全称量词命题与存在量词命题的否定(课件)-高一数学(人教B版2019必修第一册)
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第一章 集合与常用逻辑用语
1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定
高一必修第一册（019人教B版）
学习目标 1.通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形 式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否 定．（重点）
2.正确地对含有一个量词的命题进行否定．（难点）
新知导入 情 景 一 ：“否定” 是我们日常生活中经常使用的一个词. 2009 年 11 月 23 日 《人民日报》 的《创新, 从敢于否定 开始》一文中有这样一段话: “培养一流创新人才, 敢于否 定的精神非常重要. 一旦下定决心进行研究, 首先就要敢 于否定别人的成果, 并想一想: 前人的成果有哪些是不对 的, 有什么方面可以改善, 有什么地方可以加强.”
(2)q 是全称量词命题，省略了全称量词“任意一个”，即 “任意一个有理数都能写成分数的形式”， q：存在一个 有理数不能写成分数的形式，是假命题.
即时训练 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此， s： 所有实数的绝对值都不是正数，是假命题.
(4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此， t： 每一个平行四边形都不是菱形，是假命题.
即时训练 知识点一：命题的否定
【典例】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)圆周率π是无理数； (2)空集∅是集合 A 的子集； 【解析】(1)命题的否定：圆周率π不是无理数，是假命题.
(2)命题的否定：空集∅不是集合 A 的子集，是假命题.
新知探索 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
而命题 可以表述为 “存在一个有理数不是实数”, 因此 是一个存在量词 命题, 可以用符号表示为： ，
显然, 这里的 是一个真命题, 而 是一个假命题.
新知探索 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
全称量词命题与存在量词命题的否定 ①存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量 词命题：∀x∈M， p(x). ②全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“∀x∈M，q(x)”的否定是存在量 词命题：∃x∈M， q(x).
若记 : “存在整数是自然数”, 则不难看出, 这个命题的 否定是 : “不存在整数是自然数”. 这里的命题 实际上 是个存在量词命题, 而且可以用符号表示为
；
新知探索 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
而命题 可以表述为 “每一个整数都不是自然数”, 因此 是一个全称量词命题, 可以用符号表示为 .
因为“所有能被 5 整除的整数都是奇数”的否定是“存在 一个能被 5 整除的整数不是奇数”，所以 D 错误，C 正确. 故选 C.
课堂练习
【训练 3】对下列命题的否定，其中说法错误的是( ) A．p：∀x≥3，x2－2x－2≥0；p 的否定：∃x≥3，x2－2x－2<0 B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p 的否定：每一个四边形的四 个顶点共圆 C．p：有的三角形为正三角形；p 的否定：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p 的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0
教材例题
【典例 1】写出下列命题的否定, 并判断所得命题的真假:
(1)
;
(2)
;
(3) : 至少有一个直角三角形不是等腰三角形.
教材例题
【解析】(1) 假命题.
, 由 是真命题可知 是
(2)
. 将集合中的元素逐个验证, 当
时不等式成立, 因此 是真命题.
教材例题
(3) 角为 命题.
: 所有直角三角形都是等腰三角形. 因为有一个内 的 直角三角形不是等腰三角形, 所以 是假
教材例题
【典例 2】写出下列命题的否定, 并判断所得命题的真假:
(1)
, 一次函数
的图像经过原点;
(2)
.
教材例题
【 解 析 】 (1)
, 一次函数
不经过原点. 因为当
时, 一次函数
的图像经过原点, 所以 是假命题.
(2) 所以 是真命题.
. 因为
时,
的图像 ,
课堂练习 【训练 1】命题“∃x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是( ) A．∀x∈R，x2－2x－3≤0 B．∃x∈R，x2－2x－3≥0 C．∃x∈R，x2－2x－3>0 D．∀x∈R，x2－2x－3>0 【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要 改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤” 改为“>”.故选 D.
新知探索 知识点一：命题的否定
尝试与发现：你能说出命题 “ 3 的相反数是 -3 ” 和 : 3 的相反数不是-3 ” 这两个命题之间的关系吗? 它
们的真假性如何? 可以发现, 命题 是对命题 的否定, 命题 也是对命题 的否定. 而且, 是真命题, 是假命題. 一般地, 对命题
加以否定, 就得到一个新的命题, 记作 “ ”, 读作 “非 ” 或 “ 的否定”.
课堂练习 【训练 5】已知命题 p：∀x∈R，x2－x＋1a≥0，命题 q：
2 ∃x∈R，ax2－2ax－3＞0，若 p 假 q 真，求实数 a 的取值 范围.
【解析】因为命题 p 是假命题，所以 p：∃x∈R，x2－x ＋12a＜0 是真命题，则(－1)2－2a>0，解得 a<12.
课堂练习 因为命题 q：∃x∈R，ax2－2ax－3＞0 是真命题. 所以当 a＝0 时，－3＜0，不合题意；
②命题 p 与其否定 的真假关系
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是假命 题；反之亦然.
课堂总结 全称量词命题与存在量词命题的否定
①存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量 词命题：∀x∈M， p(x).
②全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“∀x∈M，q(x)”的否定是存在量 词命题：∃x∈M， q(x).
显然, 这里的 是一个真命题, 而 是一个假命题.
新知探索 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
若记 : “每一个有理数都是实数”, 则不难看出, 这个命 题的否定是 : “不是每一个有理数都是实数”. 这里的命 题 实际上是一个全称量词命题，而且可以用符号表示为：
；
新知探索 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
新知探索 知识点一：命题的否定
例如,
是一个真命题,
那么
就是一个假命题.
新知探索 知识点一：命题的否定
命题的否定：
①定义：一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命 题，记作“ ”，读作“非 p”或“p 的否定”.
②命题 p 与其否定 的真假关系
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是假命 题；反之亦然.
课堂总结
常见词语的否定词语：
等于 大于 小于
原词
是
(＝) (>) (<)
不等于 不大于 不小于
否定
不是
(≠) (≤) (≥)
都是 不都是
至多有 一个
至少有 两个
至多有 n个
至少有 (n＋1)
个
至少有 一个
一个也 没有
【典例】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假. (1)p：每一个质数都是奇数； (2)q：有理数都能写成分数的形式； (3)s：有些实数的绝对值是正数； (4)t：某些平行四边形是菱形.
即时训练 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
【解析】(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”， 因此， p：存在一个质数不是奇数，是真命题.
新知探索 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
常见词语的否定词语：
等于 大于 小于
原词
是
(＝) (>) (<)
不等于 不大于 不小于
否定
不是
(≠) (≤) (≥)
都是 不都是
至多有 一个
至少有 两个
至多有 n个
至少有 (n＋1)
个
至少有 一个
一个也 没有
即时训练 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
新知导入
思考：结合上述这段话, 谈谈你对 “否定” 一词的认识, 并 由此猜想 “命题的否定” 是什么意思.
新知导入 情景二：判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命 题.
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3） ∈R, －2 ＋1≥0；
（4）有些实数的绝对值是正数； 思考：你能写出下列命题的否定吗？
当 a＜0 时，(－2a)2＋12a＞0，所以 a＜－3. 当 a＞0 时，函数 y＝ax2－2ax－3 的图像开口向上，一定
存在满足条件的 x.故 a＜－3 或 a＞0.
综上，a
的取值范围是(－∞，－3)∪
0，1 2
.
课堂总结 命题的否定：
①定义：一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命 题，记作“ ”，读作“非 p”或“p 的否定”.
课堂练习 【训练 2】全称量词命题“所有能被 5 整除的整数都是奇 数”的否定是( ) A．所有能被 5 整除的整数都不是奇数 B．所有奇数都不能被 5 整除 C．存在一个能被 5 整除的整数不是奇数 D．存在一个奇数，不能被 5 整除
课堂练习 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，而 A， B 是全称量词命题，所以 A，B 错误.
【解析】若 p：有的三角形为正三角形，则 p 的否定：所
有的三角形都不是正三角形，故 C 错误.故选 C.
课堂练习
【训练 4】命题 p：任意 x∈R，x2－21x－3≥0 的否定 p 是______， p 是一个________命题(填“真”或“假”).
【解析】命题 p 是一个全称量词命题，可等价转化为任意 x∈R，x2－2x－3>0，其否定形式为存在 x∈R，x2－2x－3 ≤0，又 x2－2x－3≤0 等价于－1≤x≤3，故为真命题.
1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定
高一必修第一册（019人教B版）
学习目标 1.通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形 式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否 定．（重点）
2.正确地对含有一个量词的命题进行否定．（难点）
新知导入 情 景 一 ：“否定” 是我们日常生活中经常使用的一个词. 2009 年 11 月 23 日 《人民日报》 的《创新, 从敢于否定 开始》一文中有这样一段话: “培养一流创新人才, 敢于否 定的精神非常重要. 一旦下定决心进行研究, 首先就要敢 于否定别人的成果, 并想一想: 前人的成果有哪些是不对 的, 有什么方面可以改善, 有什么地方可以加强.”
(2)q 是全称量词命题，省略了全称量词“任意一个”，即 “任意一个有理数都能写成分数的形式”， q：存在一个 有理数不能写成分数的形式，是假命题.
即时训练 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此， s： 所有实数的绝对值都不是正数，是假命题.
(4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此， t： 每一个平行四边形都不是菱形，是假命题.
即时训练 知识点一：命题的否定
【典例】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)圆周率π是无理数； (2)空集∅是集合 A 的子集； 【解析】(1)命题的否定：圆周率π不是无理数，是假命题.
(2)命题的否定：空集∅不是集合 A 的子集，是假命题.
新知探索 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
而命题 可以表述为 “存在一个有理数不是实数”, 因此 是一个存在量词 命题, 可以用符号表示为： ，
显然, 这里的 是一个真命题, 而 是一个假命题.
新知探索 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
全称量词命题与存在量词命题的否定 ①存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量 词命题：∀x∈M， p(x). ②全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“∀x∈M，q(x)”的否定是存在量 词命题：∃x∈M， q(x).
若记 : “存在整数是自然数”, 则不难看出, 这个命题的 否定是 : “不存在整数是自然数”. 这里的命题 实际上 是个存在量词命题, 而且可以用符号表示为
；
新知探索 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
而命题 可以表述为 “每一个整数都不是自然数”, 因此 是一个全称量词命题, 可以用符号表示为 .
因为“所有能被 5 整除的整数都是奇数”的否定是“存在 一个能被 5 整除的整数不是奇数”，所以 D 错误，C 正确. 故选 C.
课堂练习
【训练 3】对下列命题的否定，其中说法错误的是( ) A．p：∀x≥3，x2－2x－2≥0；p 的否定：∃x≥3，x2－2x－2<0 B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p 的否定：每一个四边形的四 个顶点共圆 C．p：有的三角形为正三角形；p 的否定：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p 的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0
教材例题
【典例 1】写出下列命题的否定, 并判断所得命题的真假:
(1)
;
(2)
;
(3) : 至少有一个直角三角形不是等腰三角形.
教材例题
【解析】(1) 假命题.
, 由 是真命题可知 是
(2)
. 将集合中的元素逐个验证, 当
时不等式成立, 因此 是真命题.
教材例题
(3) 角为 命题.
: 所有直角三角形都是等腰三角形. 因为有一个内 的 直角三角形不是等腰三角形, 所以 是假
教材例题
【典例 2】写出下列命题的否定, 并判断所得命题的真假:
(1)
, 一次函数
的图像经过原点;
(2)
.
教材例题
【 解 析 】 (1)
, 一次函数
不经过原点. 因为当
时, 一次函数
的图像经过原点, 所以 是假命题.
(2) 所以 是真命题.
. 因为
时,
的图像 ,
课堂练习 【训练 1】命题“∃x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是( ) A．∀x∈R，x2－2x－3≤0 B．∃x∈R，x2－2x－3≥0 C．∃x∈R，x2－2x－3>0 D．∀x∈R，x2－2x－3>0 【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要 改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤” 改为“>”.故选 D.
新知探索 知识点一：命题的否定
尝试与发现：你能说出命题 “ 3 的相反数是 -3 ” 和 : 3 的相反数不是-3 ” 这两个命题之间的关系吗? 它
们的真假性如何? 可以发现, 命题 是对命题 的否定, 命题 也是对命题 的否定. 而且, 是真命题, 是假命題. 一般地, 对命题
加以否定, 就得到一个新的命题, 记作 “ ”, 读作 “非 ” 或 “ 的否定”.
课堂练习 【训练 5】已知命题 p：∀x∈R，x2－x＋1a≥0，命题 q：
2 ∃x∈R，ax2－2ax－3＞0，若 p 假 q 真，求实数 a 的取值 范围.
【解析】因为命题 p 是假命题，所以 p：∃x∈R，x2－x ＋12a＜0 是真命题，则(－1)2－2a>0，解得 a<12.
课堂练习 因为命题 q：∃x∈R，ax2－2ax－3＞0 是真命题. 所以当 a＝0 时，－3＜0，不合题意；
②命题 p 与其否定 的真假关系
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是假命 题；反之亦然.
课堂总结 全称量词命题与存在量词命题的否定
①存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量 词命题：∀x∈M， p(x).
②全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“∀x∈M，q(x)”的否定是存在量 词命题：∃x∈M， q(x).
显然, 这里的 是一个真命题, 而 是一个假命题.
新知探索 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
若记 : “每一个有理数都是实数”, 则不难看出, 这个命 题的否定是 : “不是每一个有理数都是实数”. 这里的命 题 实际上是一个全称量词命题，而且可以用符号表示为：
；
新知探索 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
新知探索 知识点一：命题的否定
例如,
是一个真命题,
那么
就是一个假命题.
新知探索 知识点一：命题的否定
命题的否定：
①定义：一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命 题，记作“ ”，读作“非 p”或“p 的否定”.
②命题 p 与其否定 的真假关系
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是假命 题；反之亦然.
课堂总结
常见词语的否定词语：
等于 大于 小于
原词
是
(＝) (>) (<)
不等于 不大于 不小于
否定
不是
(≠) (≤) (≥)
都是 不都是
至多有 一个
至少有 两个
至多有 n个
至少有 (n＋1)
个
至少有 一个
一个也 没有
【典例】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假. (1)p：每一个质数都是奇数； (2)q：有理数都能写成分数的形式； (3)s：有些实数的绝对值是正数； (4)t：某些平行四边形是菱形.
即时训练 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
【解析】(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”， 因此， p：存在一个质数不是奇数，是真命题.
新知探索 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
常见词语的否定词语：
等于 大于 小于
原词
是
(＝) (>) (<)
不等于 不大于 不小于
否定
不是
(≠) (≤) (≥)
都是 不都是
至多有 一个
至少有 两个
至多有 n个
至少有 (n＋1)
个
至少有 一个
一个也 没有
即时训练 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定
新知导入
思考：结合上述这段话, 谈谈你对 “否定” 一词的认识, 并 由此猜想 “命题的否定” 是什么意思.
新知导入 情景二：判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命 题.
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3） ∈R, －2 ＋1≥0；
（4）有些实数的绝对值是正数； 思考：你能写出下列命题的否定吗？
当 a＜0 时，(－2a)2＋12a＞0，所以 a＜－3. 当 a＞0 时，函数 y＝ax2－2ax－3 的图像开口向上，一定
存在满足条件的 x.故 a＜－3 或 a＞0.
综上，a
的取值范围是(－∞，－3)∪
0，1 2
.
课堂总结 命题的否定：
①定义：一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命 题，记作“ ”，读作“非 p”或“p 的否定”.
课堂练习 【训练 2】全称量词命题“所有能被 5 整除的整数都是奇 数”的否定是( ) A．所有能被 5 整除的整数都不是奇数 B．所有奇数都不能被 5 整除 C．存在一个能被 5 整除的整数不是奇数 D．存在一个奇数，不能被 5 整除
课堂练习 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，而 A， B 是全称量词命题，所以 A，B 错误.
【解析】若 p：有的三角形为正三角形，则 p 的否定：所
有的三角形都不是正三角形，故 C 错误.故选 C.
课堂练习
【训练 4】命题 p：任意 x∈R，x2－21x－3≥0 的否定 p 是______， p 是一个________命题(填“真”或“假”).
【解析】命题 p 是一个全称量词命题，可等价转化为任意 x∈R，x2－2x－3>0，其否定形式为存在 x∈R，x2－2x－3 ≤0，又 x2－2x－3≤0 等价于－1≤x≤3，故为真命题.