分式化简技巧及分式应用题解法

分式运算的若干技巧
进行分式运算应以分式的性质为基础，根据已知的条件特征和结构特征，克服思维定势，通过适当的变形、转化、沟通等解题手段，找到解题的捷径。

本文介绍几种常见的方法与技巧，供同学们参考。

练练并总结出化简分式的一般步骤 计算：
一. 通分 例1. 化简：
a a a a 3
21
1---- 二. 约分 例2. 化简：a a a a a a a a 4323432
3
11
-++-++- 三. 运用分配律 例3. 化简：(
)()111
1
112a a a -++-- 四. 倒数法 例4. 已知a a +=13，求a a a 2
42
1
++的 3. 若ab b a 32
2
=+,求分式)21)(21(2
2
2b a b
b
a b -+-+的值 值。

五. 降次法 例5. 已知a a 2
310-+=，求a a 3
61
+的值。

解：由已知，得a a 2
13+=
∴原式=+-+=+-a a a a a a a a 32423
222
11313()()[()]
==a a
33
181
18 六. 裂项法 例6. 计算：
11321561
712
2222
a a a a a a a a ++++++++++ 七. 递进通分法 例7. 计算：11248223447
88
a x a x x a x x a x x x a
--+-+-++-
八. 换元法 例8. 化简：b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b
222233332222
232++---÷++-() 九. 消元法 例9. 若4360270a b c a b c --=+-=，，求23657222
222
a b c a b c
++++的值。

十. 参数法 例10. 已知abc ≠0，且满足
a b c c a b c b a b c
a
+-=-+=-++，求()()()
a b b c c a abc
+++的值。

解：设
a b c c a b c b a b c
a
k +-=-+=-++=。

则有a b c ck a b c bk a b c ak +-=-+=-++=，， 三式相加，得a b c a b c k ++=++()
当a b c ++≠0时，k =1。

则a b c a c b b c a +=+=+=222，，，原式=8
当a b c ++=0时，则a b c a c b b c a +=-+=-+=-，，，原式=-1
计算
把分子括号适当搭配[(a ＋1)(a ＋4)][(a ＋2)(a ＋3)]＋1=(a 2＋5a ＋4)(a 2
＋5a ＋6)＋1．这时若把a 2＋5a ＋5看作m 则 a 2＋5a ＋4=m －1 a 2＋5a ＋6=m ＋1
=a 2＋5a ＋5
十一. 常数代换法
例11. 已知a b c ++=0，abc ≠0，求a b c b a c c a b
()()()111111
++++++3的值。

解： 3=
++a a b b c
c ， ∴原式=++++++++=++++≠a b c a a b a c b b c a b c c a b c
a b c ()()()()()111111111
十二. 配方法
例12. 已知实数a b c ，，满足a b c ++=0，abc =8，那么111
a b c
++的值是（ ） A. 正数
B. 零
C. 负数
D. 不确定
解： 11118
a b c bc ca ab abc bc ca ab ++=++=++() 又 bc ca ab a b c a b c ++=++-++122222
[()()]
=-++12
222
()a b c ，
∴++=-
++<111116
02
22a b c a b c ()，故选C
十三. 利用因式分解 例13. 计算：[
()()]()1111
22
a b a b a b a b +--÷+--
十四. 利用乘法公式
例14. 计算：()()()b a a b b a a b b a a b
22222222222
211-+-++
解：原式=+-⋅+⋅-+⋅+[()()][()()]b a a b b a b a a b a b b a a b b a b a a b a b 2222222
2
=+-=-=-()()b a a b b a a b b a a b b a a b 3333333366661212
66
十五。

变形 例15 已知x 2
-3x+1=0，求x 2
+21
x 的值。

分析：将已知两边同除以x （x ≠0）可变出x+x 1
，然后利用完全平方公式的逆用可求出
x 2
+21
x 的值。

解：由x 2
-3x+1=0，两边同除以x （x ≠0），得
x-3+x 1=0，即x+x 1=3
所以x 2
+21x =（x+x 1
）2-2=32
-2=7
十六、分组计算技巧 例16计算21-a +12
+a -12-a -21+a
十七、分裂整数法 例17、计算：
练习题：
1. 已知
343212
2x x x A x B
x --+=-+-，求2A B +的值。

2. 计算：11132156
22x x x x x -+-++-+ 分式方程的解
题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1)
2223-=---x x x (2) 11
4
112=---+x x x
题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.
1.若关于x 的方程3
1
3292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多
少?
2. 若方程
x x x --=+-34731有增根,则增根为 . 3.若方程33
23-+=-x x x 有增根,则增根为 . 4. 若方程1
13122-=-++x k x x 有增根,则k 的值为 . 5.若分式方程x
x k x x x k +-=----2225
111有增根1-=x ,求k 的值? 6.当m 为何值时,解方程1
15122-=-++x m x x 会产生增根? 例2.(1)1432222-=++-x x x x x (2) 11
14132
+-=-+-x x
x x 题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解.
1. (2007荆门)若方程
x m
x x -=--223无解,求m 的值. 2. 若关于x 的方程11+=+x m x x 无解, 则m 的值为 . 3. 若关于x 的方程
2221+-=--x m
x x 无解, 则m 的值为 . 4. 若关于x 的方程
8334=-+--x
k
x x 无解, 则k 的值为 . 5.若关于x 的方程3
232
-=--x m x x 无解, 则m 的值为 .
6.当k 取何值时关于X 的方程4
162222-=--+-x k
x x x x 无解？ 思考:已知关于x 的方程m x m
x =-+3
无解,求m 的值. 例3.解方程(1)
)1(1≠=+-b b a x a (2))0,(01≠≠=+-mn n m x n
x m 题型四:解含有字母的分式方程时,注意字母的限制. 1.若关于x 的方程81=+x ax 的解为4
1
=x ,则a = . 2.若分式方程
52
)1()(2-=--x a a x 的解为3=x ,则a = .
3.关于x 的方程
12
-=-+x m
x 的解大于零, 求m 的取值范围. 题型五:解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解 ①若解为正⎩⎨
⎧>去掉增根正的解0x ;②若解为负⎩⎨⎧<去掉增根负的解
x
1.(2007黑龙江) 若关于x 的分式方程21
1
=--x m 的解为正数,求m 的取值范围.
2.当p 为何值时, 关于x 的分式方程)
1(7142-+=-+x x p x x x 有根? 3.若方程k
x x +=+233有负数根,求k 的取值范围.
4.已知关于x 的方程3
23-=--x m x x 解为正数,求m 的取值范围.
5.若方程a
x x -=-211的解为正数,求a 的取值范围
6.当a 为何值时,
)
1)(2(21221+-+=
+----x x a
x x x x x 的解是负数?
寻找等量关系的三种常用方法
方程（组）是解决实际问题的一个有效数学模型.列方程（组）的关键是挖掘出隐含在题目中的等量关系.寻找等量关系有三种常用方法：译式法、列表法和图示法.解题时有意识的学习使用这些方法，可以有效的帮助我们分解难点，寻找出等量关系，进而列出方程（组）求解.
二、列表法
例3 某日小伟和爸爸在超市买12袋牛奶24个面包花了64元.第二天他们又去超市时，发现牛奶和面包均打八折，这次他们花了60元却比上次多买了4袋奶3个面包.求打折前牛奶和面包的单价？
评注：列表法是指将题目中数量及其关系填在表格内,再据此逐层分析,找到各量之间的
内在相等关系,列出方程（组）的方法.列表时分类整理排列，条理清晰，优点明显.尤其对于题目较为复杂，等量关系较为隐蔽的题目效果较好.
三、图示法 例4 甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步.相向而行，每隔2分二人相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲乙每分各跑多少圈？
分析：根据题意可以分别画出甲、乙相
向而行、同向而行时的示意图（如图1和图2）
如果设甲每分钟跑x 圈，乙每分钟跑y 圈，根据图1可得12x 2=+y ；根据图2可得166=-y x .
评注：图示法是指将条件及它们之间的内
在联系用简单明了的示意图表示出来,然后据图找等量关系列方程（组）的方法.图示法直观、明了，是解决行程等问题的常用方法.
图1
图2
6x
6y 相向 同向
例5 从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时行3千米，平路每小时行4千米，下坡每小时行5千米，那么从甲地到乙地需行33分，从乙地到甲地需行23.4分，从甲地到乙地的全程是多少？
分析：设上坡路程为x千米，平路路程为y千米，可以用图示法表达出各部分的时间（如图3），也可以列表如下：
应用题中的等量关系
1.行程问题：
(1)追及问题:追及问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，画线段
图便于理解、分析。

其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；路程＝速度×时间；
速度＝；时间＝。

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题也比较直观，
因而也画线段图帮助理解、分析。

这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题:①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2.工程问题：工作效率×工作时间=工作量.
3.浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.
4.教育储蓄问题：
(1)基本概念
①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。

③本息和：本金与利息的和叫做本息和。

④期数：存入银行的时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

⑥利息税：利息的税款叫做利息税。

(2)基本关系式
①利息＝本金×利率×期数
②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息＝利息×(1－利息税率)
⑤年利率＝月利率×12
⑥月利率＝年利率×。

注意：免税利息=利息
5.销售中的盈亏问题：
(1)利润＝售价－成本(进价)；
(2)；
(3)利润＝成本×利润率；
(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；
(5)实际售价＝标价×打折率；
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

6.优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理安排。

需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点；比较几种方案得出最佳方案。

7.和差倍分问题：
解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
8.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
9.增长率问题：
解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)n ＝增长后的量；
原量×(1－减少率)n ＝减少后的量.。