北京市高三数学 最新模拟试题分类汇编9 圆锥曲线 文

北京2013届高三最新文科模拟试题分类汇编9：圆锥曲线
一、选择题
1 ．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线
24y x =的焦点.设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,
则双曲线C 的离心率为 （ ）
A ．2
B ．12+
C ．13+
D ．23+
【答案】
B ．
2 ．（2013届北京丰台区一模文科）已知椭圆22
212
x y a +
=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合,则该椭圆的离心率是 （ ）
A ．
3
2 B ．
23
3
C ．
22
D ．
63
【答案】D
3 ．（2013届北京门头沟区一模文科数学）点P 是以12F F ，为焦点的椭圆上的一点,过焦点2F 作12F PF ∠的
外角平分线的垂线,垂足为M 点,则点M 的轨迹是 （ ）
A ．抛物线
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．圆
【答案】D
4 ．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）双曲线22123
x y -=的离心率为
（ ）
A ．13
2
B ．133
C ．102
D ．103
【答案】
C ．
5 ．（2013届北京大兴区一模文科）抛物线2(22)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋
转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是
（ ）
x M
y
Q
P
O F 2
F 1
A ．1
B ．2
C ．
22 D ．4
【答案】B
6 ．（2013届北京海滨一模文）抛物线2
4y x =的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的
动点,当FPM ∆为等边三角形时,其面积为 （ ）
A ．23
B ．4
C ．6
D ．43
【答案】D 共30分) 二、填空题
7．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线方程为3y x =,
则b =__________. 【答案】38．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知双曲线22
221x y a b
-=26,顶点与椭圆
22
185
x y +=的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为_____;渐近线方程为_________. 【答案】 (22,0),1530y ±±=
9．（2013北京东城高三二模数学文科）过抛物线2
4y x =焦点的直线交抛物线于A ,B 两点,若10AB =,
则AB 的中点P 到y 轴的距离等于___. 【答案】4;
10．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习文科数学）以双曲线2
21
3x y -=的右焦点为焦点,顶点在
原点的抛物线的标准方程是_______.
【答案】
2
8y x =
11．（2013届北京大兴区一模文科）已知中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的离心率为
3
2
,实轴长为4,则双曲线的方程是_________
【答案】
22
145
x y -= 12．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1
(,0)2
F ,则抛物线C 的
方程为___,若点P 在抛物线C 上运动,点Q 在直线50x y ++=上运动,则PQ 的最小值等于____.
【答案】 292
2,
4
y x = 13．（北京市石景山区2013届高三一模数学文试题）设抛物线y 2
= 4x 的焦点为F,其准线与x 轴的交点为
Q,过点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点,若∠AQB=90o
,则直线l 的方程为_____________________. 【答案】1x =
14．（2013届北京西城区一模文科）抛物线2
2y x =的准线方程是______;该抛物线的焦点为F ,点
00(,)M x y 在此抛物线上,且5
2
MF =
,则0x =______. 【答案】1
2
x =-,2; 三、解答题
15．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）(本小题满分丨4分)
已知椭圆C:22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60o 的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆C 的方程;
(II)若直线y kx =交椭圆C 于A,B 两点,在直线:30l x y +-=上存在点P,使得 ΔPAB 为等边三角形,求k 的值.
【答案】解:(I)因为椭圆:C 22
2
21(0)x y a b a b +=>>的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60o 的菱
形的四个顶点,
所以3,1a b =,椭圆C 的方程为2
21
3x y +=
(II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --
当直线AB 的斜率为0时,AB 的垂直平分线就是y 轴,
y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,
又因为||3,||3AB PO ==,所以60PAO ∠=o
,
所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = 当直线AB 的斜率存在且不为0时,设AB 的方程为y kx =
所以22
13
x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,化简得
22(31)3k x += 所以 12
3||31x k =+,则
22
22333||13131k AO k k k +=+=++ 设AB 的垂直平分线为
1
y x
k =-,它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y 所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得0031
31k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,则2299||(1)k PO k +=-
因为PAB ∆为等边三角形, 所以应有||3||PO AO =
代入得到
2222
9933
|3(1)31k k k k ++=-+,解得0k =(舍),1k =- 此时直线AB 的方程为y x =-
综上,直线AB 的方程为y x =-或0y =
16．（2013届北京丰台区一模文科）已知椭圆C:22
221x y a b
+=(0a b >>)的右焦点为F(2,0),且过点
P(2,2).直线l 过点F 且交椭圆C 于A 、B 两点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)若线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为M(1
,02
),求直线l 的方程.
【答案】已知椭圆C:22
221x y a b
+=(0a b >>)的右焦点为F(2,0),且过点(2,2).直线l 过点F 且交
椭圆C 于A 、B 两点.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)若线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为M(
1
,02
),求直线l 的方程. 解:(Ⅰ)设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=,则
22224
42
1
a b a b
⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得2
8a =,24b =,所以椭圆C 的方程为22184x y +=, (Ⅱ)当斜率不存在时,不符合题意,
当斜率存在时设直线l 的方程为y=k(x-2),A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),AB 的中点为N(x 0,y 0),
由22
184(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得2222
(12)8880k x k x k +-+-=, 因为4
2
2
2
644(12)(88)32(1)0k k k k ∆=-+-=+>,
所以2
122
812k x x k
+=+, 所以212024212x x k x k +==+,002
2(2)12k
y k x k
-=-=+, 因为线段AB 的垂直平分线过点M(
1
,02
), 所以1MN k k ⋅=-,即0
0112
y k x ⋅=--,所以2222
241
12122k k k k -=-+++, 解得,2
2
k =±
, 所以直线l 的方程为220x y --= 或220x y +-=
17．（2013届北京西城区一模文科）如图,已知椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点,线段AB 的中点为G ,AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点.
(Ⅰ)若点G 的横坐标为1
4
-
,求直线AB 的斜率; (Ⅱ)记△GFD 的面积为1S ,△OED (O 为原点)的面积为2S .试问:是否存在直线AB ,使得
12S S =?说明理由.
【答案】(Ⅰ)解:依题意,直线AB 的斜率存在,设其方程为(1)y k x =+
将其代入22
143x y +=,整理得 2222(43)84120k x k x k +++-= 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,所以 2
122
843k x x k -+=+ 故点G 的横坐标为2
1224243
x x k k +-=+. 依题意,得22
41434
k k -=-+, 解得 12
k =±
(Ⅱ)解:假设存在直线AB ,使得 12S S =,显然直线AB 不能与,x y 轴垂直.
由(Ⅰ)可得 22
243(,)4343
k k
G k k -++ 因为 DG AB ⊥,
所以 222
3431443
D
k k k k
x k +⨯=---+, 解得 22
43D k x k -=+, 即 2
2
(,0)43
k D k -+ 因为 △GFD ∽△OED , 所以 12||||S S GD OD =⇔=
所以
2
243
k k -=+,
整理得 2
890k += 因为此方程无解
,
所以不存在直线AB ,使得 12S S =
18．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知椭圆C:2
214
x y +=,其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM 分别与椭圆C 交于E,F 两点,其中点M (m,1
2
) 满足0m ≠,且3m ≠±. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率e; (Ⅱ)用m 表示点E,F 的坐标;
(Ⅲ)证明直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关.
【答案】解:(Ⅰ)依题意知2a =,3=c ,2
3=∴e ;
(Ⅱ)Θ)1,0(),1,0(-B A ,M (m,
1
2
),且0m ≠, ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-
,直线BM 斜率为k 2=m
23, ∴直线AM 的方程为y=121+-x m
,直线BM 的方程为y=123
-x m ,
由⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+,
121,142
2x m y y x 得()
22140m x mx +-=,240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫
-∴ ⎪++⎝⎭
由⎪⎩
⎪⎨
⎧-==+,
123,1422
x m y y x 得()
229120m x mx +-=, 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪
++⎝⎭
; (Ⅲ)据已知,2
0,3m m ≠≠,
∴直线EF 的斜率22
2222222
19(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m
---+-++===---++23,4m m +- ∴直线EF 的方程为 22
22
1341
41m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭
, 令x=0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关
19．（北京市石景山区2013届高三一模数学文试题）设椭圆C:22
22x y a b
+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1、F2,离心率为1
2
,左焦点F1到直线l:330
x y
--=的距离等于长半轴长.
(I)求椭圆C的方程;
(II)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,线段MN的中垂线与x轴相交于点P(m,O),求实数m的取值范围.
【答案】
20．（2013届北京东城区一模数学文科）已知椭圆C:
22
22
1
x y
a b
+=(0)
a b
>>的两个焦点分别为
1
F,
2
F,
离心率为
2
2
,且过点(2,2).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)M,N,P,Q是椭圆C上的四个不同的点,两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点
1F ,2F ,且这两条直线互相垂直,求证:
11
||||
MN PQ +为定值.
【答案】(共13分) (Ⅰ)解:由已知22
c e a =
=, 所以222222112
b a
c e a a -==-=.
所以2
2
2a b =.
所以C :222212x y b b
+=,即222
22x y b +=.
因为椭圆C 过点(2,2), 得2
4b =,2
8a =.
所以椭圆C 的方程为22
184
x y +=. (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知椭圆C 的焦点坐标为1(2,0)F -,2(2,0)F . 根据题意, 可设直线MN 的方程为(2)y k x =+,
由于直线MN 与直线PQ 互相垂直,则直线PQ 的方程为1
(2)y x k
=--. 设11(,)M x y ,22(,)N x y .
由方程组22(2),18
4y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩消y 得
2222(21)8880k x k x k +++-=.
则 21228,21k x x k -+=+21228821
k x x k -=+.
所以MN =2
2
12121()4k x x x x ++-22
42(1)
21
k k ++. 同理可得PQ =242(1)
k +
所以11||||MN PQ
+2=
2
28
==. 21．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知椭圆22
22:1(0)x y G a b a b
+=>>
的离心率为
2
,1F ,2F 为椭圆G 的两个焦点,点P 在椭圆G 上,且12PF F ∆
的周长为4+. (Ⅰ)求椭圆G 的方程
(Ⅱ)设直线l 与椭圆G 相交于A 、B 两点,若OA OB ⊥u u u r u u u r
(O 为坐标原点),求证:直线l 与圆228
3
x y +=
相切. 【答案】解(Ⅰ)由已知得
,
2
c a =
且224a c +=+
解得2a c == 又2
2
2
4b a c =-=所以椭圆G 的方程为22
1484
x y += (Ⅱ)证明:有题意可知,直线l 不过坐标原点,设,A B 的坐标分别为112212(,),(,),()x y x y y y > (ⅰ)当直线l x ⊥轴时,直线l 的方程为(0)x m m =≠
且m -<<
则1122,,x m y x m y ====OA OB ⊥u u u r u u u r
Q 12
120x x y y ∴+=22
(4)02
m m ∴--=
解得3
m =±
故直线l
的方程为3
x =±
因此,点(0,0)O 到直线l
的距离为3
d =
又圆22
8
3
x y +=
的圆心为(0,0)O ,
半径r d == 所以直线l 与圆2
2
8
3
x y +=
相切 (ⅱ)当直线l 不垂直于x 轴时,设直线l 的方程为y kx n =+
由22
148
4y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4280k x knx n +++-= 2121222
428
,1212kn n x x x x k k --∴+==++
2
2
12121212()()()y y kx n kx n k x x nk x x n =++=+++22
2812n k k
-=+
OA OB ⊥u u u r u u u r Q 12120x x y y ∴+= 故
222
22
28801212n n k k k --+=++ 即2
2
2
2
3880,388n k n k --==+①
又圆2
2
8
3
x y +=
的圆心为(0,0)O ,半径26r =
圆心O 到直线l 的距离为21n
d k =+2
222
222313(1)1n n n d k k k ⎛⎫∴=== ⎪+++⎝⎭
② 将①式带入②式得 22
2
888
33(1)
k d k +==+吗 所以26d r == 因此,直线l 与圆22
8
3
x y +=
相切 22．（2013届房山区一模文科数学）已知椭圆22
:143
x y C +=和点(4,0)P ,垂直于x 轴的直线与椭圆C 交
于A B ,两点,连结PB 交椭圆C 于另一点E . (Ⅰ)求椭圆C 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)证明直线AE 与x 轴相交于定点. 【答案】(Ⅰ)由题意知:2
2=4,=3,a b 所以222==1c a b -
所以,焦点坐标为(1,0)
±; 离心率1
=
=2
c e a (Ⅱ)由题意知:直线PB 的斜率存在,设直线PB 的方程为=(4)y k x -
11(,
)B x y ,22(,)E x y ,则11(,)A x y -,
由
22
(4)3412
y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222
(3+4)3264120k x k x k -+-=
则22121222
326412
+=,x =3+43+4k k x x x k k
- (1) 直线AE 的方程为21
2221
+=
()y y y y x x x x ---,
令=0y ,得221212
()
=+y x x x x y y --
(2)
又11=(4)y k x - ,22=(4)y k x - 代入(2)式,得1212122x x 4(+)
=+8
x x x x x -- (3)
把(1)代入(3)式,整理得=1x 所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)
23．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率为3且过点(0,1).
(I)求此椭圆的方程;
(II)已知定点)0,1(-E ,直线2y kx =+与此椭圆交于C 、D 两点.是否存在实数k ,使得以线段CD 为直径的圆过E 点.如果存在,求出k 的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)根据题意
,22222231, 1.2
c a a b b a b c c ⎧=⎪⎧=⎪⎪⎪
==⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪
⎪⎩
解得， 所以椭圆方程为11322=+y x (II)将2y kx =+代入椭圆方程,得2
2
(13)1290k x kx +++=,由直线与椭圆有两个交点,所以
22(12)36(13)0k k ∆=-+>,解得21k >.
设),(11y x C 、),(22y x D ,则1221213k x x k +=-
+,12
2
9
13x x k ⋅=+,若以CD 为直径的圆过E 点,则0=⋅,即0)1)(1(2121=+++y y x x ,
而1212(2)(2)y y kx kx =++=2
12122()4k x x k x x +++,所以
2
12121212(1)(1)1)(21)()5x x y y k x x k x x +++=+++++（222
9(1)12(21)
501313k k k k k
++=-+=++, 解得76
k =
,满足2
1k >.
所以存在7
,6
k =
使得以线段CD 为直径的圆过E 点 24．（2013北京朝阳二模数学文科试题）已知椭圆2
2
22:1x y C a
b
+=()0a b >>的右焦点F (1,0),长轴的
左、右端点分别为12,A A ,且121
FA FA ⋅=-u u u r u u u u r
. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过焦点F 斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆C 于,A B 两点,弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点
D . 试问椭圆C 上是否存在点
E 使得四边形ADBE 为菱形?若存在,试求点E 到y 轴的距离;若不
存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)依题设1(,0)A a -,2(,0)A a ,则1(1
,0)FA a =--u u u r ,2(1,0)FA a =-u u u r
. 由121FA FA ⋅=-u u u r u u u r ,解得22a =,所以2
1b =.所以椭圆C 的方程为2212
x y += (Ⅱ)依题直线l 的方程为(1)y k x =-.
由22
(1),22
y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ,
则2122421k x x k +=+,21222(1)21k x x k -=+,202221k x k =+,02
21k
y k -=+,所以2222(,)2121k k M k k -++. 直线MD 的方程为2
2212()2121
k
k y x k k k +
=--++, 令0y =,得22
21D k x k =+,则2
2
(,0)21
k D k +. 若四边形ADBE 为菱形,则02E D x x x +=,02E D y y y +=.所以22
232(,)2121k k
E k k -++. 若点E 在椭圆C 上,则2222
232()2()22121
k k
k k -+=++. 整理得4
2k =,解得2
2k =
所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.
此时点E 到y 的距离为
1232
7
-
25．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习文科数学）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>过点
(2,0)A ,离心率为
3
2
. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过点(1,0)B 且斜率为k (0k ≠)的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点,直线AE ,AF 分别交直线
3x = 于M ,N 两点,线段MN 的中点为P .记直线PB 的斜率为k ',求证: k k '⋅为定值. 【答案】解:(Ⅰ)依题得222,3,
22.a b c c
a a ⎧=+⎪
⎪=⎨⎪=⎪⎩
解得24a =,21b =. 所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=
(Ⅱ)根据已知可设直线l 的方程为(1)y k x =-.
由22
(1),440
y k x x y =-⎧⎨
+-=⎩得2222
(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222
844
,4141
k k x x x x k k -+==++. 直线AE ,AF 的方程分别为:12
12(2),(2)22
y y y x y x x x =-=---, 令3x =, 则1212(3,
),(3,)22y y M N x x --,所以12121(3,())222y y
P x x +--. 所以122112(1)(2)(1)(2)
4(2)(2)
k x x k x x k k k x x --+--'⋅=
⨯
-- 21212121223()4
42()4
k x x x x x x x x -++=⨯-++ 2222222228824164414416164
441
k k k k k k k k k --+++=⨯--+++
2241444
k
k -=⨯=- 26．（2013届北京大兴区一模文科）已知动点P 到点A (-2,0)与点B (2,0)的斜率之积为1
4
-,点P 的轨迹
为曲线C .
(Ⅰ)求曲线C 的方程;
(Ⅱ)若点Q 为曲线C 上的一点,直线AQ ,BQ 与直线x =4分别交于M 、N 两点,直线BM 与椭圆的交点为D .求线段MN 长度的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)设),(y x P ,由题意知 41-
=⋅BP AP k k ,即)2(4
122±≠-=-⋅+x x y x y 化简得曲线C 方程为:)2( 14
22
±≠=+x y x (Ⅱ)思路一
满足题意的直线AQ 的斜率显然存在且不为零,设其方程为)2(+=x k y ,
由(Ⅰ)知4
1
-=⋅k k QB ,所以,设直线QB 方程为k y 41-=)2(-x , 当4=x 时得N 点坐标为)21
,4(k
N -,易求M 点坐标为)6,4(k M 所以k k MN 216||+
==|2|1|6|k k +32|
2|1|6|2=⋅≥k k , 当且仅当6
3
±
=k 时,线段MN 的长度有最小值32. 思路二:满足题意的直线AQ 的斜率显然存在且不为零,设其方程为)2(+=x k y ,
联立方程:⎪⎩
⎪⎨⎧+==+)2(1
422
x k y y x
消元得2222
(41)161640k x k x k +++-=,
设),(00y x Q ,),(),,(2211y x N y x M ,
由韦达定理得:1
44
1622
20+-=⋅-k k x , 所以1428220++-=k k x ,代入直线方程得1
442
0+=k k
y , 所以222
284(,)1414k k
Q k k -++,又2,0B
() 所以直线BQ 的斜率为22
2
40114,4282
14k
k k k k -+=-
--+ 以下同思路一
思路三:设),(00y x Q ,则直线AQ 的方程为0
0(2)2
y y x x =
++ 直线BQ 的方程为0
0(2)2
y y x x =
-- 当4x =,得0062M y y x =+,即0
06(4,
)2y M x + 当4x =,得0022N y y x =-,即0
02(4,
)2
y N x - 则0000200062282224
y y x MN y x x x -=
-=⋅+-- 2
22
0020284(
)4
x MN y x -=⋅- 又220044x y +=
所以2
2
02
04(4)4x MN x -=-
利用导数,或变形为二次函数求其最小值.
27．（2013届北京海滨一模文）已知圆M
:2
2
7
(3
x y +=,若椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的右顶
点为圆M 的圆心,
.
(I)求椭圆C 的方程;
(II)已知直线l :y kx =,若直线l 与椭圆C 分别交于A ,B 两点,与圆M 分别交于G ,H 两点(其中
点G 在线段AB 上),且AG BH =,求k 的值.
【答案】解:(I)设椭圆的焦距为2c ,
因为a =
2c a
=
,所以1c = 所以1b =
所以椭圆C :2
21
2x y +=
(II)设A (
1x ,
1
y ),B (
2x ,
2
y )
由直线l 与椭圆C 交于两点A ,B ,则
22220y kx
x y =⎧⎨+-=⎩ 所以2
2
(12)20k x +-=, 则120x x +=,
12
22
12x x k =-+
所以AB ==点M
)到直线l
的距离
d =
则GH =
显然,若点H 也在线段AB 上,则由对称性可知,直线y kx =就是y 轴,矛盾, 因为
AG BH
=,所以
AB GH
=
所以2222
8(1)724()1231k k k
k +=-++ 解得2
1k =,即1k =±
28．（2013北京东城高三二模数学文科）已知椭圆C :22
221x y a b
+=(0)a b >>的离心率2e =,原点到
过点(,0)A a ,(0,)B b -(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
H
G B
A
(Ⅱ)若直线1y kx =+(0)k ≠交椭圆C 于不同的两点E ,F ,且E ,F 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值.
【答案】(共13分)
解(Ⅰ) 因为
2
c a =,222a b c -=,所以 2a b =. 因为原点到直线AB :
1x y a b -=
的距离5d ==
,解得4a =,2b =. 故所求椭圆C 的方程为
2
21164
x y
+=. (Ⅱ) 由题意221,1164
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩消去y ,整理得 22
(14)8120k x kx ++-=. 可知0∆>.
设11(,)E x y ,22(,)F x y ,EF 的中点是(,)M M M x y , 则1224214M x x k x k +-=
=+,2
1
114M M y kx k =+=+. 所以21
M BM M y k x k
+=
=-. 所以20M M x ky k ++=. 即
22
4201414k k k k k
-++=++. 又因为0k ≠, 所以2
1
8
k =
.
所以k =29．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）已知椭圆122
22=+b
y a x (0>>b a )
的焦点坐标为(,
离心率为
3
.直线2+=kx y 交椭圆于P ,Q 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在实数k ,使得以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ?若存在,求出k 的值;若不存在,请说
明理由.
【答案】(Ⅰ)
由3c
e a
=
=,2=c ,222c b a += 得3=a ,1=b , 所以椭圆方程是:13
22
=+y x (Ⅱ)设),
(11y x P ,),(22y x Q 则211+=kx y ,222+=kx y
将2+=kx y 代入13
22
=+y x ,整理得0912)13(22=+++kx x k (*) 则121222
129
,3131
k x x x x k k +=-
=++ 以PQ 为直径的圆过)0,1(-D ,则PD QD ⊥u u u r u u u r ,即0PD QD ⋅=u u u r u u u r
PD QD ⋅=u u u r u u u r
11221212(1,
)(1,)(1)(1)x y x y x x y y +⋅+=+++
121212()1x x x x y y =+++++21212(1)(21)()5k x x k x x =+++++
2
1214
031
k k -+=
=+ 解得67=
k ,此时(*)方程0>∆,所以 存在6
7
=k ,使得以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D 30．（2013届北京门头沟区一模文科数学）已知椭圆与双曲线12
2
=-y x 有相同的焦点,且离心率为
2
2
. (I)求椭圆的标准方程;
(II)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A 、B 两点,O 为坐标原点,若PB AP 2=,求AOB ∆的面积.
【答案】解:(I)设椭圆方程为122
22=+b
y a x ,0>>b a ,
由2=
c ,可得2=a ,2222=-=c a b
既所求方程为
12
42
2=+y x (II)设),(11y x A ,),(22y x B , 由2=有
⎩
⎨
⎧-=-=-)(1212212
1y y x x 设直线方程为1+=kx y ,代入椭圆方程整理,得
0241222=-++kx x k )(
解得
1
228222++±-=k k k x
若 12282221++--=k k k x ,1
22
822
22+++-=k k k x
则 1
22822122822222++--⋅=++---k k k k k k
解得
14
1
2=
k 又AOB ∆的面积8
126
1228221||||212221=++⋅=-⋅=k k x x OP S
答:AOB ∆
的面积是
8
31．（2013届北京市延庆县一模数学文）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点21,F F 在x
轴上,离心率为
2
1
.过1F 的直线交椭圆C 于B A ,两点,且2ABF ∆的周长为8.过定点)3,0(M 的直线1l 与椭圆C 交于H G ,两点(点G 在点H M ,之间).
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设直线1l 的斜率0>k ,在x 轴上是否存在点)0,(m P ,使得以PG 、PH 为邻边的平行四边形为菱形.如果存在,求出m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.
【答案】
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b
y a x ,离心率21
==a c e ,
2ABF ∆的周长为||||21AF AF +84||||21==++a AF AF ,
解得1,2==c a ,则3222=-=c a b ,
所以椭圆的方程为13
42
2=+y x (Ⅱ)直线1l 的方程为)0(3>+=k kx y ,
由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+31342
2kx y y x ,消去y 并整理得02424)43(2
2=+++kx x k (*) 0)43(244)24(22>+⨯⨯-=∆k k ,解得2
6
>
k , 设椭圆的弦GH 的中点为),(00y x N ,则“在x 轴上是否存在点)0,(m P ,使得以PG 、PH 为邻边的
平行四边形为菱形.”等价于“在x 轴上是否存在点)0,(m P ,使得1l PN ⊥”
设),(11y x G ,),(22y x H ,由韦达定理得,=+21x x 2
4324k k +-
, 所以=0x 221x x +24312k k +-=, ∴=+=300kx y 2439k += ∴)439,4312(22k k k N ++-,)
43(1292k m k k PN ++-=, 所以,1)43(1292-=⋅++-k k m k ,解得)26(4332
>+-=k k k m >++-='22)43()32)(32(3)(k k k k m 0)
43()32)(36(322>++-k k ,所以, 函数)26(4332>+-=k k
k m 在定义域),26(+∞单调递增,66)26(-=m , 所以满足条件的点)0,(m P 存在,m 的取值范围为),66(+∞-
32．（2013北京西城高三二模数学文科）如图,椭圆2
2
:1(01)y C x m m +=<<的左顶点为A ,M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点,点P 与点A 关于点M 对称.
(Ⅰ)若点P 的坐标为943(5,求m 的值; (Ⅱ)若椭圆C 上存在点M ,使得OP OM ⊥,求m 的取值范围.
【答案】
(Ⅰ)解:依题意,M 是线段AP 的中点, 因为(1,0)A -,943(5P ,
所以 点M
的坐标为2(,55
由点M 在椭圆C 上, 所以 41212525m +=, 解得 47m =
(Ⅱ)解:设00(,)M x y ,则 2
2001y x m +=,且011x -<<. ①
因为 M 是线段AP 的中点, 所以 00(21,2)P x y + 因为 OP OM ⊥,所以 2
000(21)20x x y ++=. ②
由 ①,② 消去0y ,整理得 2
0020222x x m x +=- 所以
001
1
16242(2)8
2m x x =+≤-++-+
,
当且仅当
02x =-时,上式等号成立. 所以 m
的取值范围是1
(0,24-。