专项复习六 几何型综合题(含答案)-

专题六 几何型综合题

【简要分析】

几何型综合题包括几何论证型综合题和几何计算型综合题两大类，一般以相似为中心，以圆为重点，还常与代数综合．它以知识上的综合性与中考中的重要性而引人注目．

值得一提的是，在近两年各地的中考试题，几何综合题的难度普遍下降，出现了一大批探索性试题，根据新课标的要求，减少几何中推理论证的难度，加强探索性训练，将成为几何型综合题命题的新趋势．

【典型考题例析】

例1：如图2-4-27，四边形ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中CE=CF ，G 是CD 与EF 的交点．

（1）求证：△BCF ≌△DCE ．

（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=900，求DG ：GC 的值．

（2005年吉林省中考题）

分析与解答 （1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BCF+∠FCD=900

，BC=CD ． ∵△ECF 是等腰直角三角形，CF=CE ．

∴∠ECD+∠FCD=900．∴∠BCF=∠ECD ．∴△BCF ≌△DCE （2）在△BFC 中，BC=5，CF=3，∠BFC=900

． ∴

4==．

∵△BCF ≌△DCE ，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=900

． ∴DE ∥FC ．∴△DGE ∽△CGF ．∴DG ：GC=DE ：CF=4：3．

例2：已知如图2-4-28，BE 是⊙O 的走私过圆上一点作⊙O 的切线交EB 的延长线于P ．过E 点作ED ∥AP 交⊙O 于D ，连结DB 并延长交PA 于C ，连结AB 、AD ．

（1）求证：2

AB PB BD = ．

（2）若PA=10，PB=5，求AB 和CD 的长．

（2005年湖北省江汉油田中考题）

分析与解答 （1）证明：∵PA 是⊙O 的切线，∴∠1=∠2． ∵ED ∥AP ，∴∠P=∠PED ．

图2-4-28

E

P

图2-4-27

G

F

E

D C

B

A

而∠3=∠BED ，∴∠3=∠P ．∴△ABD ∽△PBA ．∴2

AB PB BD =

． （2）连结OA 、AE ．由切割线定理得，2

PA PB BD = ．即2105(5)BE =⨯+， ∴BE=15．又∴△PAE ∽△PBA ，∴

2AE PA

AB PB

==，即AE=2AB ． 在Rt △EBA 中，22215(2)AB AB =+，

∴AB =AB 、PB 代入2

AB PB BD = ，得BD=9． 又∵∠BDE=900

，ED ∥AP ， ∴DC ⊥PA ．∴BC ∥OA ．∴BC PB

OA PO

=． ∴515

315252

BC =

⨯=+

．∴CD=12

例2：如图2-4-29，⊙1O 和⊙2O 相交于A 、B 两点，圆心1O 在⊙2O 上，连心线1O 2O 与⊙1O 交于点C 、D ，与⊙2O 交于点E ，与AB 交于点H ，连结AE ．

（1）求证：AE 为⊙1O 的切线．

（2）若⊙1O 的半径r=1，⊙2O 的半径3

2

R =

，求公共弦AB 的长． （3）取HB 的中点F ，连结1O F ，并延长与⊙2O 相交于点G ，连结EG ，求EG 的长

（2005年广西壮族自治区桂林市中考题）

分析与解答 （1）连结A 1O ．∵1O E 为⊙2O 的直径，∴∠1O AE=900

．

又∵1O A 为⊙1O 的半径，∴AE 为⊙1O 的切线．

（2）∵1O A=r=1，1O E=2R=3，△A 1O E 为Rt △，AB ⊥1O E ， ∴△A 1O E ∽△H 1O A ．∴2

111O A O H O E = ．

图2-4-28

∴

11 3

O H=

．2

AB AH

===．

（3）∵F为HB的中点，∴

HF=

1

4

HF AB

==，

∴

13

O F==．

∵

11

HO F GO E

∠=∠．

∴Rt△

1

O HF∽Rt△

1

OGE．∴1

1

O F HF

O E EG

=．

∴1

1

HF O E

EG

O F

=

，即

3

3

EG==

例4 如图2-4-30，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H,BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线交于点D．（1）求证：DA=DC

（2）当DF：EF=1：8且

AB AC

的值．

（3）将图2-4-30中的EF所在的直线往上平移到⊙O外，如图2-4-31，使EF与OB 的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交EF于点D．试猜想DA=DC是否仍然成立，并证明你的结论．（2005年山东省菏泽市中考题）

分析与解答（1）连结OC，则OC⊥DC，∴∠DCA=900-∠ACO=900-∠B．

图2-4-30

图2-4-30

又∠DAC=∠BAE=900

-∠B ，∴∠DAC=∠DCA ．∴DA=DC ． （2）∵DF ：EF=1：8

，DF =

EF=8DF= 又DC 为⊙O

的切线，∴218DC DF DE === ．

∴DC =

∴AD DC ==

AF AD DF =-=

AE EF AF =-==

∴24AB AC AE AF == ．

（3）结论DA=DC 仍然成立．理由如下：如图2-4-31， 延长BO 交⊙O 于K ，连结CK ，则∠KCB=900

． 又DC 是⊙O 的切线，∴∠DCA=∠CKB=900

-∠CBK ． 又∠CBK=∠HBA ，∴∠BAH=900

-∠HBA=900-∠CBK ． ∴∠DCA=∠BAH ．∴DA=DC ．

说明：本题是融几何证明、计算和开放探索于一体的综合题，是近几年中考的热点题目型，同学们复习时要引起注意．

【提高训练】

1．如图2-4-32，已知在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 和BC 上的点，连结DE 并延长与AC 的延长线相交于点F ．若DE=EF ，求证：BD=CF ．（2005年湖北省十堰市中考题）

图2-4-32

F

E D

C B A