《等比数列的前n项和(2)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
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解：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前项和.由，得.由于，，则，即.需要的最少天数等于.
如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将无限趋近于多少？
. 数列是首项、公比的等比数列.所以.
解：设第个正三角形的内切圆的半径为.因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的，故， ， …
如图，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前个内切圆的面积和.
1
2
3
解数列应用题的一般步骤：
热气球每1 min里上升的高度构成什么数列？
第1 min上升的高度： m；第2 min上升的高度： m；第3 min上升的高度： m；……构成首项为，公比为的等比数列.
如何看这个热气球上升的高度能否达到125 m？
看热气球在 min里上升的总高度是否能超过125 m.
因此，前个内切圆的面积和为.
《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为（ ） A.96 B.126 C.192 D.252
解：用表示热气球在第 min上升的高度.由题意，得.因此，数列是首项、公比的等比数列.热气球在 min里上升的总高度为
.
所以这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
如图，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前个内切圆的面积和.
解：(1) 设正方形ABCD的面积为，后继各正方形的面积依次为，，…，，则.由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，所以.设这10个正方形的面积构成数列，则数列是以25为首项，为公比的等比数列.
设的前项和为，则.
如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将无限趋近于多少？
如何求每个内切圆的面积？
需要知道每个内切圆的半径.
正三角形的边长与它的内切圆的半径有什么关系？
以边长为的正三角形的内切圆为例，
内切圆的半径.
如图，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前个内切圆的面积和.
每个正三角形内切圆的半径与它的前一个正三角形内切圆的半径有什么关系？
数列的表示
数列求和活垃圾的总量之间有什么关系？
第一年：万吨； 第二年：万吨； 第三年：万吨； …… 从今年起每年生活垃圾的总量构成以为首项，为公比的等比数列.
每年以环保方式处理的垃圾量有什么关系？
第一年：万吨； 第二年：万吨； 第三年：万吨； …… 从今年起每年以环保方式处理的垃圾量构成以为首项，为公差的等差数列.
设前个内切圆的面积和为，则
怎样表示每年通过填埋方式处理的垃圾总量？
设每年生活垃圾的总量构成的数列为， 每年以环保方式处理的垃圾量构成的数列为， 则每年通过填埋方式处理的垃圾总量构成的数列为.
如何求数列为的和呢？
等比数列
等差数列
分组求和
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，. 当时，.从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
“每年生活垃圾的总量递增5%”
“通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨”
“每年通过填埋方式处理的垃圾总量”
分组求和
试着梳理出上述探究中将实际问题转化为数学模型的过程？
等比数列
等差数列
明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，或是含有递推关系的数列问题； 将实际问题抽象为数学问题，抓住数量关系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达，建立数列模型； 明确是求，还是求.
第一章 数列
等比数列的前n项和(2)
等比数列的求和公式为
将代入化简
涉及五个量：
首项a1，
公比q，
项数n，
末项an，
知三求二
前n项和Sn .
如何选择公式能让运算过程更简便呢？
已知量
求和公式
首项a1、公比q（q≠1）与项数n
首项a1、末项an与公比q（q≠1）
首项a1、公比q＝1
Sn＝na1
数列的概念
从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的.
设第个正三角形的内切圆的半径为，则数列是公比的等比数列.
如图，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前个内切圆的面积和.
实际问题
教材第31页习题1-3 A组第8，9，10题．
解：由题意得，该人每天走的路程形成以为首项，以为公比的等比数列，因为该人6天后到达目的地，则有 ，解得，所以第1天所走路程里数为192.
C
某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数等于_____.
(2)当无限增大时，所有这些正方形的面积之和
随着的无限增大，将无限趋近于0，无限趋近于50.所以，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于50.
课堂小结
明确问题属于哪类应用问题； 将实际问题抽象为数学问题，建立数列模型； 明确是求，还是求.
1
2
3
解数列应用题的一般步骤：
如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将无限趋近于多少？
. 数列是首项、公比的等比数列.所以.
解：设第个正三角形的内切圆的半径为.因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的，故， ， …
如图，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前个内切圆的面积和.
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2
3
解数列应用题的一般步骤：
热气球每1 min里上升的高度构成什么数列？
第1 min上升的高度： m；第2 min上升的高度： m；第3 min上升的高度： m；……构成首项为，公比为的等比数列.
如何看这个热气球上升的高度能否达到125 m？
看热气球在 min里上升的总高度是否能超过125 m.
因此，前个内切圆的面积和为.
《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为（ ） A.96 B.126 C.192 D.252
解：用表示热气球在第 min上升的高度.由题意，得.因此，数列是首项、公比的等比数列.热气球在 min里上升的总高度为
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所以这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
如图，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前个内切圆的面积和.
解：(1) 设正方形ABCD的面积为，后继各正方形的面积依次为，，…，，则.由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，所以.设这10个正方形的面积构成数列，则数列是以25为首项，为公比的等比数列.
设的前项和为，则.
如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将无限趋近于多少？
如何求每个内切圆的面积？
需要知道每个内切圆的半径.
正三角形的边长与它的内切圆的半径有什么关系？
以边长为的正三角形的内切圆为例，
内切圆的半径.
如图，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前个内切圆的面积和.
每个正三角形内切圆的半径与它的前一个正三角形内切圆的半径有什么关系？
数列的表示
数列求和活垃圾的总量之间有什么关系？
第一年：万吨； 第二年：万吨； 第三年：万吨； …… 从今年起每年生活垃圾的总量构成以为首项，为公比的等比数列.
每年以环保方式处理的垃圾量有什么关系？
第一年：万吨； 第二年：万吨； 第三年：万吨； …… 从今年起每年以环保方式处理的垃圾量构成以为首项，为公差的等差数列.
设前个内切圆的面积和为，则
怎样表示每年通过填埋方式处理的垃圾总量？
设每年生活垃圾的总量构成的数列为， 每年以环保方式处理的垃圾量构成的数列为， 则每年通过填埋方式处理的垃圾总量构成的数列为.
如何求数列为的和呢？
等比数列
等差数列
分组求和
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，. 当时，.从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
“每年生活垃圾的总量递增5%”
“通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨”
“每年通过填埋方式处理的垃圾总量”
分组求和
试着梳理出上述探究中将实际问题转化为数学模型的过程？
等比数列
等差数列
明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，或是含有递推关系的数列问题； 将实际问题抽象为数学问题，抓住数量关系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达，建立数列模型； 明确是求，还是求.
第一章 数列
等比数列的前n项和(2)
等比数列的求和公式为
将代入化简
涉及五个量：
首项a1，
公比q，
项数n，
末项an，
知三求二
前n项和Sn .
如何选择公式能让运算过程更简便呢？
已知量
求和公式
首项a1、公比q（q≠1）与项数n
首项a1、末项an与公比q（q≠1）
首项a1、公比q＝1
Sn＝na1
数列的概念
从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的.
设第个正三角形的内切圆的半径为，则数列是公比的等比数列.
如图，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前个内切圆的面积和.
实际问题
教材第31页习题1-3 A组第8，9，10题．
解：由题意得，该人每天走的路程形成以为首项，以为公比的等比数列，因为该人6天后到达目的地，则有 ，解得，所以第1天所走路程里数为192.
C
某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数等于_____.
(2)当无限增大时，所有这些正方形的面积之和
随着的无限增大，将无限趋近于0，无限趋近于50.所以，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于50.
课堂小结
明确问题属于哪类应用问题； 将实际问题抽象为数学问题，建立数列模型； 明确是求，还是求.
1
2
3
解数列应用题的一般步骤：