x x B x x =->==<，所以32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩
⎭，{}2A B x x ⋃=<.
故选：AC
2．（多选）（2021·福建省同安第一中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，
{|320}B x x =->，则（
）
A ．32A
B x x ⎧⎫
⋂=<⎨⎬⎩
⎭B ．A B =∅
C ．A B R
=D ．{}
A B 2x x ⋃=<【答案】AD
【解析】先化简集合B ，再由交集和并集的概念，即可得出结果.
【详解】因为集合{|2}A x x =<，{}33202B x x x x ⎧⎫
=->=<⎨⎬⎩⎭，
因此32A B x x ⎧⎫
⋂=<⎨⎬⎩
⎭，{}A B 2x x ⋃=<.
故选：AD.
题型五：根据并集的结果求集合或参数3．（多选）（2022·湖北武汉·二模）已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，
则a 的取值可以是（）A ．2B ．3
C ．4
D ．5
【答案】AB
【分析】根据并集的结果可得{}
1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；
【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；
故选：AB
4．（多选）（2021·湖南·高一期中）已知集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，若{}1,2,3,4M N =U ，则x 的可能取值为（）A ．1B ．2
C ．3
D ．4
【答案】BC
【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，即可求解.【详解】由题意，集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，且{}1,2,3,4M N =U 根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得2x =或3x =．故选：BC.
题型六：根据并集的结果求集合元素个数
5．（多选）（2021·广东揭阳·高一期末）若集合{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，A B A ⋃=则满足条件的实数x 为()
A ．0
B ．1
C ．
D ．
【答案】CD
【分析】由A B A ⋃=说明B 是A 的子集，然后利用子集的概念分类讨论x 的取值．【详解】解：由A B A ⋃=，所以B A ⊆．
又{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，所以20x =，或22x =，或2x x =．20x =时，集合A 违背集合元素的互异性，所以20x ≠．22x =时，
x =或
x =2x x =时，得0x =或1x =，集合A 均违背集合元素互异性，所以2x x ≠．
所以满足条件的实数x 的个数有2个．故选CD ．
【点睛】本题考查了并集及其运算，考查了子集的概念，考查了集合中元素的特性，解答的关键是要考虑集合中元素的互异性，是基本的概念题，也是易错题．
考点三：补集、全集
题型七：补集的概念及运算
1．（2022·广东汕尾·高一期末）全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，则 U A =ð______．【答案】{}
3x x >-【分析】直接利用补集的定义求解
【详解】因为全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，所以 U A =ð{}3x x >-，故答案为：{}
3x x >-2．
（2022·江苏·高一单元测试）若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，则S A ð＝____；若全集S ＝{三角形}，
集合B ＝{锐角三角形}，则S B ð＝______；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，则S A ð＝_______；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，则a ＝_______；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，U B ð＝{－1,0,2}，则B ＝_____.【答案】
{2}
{直角三角形或钝角三角形}
{1,2,4,8}
1或－3
{1,4}
【分析】利用补集的定义，依次分析即得解
【详解】若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，由补集的定义可得S A ð＝{2}；
若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故S B ð＝{直角三角形或钝角三角形}；
若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，由补集的定义S A ð＝{1,2,4,8}；
若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，故{1,3,4}
U U A A =⋃=ð
即2214a a ++=，即223(1)(3
0a a a a +-=-+=），解得=a 1或－3；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，故{1,0,1,2,4}U U A A =⋃=-ð，
U B ð＝{－1,0,2}，故B ={1,4}。

故答案为：{2}，{直角三角形或钝角三角形}，{1,2,4,8}，1或－3，{1,4}
题型八：根据补集运算确定集合或参数
3．（2021·广东外语外贸大学实验中学高一期中）若全集{}0,1,2,3U =且{}2U A =ð，则集合A 的真子集共有______________个．【答案】7
【分析】由补集结果可确定集合A ，由A 中元素个数可确定真子集个数.【详解】{}0,1,2,3U =且{}2U A =ð，{}0,1,3A ∴=，共3个元素，A ∴的真子集共有3217-=个.
故答案为：7.
4．
（2021·全国·高一课时练习）设a ∈R ，b ∈R ，全集U =R ，{}A x a x b =<<，{2U A x x =≤-ð或}3x ≥，则a b +=______.
【答案】1
【分析】根据补集的概念对应系数相等即可求出结果.
【详解】因为U =R ，{}A x a x b =<<，所以{U A x x a =≤ð或}x b ≥.又{2U A x x =≤-ð或}3x ≥，所以2a =-，3b =，所以1a b +=.故答案为：1.
考点四：集合的交并补
题型九:交并补混合运算
1．（湖南省部分校2021-2022学年高二下学期基础学科知识竞赛数学试题）已知集合
{}|5U x x =∈≤N ，{}1,2,4A =，{}0,3,4B =，则()U
A
B =ð（
）
A ．{}2,4
B ．{}
2,5C ．{}
1,2D ．{}
0,2,4【答案】C
【分析】根据交集与补集的定义求解.
【详解】{}{}|50,1,2,3,4,5U x x =∈≤=N ，{}1,2,5U B ∴=ð，(){}1,2U
A B ∴=ð，
故选：C.
2．（2022·浙江宁波·高二期末）已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}1,3,1,2A B ==，则()U A B =
ð（
）
A ．{}2,4
B ．{}
1,2,4C ．{}
1,2,3D ．{}
1,3,4【答案】B
【分析】先求集合A 的补集，再根据并集运算求出结果.【详解】因为{}1,2,3,4U =，{}1,3A =，所以{}2,4U A =ð；因为{}1,2B =，所以(){}1,2,4U A B =ð.
故选：B.
3．（2020·山西大附中高二阶段练习）已知集合
1,Z ,1,Z 22n
E x x n n
F x x n ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，则()F E ⋂=R ð（
）A ．∅B ．E
C ．F
D ．Z
【答案】A
【分析】由交集补集的定义求解即可【详解】
121,,,22n E x x n n Z x x n Z ⎧⎫⎧⎫+==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭2
1,,22n n F x x n Z x x n Z ⎧⎫⎧⎫+==+∈==∈⎨⎬⎨⎬
⎩⎭⎩⎭
易知E
F ，所以()F E ⋂=∅R ð．
故选：A ．
题型十：根据交并补混合运算确定集合或参数
4．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）设全集U =R ，集合{|24}A x x =-<<，
{|13}B x x =<<，{|}C x x a =<．
(1)求()U A B ∩ð；
(2)若()
U B C =∅I ð，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)(2,1][3,4)U A C B =-I U ，(2)3a ≥【分析】（1）先求U B ð，再求交集即可；
（2）先求U C ð，再根据数轴上的关系分析()
U B C =∅I ð时实数a 的取值范围即可
(1){|1U B x x =≤ð或3}x ≥，故I U ð(2,1][3,4)U A B =-．(2)ð{|}U
C x x a =³，因为()
U B C =∅I ð，故3a ≥．5．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}14A x x =<≤，{}12B x a x a =+≤≤.(1)当2a =时，求A B ；
(2)若R B A =∅ð，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}|14x x <≤，(2){}2a a ≤【分析】（1）根据并集的概念可求出结果；
（2）求出R A ð后，分类讨论B 是否为空集，再根据交集的结果列式可求出结果.
(1)当2a =时，{}34B x x =≤≤，A B ={}|14x x <≤.(2)A =R ð{|1x x ≤或4x >}，
当B =∅时，B A ⋂=∅R ð，此时12a a >+，解得1a <；
当B ≠∅时，若B A ⋂=∅R ð，则241121a a a a ≤⎧⎪
>⎨⎪≥⎩
，＋，＋，解得12a ≤≤.
综上，实数a 的取值范围为{}2a a ≤.
6．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）已知集合A ＝
{}123x m x m -≤≤+，
．(1)当m ＝1时，求A B ，(R ðA )
B ；
(2)若A
B ＝A ，求实数m 的取值范围．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．①
函数()f x 的定义域为集合B ；②不等式2x ≤的解集为B ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1){}|25=-≤≤A B x x ；(){}|20R A B x x =-≤<ð(2)1|4,12m m m ⎧
⎫<--≤≤-⎨⎬
⎩
⎭或【分析】（1）利用集合的运算求解即可.（2）通过A B ＝A 得出A B ⊆，计算时注意讨论A 为空集的情况.
(1)选条件①：
（1）当1m =时，{}|05A x x =≤≤，{}
2B x x =|-2≤≤{}|25A B x x ∴=-≤≤{}|0,5R A x x x =<>或ð(){}
|20R A B x x ∴⋂=-≤<ð选条件②：此时集合{}2B x x =|-2≤≤与①相同，其余答案与①一致；(2)若A
B A =，则A B
⊆当A =∅时，123m m ->+，解得4
m <-当A ≠∅时，21
123232m m m m -≤-⎧⎪
-≤+⎨⎪+≤⎩，即1412m m m ⎧
⎪≥-⎪≥-⎨⎪⎪≤-
⎩
，解得112m -≤≤-
综上，实数m 的取值范围为1|412m m m ⎧
⎫<--≤≤-⎨⎬
⎩
⎭或考点五：Venn 图
题型十一：Venn 图
1．（湖北省武汉市四校联合体2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知M R ⊆，
N R ⊆，R N M ⊆ð，则()R M N =I ð（
）
A ．∅
B ．N
C ．R
D ．M
【答案】D
【分析】根据Venn 图判断即可
【详解】因为M R ⊆，N R ⊆，R N M ⊆ð，故M N ⋂=∅，故()R M
N M
=ð故选：D
2．
（2022·河南河南·高一期末）集合{}0,1,2,4,8A =，{}
2x
B x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】首先求出集合B ，再结合韦恩图及交集、并集、补集的定义计算可得；
【详解】解：∵{}0,1,2,4,8A =，{}
2x
B x A =∈，
∴{}0,1,2,3B =，则{}0,1,2A B =，{}0,1,2,3,4,8A B =，
选项A 中阴影部分表示的集合为A B ，即{}0,1,2，故A 错误；
选项B 中阴影部分表示的集合由属于A 但不属于B 的元素构成，即{}R 4,8A B =ð，故B 正确；
选项C 中阴影部分表示的集合由属于B 但不属于A 的元素构成，即{}R 3B A =ð，有1个
元素，故C 错误；
选项D 中阴影部分表示的集合由属于A B 但不属于A B 的元素构成，即{}3,4,8，故D 错误．故选：B ．
3．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知{33}U x
x =-≤<∣，{23}A x x =-≤<∣，则图中阴影表示的集合是（）
A ．{32}x x -≤≤-∣
B ．{3x x <-∣或3}x ≥
C ．{0}x x ≤∣
D ．{32}x
x -≤<-∣【答案】D
【分析】结合图像以及补集的知识求得正确答案.
【详解】由图可知，阴影表示的集合为集合A 相对于全集U 的补集，
即阴影表示的集合是U A ð，所以{32}U A x x =-≤<-∣ð
.故选：D
4．
（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合A ，B ，C ，全集为I ，则图中阴影部分的区域表示（
）
A ．A
B
C ⋂⋂B ．()I A C B ⋂⋂ðC ．()I A B C ⋂⋂ð
D ．()
I B C A ⋂⋂ð【答案】B
【分析】找到每一个选项对应的区域即得解.【详解】解：如图所示，
A.A B C ⋂⋂对应的是区域1；
B.()I A C B ⋂⋂ð对应的是区域2；
C.()I A B C ⋂⋂ð对应的是区域3；
D.()I B C A ⋂⋂ð对应的是区域4.故选：B
考点六：集合的应用
一、单选题
1．
（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．15
【答案】A
【分析】根据集合的运算可得答案.
【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为2320358+-=.故选：A.
2．（2021·全国·高一期中）学校对高一学生进行体质检测，检测项目包括跑步和立定跳远，
某班65名学生中有1
5
的学生两项检测都未达标，跑步达标的有35人，立定跳远达标的有
42人，则该班两项检测都达标的学生人数为（）
A ．13
B ．23
C ．25
D ．30
【答案】C
【分析】求出至少有一项检测达标的学生人数即可得出.
【详解】两项检测都未达标的学生人数为1
65135
⨯=，所以至少有一项检测达标的学生人数
为651352-=，所以两项检测都达标的学生人数为35425225+-=．故选：C.
3．（2021·湖南·武冈市第二中学高一阶段练习）举办校运会，某班参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，那么该班参加本次运动会的人数共有（
）
A ．28
B ．23
C ．18
D ．16
【答案】C
【分析】分析出只参加田赛的有4人，只参加径赛的有9人，即可得解.
【详解】参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，所以只参加田赛的有4人，只参加径赛的有9人，所以参加本次运动会的人数共有18人.故选：C
4．（2021·江苏·高一期中）某班有30人参加了“第十四个五年规划的知识竞赛”若答对第一题的有18人，答对第二题的有16人，两题都答对的有8人，则一、二两题都没答对的有（）
A ．3人
B ．4人
C ．5人
D ．6人
【答案】B
【分析】结合交并补集的概念，结合题意即可求出结果.
【详解】设全班的同学组成全集U ，答对第一题的同学组成集合A ，答对第二题的同学组成集合B ，由题意可得A 中元素有18个，B 中元素有16个，A B 中元素有8个，所以A B
中元素的个数为1816826+-=个，所以()U A
B ð中元素的个数为30264-=个，故一、二两题都没答对的有4人，故选：B.二、填空题
5．
（2021·湖南·高一期中）某学校开设校本课程，高一（2110）班确定了数学类､英语类､历史类三个类别校本课程供班上的40名学生选择参加，且40名学生全部参与选择.其中只选数学类的有8人，只选英语类的有8人，只选历史类的有8人，既选数学类又选英语类的有7人，既选数学类又选历史类的有11人，既选英语类又选历史类的有8人，则三类课程都选择参加的有___________人.【答案】5
【分析】设三类课程都选择参加的学生有x 人，由题意得
()()()83711840x x x x ⨯+-+-+-+=，解方程可求得结果
【详解】设三类课程都选择参加的学生有x 人，
由题意得()()()83711840x x x x ⨯+-+-+-+=，解得5x =.故答案为：5
6．
（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高一阶段练习）某校高一（1）班有学生50人，参加数学小组的有24人，参加物理小组的有30人，至少参加一个小组的有43人，则既参加数学小组又参加物理小组的人数为____________.【答案】11
【分析】根据集合的交集并集的定义得到答案.
【详解】既参加数学小组又参加物理小组的人数为24304311+-=.故答案为：11.
7．（2021·湖北黄石·高一阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.【答案】9
【分析】根据题意，设学生54人看成集合U ，选择物理的人组成集合A ，选择化学的人组成集合B ，选择生物的人组成集合C ，选择物理与化学但未选生物的人组成集合D ，结合Venn 图可知，要使区域D 的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解.
【详解】把学生54人看成集合U ，选择物理的人组成集合A ，选择化学的人组成集合B ，选择生物的人组成集合C ，选择物理与化学但未选生物的人组成集合D .
要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn 图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.
故答案为：9.
考点七：集合新定义
1．（2022·贵州·凯里一中高一期中）已知{|M x x A =∈且}x B ∉，若集合{}1,2,3,4,5A =，
{}2,4,6B =，则M =（
）
A ．{}1,3,5,6
B ．{}
1,3,5C ．{}
2,4D ．{}
6【答案】B
【分析】直接利用集合M 的含义解答.【详解】解：由题得{
}1,3,5M =.故选：B 2．（2022·全国·高一）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；对于集
合{}1,2A =-，{}2
|2,0B x ax a ==≥，若这两个集合构成“鲸吞”，则a 的取值为
____________．
【答案】0
【分析】根据题中定义，结合子集的定义进行求解即可.【详解】当0a =时，B =∅，显然B A ⊆，符合题意；
当0a ≠时，显然集合B 中元素是两个互为相反数的实数，而集合A 中的两个元素不互为相反数，所以集合B 、A 之间不存在子集关系，不符合题意，故答案为：0
3．（2022·北京一七一中高一阶段练习）已知集合(){}1234,,,,N,1,2,3,4i A x x x x x i αα==∈=.对集合A 中的任意元素()1234,,,x x x x α=，定义()()12233441,,,x x x x x x x x T α--=--，当
正整数2n ≥时，定义()
1
()()αα-=n n T T T （约定1()()αα=T T ）.(1)若()2,0,2,1α=，()2,0,2,2β=，求()4T α和()4
T β；
(2)若()1234,,,x x x x α=满足{}()0,11,2,3,4i x i ∈=且()2
()1,1,1,1T α=，求α的所有可能结果.
【答案】(1)4()(0,0,0,0)T α=和4()(0,0,0,0)T β=(2)α的所有可能结果为(0,0,1,1),(0,1,1,0),(1,0,0,1),(1,1,0,0)
【分析】（1）代入(2,0,2,1)α=和(2,0,2,2)β=，逐个计算出()T α，2()T α，3()T α，4()αT 和()T β，2()T β，3()T β，4()βT ，即可得到答案.
（2）根据()1234,,,x x x x α=，得到()()12233441,,,x x x x x x x x T α--=--，利用2()(1,1,1,1)α=T ，得到12
2323
34344141121111
x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧---=⎪
---=⎪⎨
---=⎪⎪---=⎩
，然后，分类讨论，即可得到，
①120,0==x x ；②120,1x x ==；③121,0x x ==；④121,1x x ==；四种情况下α的所有可能结果.
(1)当(2,0,2,1)α=时，()(2,2,1,1)T α=，2()(0,1,0,1)T α=，
3()(1,1,1,1)T α=，4()(0,0,0,0)T α=；
当(2,0,2,2)β=时，()(2,2,0,0)T β=，2()(0,2,0,2)T β=，
3()(2,2,2,2)T β=，4()(0,0,0,0)T β=；
(2)因为()1234,,,x x x x α=，所以，()()12233441,,,x x x x x x x x T α--=--，又因为2()(1,1,1,1)α=T ，所以，12232334344141121111
x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧---=±⎪
---=±⎪⎨
---=±⎪⎪---=±⎩
，
因为{0,1}(1,2,3,4)i x i ∈=，当12x x =时，2341431|0x x x x x x -=-=-=，∣，
当121x x -=｜｜时，234100x x x x -=-=，
，所以，当120,0==x x 时，经检验(0,0,1,1)α=符合题意，当120,1x x ==时，经检验(0,1,1,0)α=符合题意，当121,0x x ==时，经检验(1,0,0,1)α=符合题意，当121,1x x ==时，经检验(1,1,0,0)α=符合题意.
所以，α的所有可能结果为(0,0,1,1),(0,1,1,0),(1,0,0,1),(1,1,0,0).4．（2022·北京二中高一阶段练习）对于正整数集合{}()
*12,,
,,3n A a a a n n =∈≥N ，如果去
掉其中任意一个元素()1,2,,i a i n =L 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.(1)判断集合{}1,2,3,4,5与{}1,3,5,7,9是否为“和谐集”（不必写过程）；(2)求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数；(3)若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值.【答案】(1){}1,2,3,4,5不是“和谐集”，{}1,3,5,7,9不是“和谐集”(2)证明见解析，(3)7
【分析】（1）由“和谐集”的定义判断
（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明（3）由（2）知n 为奇数，根据n 的取值讨论后求解
(1)对于{}1,2,3,4,5，去掉2后，{1,3,4,5}不满足题中条件，故{}1,2,3,4,5不是“和谐集”，对于{}1,3,5,7,9，去掉3后，{1,5,7,9}不满足题中条件，{}1,3,5,7,9不是“和谐集”(2)设{}12,,
,n A a a a =中所有元素之和为M ，由题意得i M a -均为偶数，
故()1,2,,i a i n =L 的奇偶性相同
①若i a 为奇数，则M 为奇数，易得n 为奇数，②若i a 为偶数，此时取2
i
i a b =
，可得{}12,,,n B b b b =仍满足题中条件，集合B 也是“和谐集”，
若i b 仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知n 为奇数综上，集合A 中元素个数为奇数
(3)由（2）知集合A 中元素个数为奇数，显然3n =时，集合不是“和谐集”，当5n =时，不妨设12345a a a a a <<<<，若A 为“和谐集”，
去掉1a 后，得2534a a a a +=+，去掉2a 后，得1534a a a a +=+，两式矛盾，故5n =时，集合不是“和谐集”
当7n =，设{1,3,5,7,9,11,13}A =，去掉1后，35791113+++=+，去掉3后，19135711++=++，去掉5后，91313711+=+++，去掉7后，19113513++=++，去掉9后，13511713+++=+，去掉11后，3791513++=++，去掉13后，1359711+++=+，
故{1,3,5,7,9,11,13}A =是“和谐集”，元素个数的最小值为7
巩固提升
一、单选题
1．（2022·贵州六盘水·高一期中）已知全集U =R ，集合{}2A x x =≥，{}23B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（
）
A ．[]22-,
B ．(]2,2-
C ．()2,2-
D ．[)
2,2-【答案】C
【分析】依题意图中阴影部分表示()B A B ð，再根据交集、补集的定义计算可得；【详解】解：因为{}2A x x =≥，{}23B x x =-<<，所以{}23A B x x ⋂=≤<，所以(){}22B A B x x ⋂=-<<ð.故选：C
2．（2021·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知集合{}
2A y y x ==，{}(,)B x y y x ==，
则A B 的子集个数为（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】B
【分析】由交集运算与子集的定义求解即可
【详解】因为{}
2
A y y x ==，{}(,)
B x y y x ==，所以A B =∅，
所以A B 的子集为∅，所以A B 的子集个数为1，故选：B
3．
（2022·江苏·高一）已知集合{|24},{|3A x x B x x =<<=<或}5x >，则A B =（）
A ．{|2<<5}x x
B ．{|<4x x 或}
5x >C ．{|2<<3}
x x D ．{|<2x x 或5}
x >【答案】C
【分析】根据交集的概念及运算法则求出交集.【详解】由题意得：(2,3)A B =，故选：C ．
4．（2021·新疆·沙湾县第一中学高一期中）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合()U A B ð的真子集的个数为（）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．7个
【答案】B
【分析】先求出()U A B ∩ð，再计算真子集个数即可.【详解】由题意知：{}2,5,8U B =ð，则(){}2,5U
A B =ð，
则()U A B ð的真子集的个数为2213-=.故选：B.
5．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{|33}A x x =-<<，{2,0,1,2,3}B =-，则A B =（
）
A ．{2,0,1,2}-
B ．{2,0,1}
-C ．{0,1,2}
D ．{0,1}
【答案】A
【分析】根据交集的计算即可求解.
【详解】解：因为{|33}A x x =-<<，{2,0,1,2,3}B =-，所以{}2,0,1,2A B =-；故选：A
6．（2022·陕西省安康中学高一期末）已知集合{}{}10,2A x x B x x =+≤=≥-，则A B ⋃=（
）
A ．{}1x x ≤-
B ．{}
21x x -≤≤-C ．{}
2x x ≥-D ．R
【答案】D
【分析】求出集合A ，再利用并集的定义直接计算作答.【详解】依题意，{}1A x x =≤-，而{}2B x x =≥-，所以A B =R ．
故选：D
7．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，
{2,3}B =，则()()U U A B ⋂=痧（
）
A ．{2}
B ．{5}
C ．{1,3,4,5}
D ．{1,2,3,4}
【答案】B
【分析】先求解集合A 与集合B 的补集，利用交集运算求解即可.【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{2,3}B =，则{}3,5U A =ð，{}1,4,5U B =ð，故()(){}5U U A B ⋂=痧.故选：B.二、多选题
8．
（2022·全国·高一）若集合{}1,0,1,2M =-，集合{}1,0,1N =-，则正确的是（）
A ．,x M x N ∃∈∉
B ．,x N x M ∀∈∈
C ．{}1,0,1M N ⋂=-
D ．{}
1,0,1,2M N ⋃=-【答案】ABCD
【分析】根据2M ∈，且2N ∉可判断A 选项；利用集合的包含关系可判断B 选项；利用集合的运算可判断CD 选项.
【详解】对于A 选项，2M ∈，且2N ∉，A 对；对于B 选项，N
Q M ，所以，x N ∀∈，x M ∈，B 对；
对于C 选项，{}1,0,1M N ⋂=-，C 对；对于D 选项，{}1,0,1,2M N ⋃=-，D 对.故选：ABCD.
9．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）下列关系中正确的有（）
A
Z B ．*0N ∈C ．14
Q
∈D ．R Q
π∈ð【答案】ACD
【分析】根据常用集合的专用符号，结合元素与集合的关系，以及集合的补运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A ：Z 3=是整数，故A 正确；对B ：*N 表示正整数集，0不是正整数，故B 错误；对C ：Q 表示有理数集，
1
4
是有理数，故C 正确；对D ：R Q ð表示无理数构成的集合，π是无理数，故D 正确；故选：ACD.
10．（2022·全国·高一）已知集合A ，B 均为R 的子集，若A B =∅，则（）
A ．R A B
⊆ðB ．R A B
⊆ð
C ．A B R =
D ．()()R R A B R
⋃=痧【答案】AD
【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案【详解】
如图所示
根据图像可得R A B ⊆ð,故A 正确；由于R B A ⊆ð，故B 错误；A B R ⊆,故C 错误
()(
)()R
R
R
A B A B R
⋃=
⋂=痧故选：AD
11．
（2022·全国·高一专题练习）对于集合A ，B ，定义{|,}A B x x A x B -=∈∉，()
()⊕=--A B A B B A ．设{}1,2,3,4,5,6M =，{}4,5,6,7,8,9,10N =，则M N ⊕中可能含
有下列元素（）．
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】CD
【分析】根据所给定义求出M N -，N M -，即可求出M N ⊕，从而判断即可；【详解】解：因为{}1,2,3,4,5,6M =，{}4,5,6,7,8,9,10N =，所以{}{}1,2,3,7,8,9,10M N N M -=-=，
∴()(){1,2,3,7,8,9,10}M N M N N M ⊕=-⋃-=．故选：CD 三、填空题
12．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知集合{}{}0,1,2,1P Q x
x ==∣ ，则P Q 的非空真子集的个数为__________.【答案】2
【分析】先求P Q 后再计算即可.【详解】
{}1,2,P Q P Q ⋂=∴⋂的非空真子集的个数为2222-=.
故答案为：2
13．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合{|13},{|25}A x x B x x =∈<≤=∈<<Z Z ，则A B 的子集的个数为___________.
【答案】8
【分析】先求得A B ，然后求得A B 的子集的个数.
【详解】{}{}2,3,3,4A B ==，
{2,3,4}A B ⋃=，有3个元素，所以子集个数为328=.
故答案为：8
14．（2020·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知{}12A x x =-≤<，{}1B x x =<则
A B =_________
【答案】[)
1,1-【分析】利用交集的运算解题即可.
【详解】交集即为共同的部分，即{}|11A B x x ⋂=-≤<.故答案为：[)
1,1-15．
（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）若A ={}(,)21x y y x =-，B ={}
2
(,)x y y x =，则A B =____________
【答案】{(1,1)}
【分析】由集合中的条件组成方程组求解可得.
【详解】将21y x =-代入2y x =，得2210x x -+=，解得1x =，则211y =-=，所以{(1,1)}A B =.故答案为：{(1,1)}
16．（2022·全国·高一）满足{}{}11,2,3A ⊆⋂的所有集合A 是______.【答案】{}1或{}1,2或{}1,3或{}1,2,3【分析】根据子集的定义和交集的定义求解即可.【详解】∵{}{}11,2,3A ⊆⋂，∴{}1为{}1,2,3A 的子集，
∴{}{}1,2,3=1A
或{}{}1,2,3=12A ，
或{}{}1,2,3=1,3A ，{}{}1,2,3=1,23A ，∴{}1A =或{}=1,2A 或{}=1,3A 或{}1,2,3A =，故答案为：{}1或{}1,2或{}1,3或{}1,2,3.
17．（2021·江西·丰城九中高一阶段练习）某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为__________．【答案】23
【分析】利用容斥原理判断参加田赛和径赛的同学人数，进而可得没有参加比赛的人数.【详解】由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，
所以参加田赛和径赛的同学共有781227++=人，
综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为502723-=人.
故答案为：23
18．
（2022·重庆九龙坡·高一期末）已知集合{}{}35,10A x Z x B y y =∈-<<=+>∣∣，则A B 的元素个数为___________.
【答案】5
【分析】直接求出集合A 、B ，再求出A B ，即可得到答案.
【详解】因为集合{}{}352,1,0,1,2,3,4A x Z
x =∈-<<=--∣，集合{}{}101B y
y y y =+>=>-∣∣，所以{}0,1,2,3,4A B =，所以A B 的元素个数为5.故答案为：5.
19．
（2022·湖南·高一课时练习）已知A ，B 为非空集，I 为全集，且A B ≠，用适当的符号填空：
（1）A B ______A B ；
（2）A ______()I A A ⋃ð；（3）A B ______A ；
（4）∅______A B ；（5）A A ⋂______A A ⋃；
（6）A ∅______A ；（7）A ∅____()I A A ⋂ð____∅；
（8）A B ____A ____A B ．【答案】⊆⊆⊆⊆====⊆⊆
【分析】根据集合的交集，并集，补集的性质及子集、集合相等的概念求解.
【详解】由交集，并集，补集的运算及性质，结合子集、集合相等求解，直接写出答案即可.故答案为：⊆，⊆，⊆，⊆，=，=，=，=，⊆，⊆
20．（2021·陕西·西工大附中分校高一期中）设非空数集M 同时满足条件：①M 中不含元素1,0,1-；②若a M ∈，则11a M a
+∈-，则下列结论不正确的个数是__________个.（1）集合M 中至多有2个元素；
（2）集合M 中至少有4个元素；
（3）集合M 中有且仅有4个元素；
（4）集合M 中至多有4个元素.
【答案】3【分析】由题意可求出11,
,11,1
a a a a a a -+--+都在M 中，然后计算这些元素是否相等，继而判断M 的元素个数的特点.
【详解】因为若a M ∈，则11a M a +∈-，所以1111111a a M a a a ++-=-∈+--，111111a a M a a --=∈++，
则1
1211211a a a a M a a -+
+==∈--+；当1,0,1a ≠-时，4个元素11,,11,1
a a a a a a -+--+中，任意两个元素都不相等，所以集合M 中至少有4个元素．
故可判断出（1）错误，（2）正确，（3）错误，（4）错误，
故答案为：3.
四、解答题
21．（2022·全国·高一）已知集合{|32}A x x =-≤≤，集合{|131}B x m x m =-≤≤-．
(1)当3m =时，求A B ；
(2)若A B ⊆，求实数m 的取值范围
【答案】(1){}|22A B x x ⋂=-≤≤；(2){}|4m m ≥.
【分析】（1）由题意可得{|28}B x x =-≤≤，利用交集的定义运算即得；
（2）由题可得13312
m m -≤-⎧⎨-≥⎩，即得．(1)当3m =时，{|28}B x x =-≤≤，
{|32}{|28}{|22}A B x x x x x x ∴⋂=-≤≤⋂-≤≤=-≤≤；
(2)由A B ⊆，
则有：13312m m -≤-⎧⎨-≥⎩，解得：41m m ≥⎧⎨≥⎩
，即4m ≥，∴实数m 的取值范围为{|4}m m ≥．
22．
（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）已知集合{1,0,1},{0,2},{1,0,1,2,3}A B U =-==-．(1)求A B ；
(2)求()U A B ⋂ð．
【答案】(1){1,0,1,2}A B =-，(2)(){1,1,2,3}
U A B =-ð【分析】（1）根据并集的定义计算可得；
（2）根据交集、补集的定义计算可得；
(1)解：因为{1,0,1}A =-，{0,2}B =，
所以{1,0,1,2}A B =-．
(2)解：因为{}1,0,1,2,3U =-，{1,0,1}A =-，{0,2}B =，
所以{0}A B =，
所以(){1,1,2,3}U A B =-ð．
23．
（2021·广东·江门市广雅中学高一阶段练习）设全集为R ，集合{}37A x x =≤<，{}26B x x =<<，求()R A B ⋃ð，()R A B ⋂ð．
【答案】()R {2A B x x ⋃=≤ð或7}x ≥；()R {3A B x x ⋂=<ð或6}
x ≥【分析】根据交集、并集的概念，先求得A B 、A B ，根据补集运算的概念，即可得答案。

【详解】因为{}37A x x =≤<，{}26B x x =<<，所以{27}A B x x ⋃=<<，则()R {2A B x x ⋃=≤ð或7}x ≥，又{36}A B x x ⋂=≤<，所以()R {3A B x x ⋂=<ð或6}
x ≥24．
（2016·天津市红桥区教师发展中心高一期中）（1）已知全集{}|510,Z U x x x =-≤≤∈，集合M ={|07,Z x x x ≤≤∈}，N ={|24,Z x x x -<∈≤}，求()
U N M ð（分别用描述法和列举法表示结果）；
（2）已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B =⋃=，若集合{}2,4,6,8U A B =ð，求集合B ；（3）已知集合2{|210,R,R}P x ax ax a x =++=∈∈，当集合P 只有一个元素时，求实数a 的值，并求出这个元素.
【答案】（1）{}|47,Z x x x ≤≤∈，{}4,5,6,7；（2）{}0,1,3,5,7,9,10；（3）1a =，元素为1-.
【分析】（1）根据补集和交集的定义直接计算作答.
（2）利用补集的定义直接计算作答.
（3）利用元素与集合的关系推理计算作答.
【详解】（1）由{}|510,Z U x x x =-≤≤∈，N ={|24,Z x x x -<∈≤}，
得：{|52U N x x =-≤<-ð或410,Z}x x ≤≤∈，而{|07,Z}M x x x =≤≤∈，
所以{}()|47,Z U N M x x x =≤≤∈ð{}4,5,6,7=.
（2）由{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B =⋃=，{}2,4,6,8U A B =ð，得{2,4,6,8}U B =ð，所以{}()0,1,3,5,7,9,10U U B B ==痧.
（3）当0a =时，P =∅，不符合题意，
当0a ≠时，因集合P 只有一个元素，则方程2210ax ax ++=有等根，2440a a ∆=-=，此时1a =，集合P 中的元素为1-，
所以1a =，这个元素是1-.
25．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}|20M x x =-<<，{|53}N x t x t =<<+.
(1)当1t =-时，求M N ⋂；
(2)若M N ⊆，求实数t 的取值范围.
【答案】(1){}|20M N x x =-<<，(2)235⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦，
【分析】（1）根据交集的概念进行运算可得结果；
（2）根据子集关系列式可求出结果.
(1)当1t =-时，{}52N x x =-<<，
因此{}|20M N x x =-<<.
(2)因{}|20M x x =-<<，{}53N x t x t =<<+， M N ⊆，
所以355230t t t t +>⎧⎪≤-⎨⎪+≥⎩，经计算得235t -≤≤-，故实数t 的取值范围是23.5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，26．（2021·新疆·沙湾县第一中学高一期中）已知全集U =R ，集合{}|34A x x =-≤≤，{}|132B x m x m =-≤≤-.
(1)当3m =时，求A ∩B 与A ∪B ；
(2)若U B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.
【答案】(1){}|24A B x x =≤≤，{}|37A B x x ⋃=-≤≤；(2)()1,5,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．
【分析】（1）根据集合的交集和并集运算即可解出；
（2）根据集合的包含关系列出不等式组即可解出．
(1)当3m =时，{}{}|132|27
B x m x m x x =-≤≤-=≤≤，而{}|34A x x =-≤≤，所以{}|24A B x x =≤≤，{}|37A B x x ⋃=-≤≤．
(2)因为()(),34,U A =-∞-+∞ð，而{}|132B x m x m =-≤≤-，所以，
当132m m ->-即12m <
时，B =∅，显然符合；当12
m ≥时，B ≠∅，要U B A ⊆ð，所以323m -<-或14m ->，解得：5m >．综上，实数m 的取值范围为()1,5,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．
27．（2022·北京·清华附中朝阳学校高一阶段练习）对于任意的*n N ∈，记集合{1,2,3,,}n E n =
，,n n n P x x a E b E ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭
，若集合A 满足下列条件：①n A P ⊆；②12,x x A ∀∈，且12x x ≠，不存在*N k ∈，使212x x k +=，则称A 具有性质Ω.如当2n =时，
2{1,2}E =
，2P ⎧=⎨⎩
，112,x x P ∀∈，且12x x ≠，不存在*N k ∈，使212x x k +=，所以2P 具有性质Ω.
(1)写出集合3P ，4P 中的元素个数，并判断3P 是否具有性质Ω.。