2016年陕西省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2016年陕西省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 6. 证明题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．点x=0是函数f(x)=的
A．连续点
B．可去间断点
C．跳跃间断点
D．无穷间断点
正确答案：B
2．设在闭区间[a，b]上，f(x)＞0，f’(x)＞0，f’’(x)＜0，令S1=∫abf(x)dx，
S2=f(a)(b一a)，S3=[f(a)+f(b)]，则必有
A．S1＜S2＜S3
B．S2＜S1＜S3
C．S3＜S1＜S2
D．S2＜S3＜S1
正确答案：D
3．曲面z=2x2+y2一3在点(1，1，0)处的切平面方程为
A．4z+4y—z一8=0
B．4x+4y+z一8=0
C．4x+4y—z+8=0
D．4x+4y+z+8=0
正确答案：A
4．微分方程的通解为
A．xy=C
B．
C．x—y=C
D．x2+y2=C
正确答案：B
5．设幂级数an(x一1)n在n=2处发散，则该幂级数在x=一1处A．绝对收敛
B．条件收敛
C．发散
D．敛散性不确定
正确答案：C
填空题
6．极限=______．
正确答案：2
7．已知当x→0时，∫0sinx与xα是同阶无穷小，则常数α=______．
正确答案：3
8．定积分∫-33(xcosx+)dx=______．
正确答案：9π
9．二元函数z=xy(x＞0，x≠1)的全微分dz=______．
正确答案：
10．设曲线L为圆周x2+y2=1，则对弧长的曲线积分=______．
正确答案：2π
解答题解答时应写出推理、演算步骤。

11．已知函数，在x=0处可导，试确定常数a和b.
正确答案：因为f(x)在x=0处可导所以f(x)在x=0处连续，从而有
由f(x)在x=0处可导，且f-’(0)=f+’(0)=
得a=1．
12．设函数y=y(x)由参数方程所确定，求
正确答案：
13．求函数f(x)=x3一3x+1的极值点及其图形的拐点．
正确答案：由f’(x)=3x2一3=0 得驻点x1=一1，x2=1，f’’(x)=6x，因为f’’(-1)=一6＜0，f’’(1)=6＞0，所以x1=—1为极大值点，x2=1为极小值点，又因为f’’(0)=0，且当x＜0时，f’‘(x)＜0；当x＞0时，f’’(x)＞0，又f(0)=1，所以函数图形的拐点为(0，1)．
14．求不定积分∫arctanxdx．
正确答案：
15．设函数z=f(x+y，exy)，其中f具有二阶连续偏导数，求
正确答案：
=f1’+yexyf2’=f11’’+yexyf12’’+y2exyf2’+yexyf21’’+y2e2xyf22’’=f11’’+2y exyf12’’+y2e2xyf22’’+y2exyf2’’．
16．求函数u=xy2z2在点P(1，1，1)处的梯度和沿该梯度方向的方向导数．
正确答案：易见函数u在整个R3中可微，因为gradu=(y2z2，2xyz2，2xy2z)，所以gradu｜(1，1，1)=(1，2，2)，函数在点(1，1，1)沿梯度方向的方向导数为
该点处梯度的模：gradu｜(1，1，1)｜=
17．将二次积分∫01dx xy2dy化为极坐标形式的二次积分，并计算积．
正确答案：
18．计算曲线积分I=∫L(x2+y)dx+(x+)dy，其中L为从点O(0，0)经过点A(1，0)到点B(1，1)的一段折线．
正确答案：
19．将函数f(x)=展开成麦克劳林级数．
正确答案：
20．求微分方程y’’一4y’+4y=(x+1)ex的通解．
正确答案：对应齐次方程的特征方程为r2—4r+4=0，特征根为r1=2，r2=2，对应齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e2x，设原方程特解形式为y*=(ax+b)ex，代入原方程得a=1，b=3，得原方程的一个特解为y*=(x+3)ex，故原方程的通解为y=(C1+C2x)e2x+(x+3)ex．
证明题
21．设a＞b＞0，n＞1，证明：nbn-1(a一b)＜an一bn＜nan-1(a一b)．
正确答案：设f(x)=xn，显然f(x)在闭区间[b，a]上连续，在开区间(b，a)内可导，由拉格朗日中值定理得，在(b，a)内至少存在一点ξ，使得f(a)一f(b)=f’(ξ)(a一b)，即an一bn=nξn-1(a一b)，因为bn-1＜ξn-1＜an-1，所以nbn-1(a-b)＜an一bn＜nan(a-b)．
22．求由曲线y=x2和所围成平面图形的面积S，并求此图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积V．
正确答案：V=∫01[π-π(x2)2]dx。