扬州中学2014届高三上学期期中考试模拟数学试题

扬州中学2013—2014期中考试模拟试题
数 学 2013.11
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，）
1．已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}1,2,2,3P Q ==，则()U P Q = ð . 2． 复数i
i
215+的实部是 3．“6
π
α=
”是“1
sin 2
α=
”的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m ,作为点P 的横、 纵坐标，则点P 在直线5=+y x 上的概率为 . 5．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中 从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组 的频数为10，则抽取的学生人数是 .
6．若样本321,,a a a 的方差是2，则样本32,32,32321+++a a a 的方差是 7．执行右边的程序框图,若15p =，则输出的n = .
8．已知函数2log (0)(),3(0)
x
x x f x x >⎧=⎨
≤⎩则1
[()]4f f 的值是 . 9．等差数列{}n a 中，若124a a +=, 91036a a +=， 则10S = .
10．已知实数x 、y 满足20
350
x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪
⎨>⎪⎪>⎩，则y x z )21()41(⋅=的最小值为 .
11．设向量(c o
s ,s i n a αα= ，(cos ,sin )b ββ=
，其中πβα<<<0，若|2||2|a b a b +=-
，则βα-= .
12． 若函数()42x f x k =
-⋅在(],2-∞上有意义，则实数k 的取值范围是_ ___．
13．若函数2
2
()243f x x a x a =++-的零点有且只有一个，则实数a =
.
14．对于在区间[a ，b ]上有意义的两个函数)()(x n x m 与，如果对于区间[a ，b ]中的任意x
均有1|)()(|≤-x n x m ，则称)()(x n x m 与在[a ，b ]上是“密切函数”， [a ，b ]称为“密切区间”，若函数43)(2+-=
x x x m 与32)(-=x x n 在区间[a ，b ]上是“密切函数”，
则b a -的最大值为 .
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
已知函数2
()2sin 23sin cos 1f x x x x =-++ ⑴求()f x 的最小正周期及对称中心； ⑵若[,]63
x ππ
∈-
，求()f x 的最大值和最小值.
16．（本题满分14分）
如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，.OP x OA y OB =⋅+⋅
（1）若BP PA =
，求x ，y 的值；
（2）若3
B P P A = ，||4OA = ，||2OB =
，且OA 与OB 的夹角为60°时，求OP AB ⋅
的值。

17.（本题满分14分） 已知集107x A x
x ⎧-⎫
=>⎨⎬-⎩⎭
合，{}
22220B x x x a a =---<
（1）当4a =时，求A B ；
（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.
18. （本题满分16分）
扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为
60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于
3米．记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底线段．．．．．．．BC 与两腰长的和．．．．．．
）为y （米）.
⑴求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？
⑶当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最
小）？求此时外周长的值.
19．（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题4分，第3小题8分）
已知函数()()3
2
3,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()
1,1f 处的切线方程为20y +=．
⑴求函数()f x 的解析式；
⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值；
⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．
C
x
A
D
B
60
20．（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题6分，第3小题6分） 设函数()()23
03x f x x x +=
>，数列{}n a 满足()*1111,,2n n a a f n N n a -⎛⎫==∈≥ ⎪⎝⎭
且．
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵设()1
1223344511n n n n T a a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-，若2n T tn ≥对*n N ∈恒成立，
求实数t 的取值范围；
⑶是否存在以1a 为首项，公比为(
)*
05,q q q N
<<∈的数列{}k
n a ，*
k N
∈，使得数
列{}
k n a 中每一项都是数列{}n a 中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{}k n 的通项公式；若不存在，说明理由．
2009~2010学年度第一学期期末高考模拟考试
数学参考答案及评分标准
1、{1}
2、2
3、充分不必要
4、
1
9
5、40
6、 8
7、5
8、
19 9、100 10、161 11、2
π
12、 (,1]-∞ 13、32 14、1
15．解：⑴()3sin 2cos 22sin(2)6
f x x x x π
=+=+
∴()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=， ------6分 令sin(2)06x π+=，则()212
k x k Z ππ
=-∈，
∴()f x 的对称中心为(,0),()212
k k Z ππ
-∈； ----8分
⑵∵[,]63x ππ∈- ∴52666x πππ-≤+≤ ∴1sin(2)126
x π
-≤+≤ ∴1()2f x -≤≤
∴当6
x π
=-
时，()f x 的最小值为1-；当6
x π
=
时，()f x 的最大值为2。

----14分
16．（1）∵BP PA =
，
∴BO OP PO OA +=+ ，即2OP OB OA =+
， 3分
∴1122
OP OA OB =+ ，即12x =，12y =
5分
（2）∵3BP PA =
，
∴33BO OP PO OA +=+ ，即43OP OB OA =+
7分 ∴3144OP OA OB =+
8分 ∴34x =，14y =
9分 31()()44OP AB OA OB OB OA ⋅=+⋅-
10分 131442OB OB OA OA OA OB =⋅-⋅+⋅
12分 221311
244294422
=⨯-⨯+⨯⨯⨯=- 14分
17．解：（1）{}|17A x x =<<,
当4a =时，{
}{}
2
|224046B x x x x x =--<=-<<, ∴()1,6A B = .
（2）{}
()(2)0B x x a x a =+--<, ①当1a =-时， ,B =∅A B ∴⊆不成立； ②当2,a a +>-即1a >-时，(,2),B a a =-+
1,27
a A B a -≤⎧⊆∴⎨+≥⎩ ，解得5;a ≥
③当2,a a +<-即1a <-时，(2,),B a a =+-
21
,7a A B a +≤⎧⊆∴⎨-≥⎩
解得7;a ≤-
综上，当A B ⊆，实数a 的取值范围是(,7][5,)-∞-⋃+∞.
18．解：⑴193()2AD BC h =
+，其中22
x
AD BC BC x =+⋅=+，32h x =， ∴ 13
93(2)22
BC x x =
+，得182x BC x =-， 由3
321802h x x BC x ⎧=≥⎪⎪⎨
⎪=->⎪⎩
，得26x ≤<
∴1832,(26)2
x
y BC x x x =+=+≤<； --------------------6分 ⑵18310.52
x y x =
+≤得34x ≤≤∵[3,4][2,6)⊂ ∴腰长x 的范围是 [3,4] --------------10分 ⑶183********x x y x x =
+≥⋅=，当并且仅当1832
x x =，即23[2,6)x =∈时等号成立．
∴外周长的最小值为63米，此时腰长为23米。

--------------------------------15分
19．（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题4分，第3小题8分）
解：⑴()2
323f x ax bx '=+-．…………………………………………………………2分
根据题意，得()()12,10,
f f =-⎧⎪⎨'=⎪⎩即32,3230,a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩解得10a b =⎧⎨=⎩……………………3分
所以()3
3f x x x =-．………………………………………………………………4分
⑵令()0f x '=，即2
330x -=．得1x =±．
x
2-
()2,1--
1-
()1,1-
1 ()1,2
2 ()f x '
+ -
+ ()f x
2-
增
极大值
减
极小值
增
2
因为()12f -=，()12f =-，
所以当[]2,2x ∈-时，()max 2f x =，()min 2f x =-．………………………………6分 则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ，都有
()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=，所以4c ≥．
所以c 的最小值为4．……………………………………………………………………8分 ⑶因为点()()2,2M m m ≠不在曲线()y f x =上，所以可设切点为()00,x y ． 则3
0003y x x =-．
因为()20033f x x '=-，所以切线的斜率为2
033x -．………………………………9分
则20
33x -=300032
x x m
x ---，………………………………………………………………11分
即32
002660x x m -++=．
因为过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线， 所以方程3
2
002660x x m -++=有三个不同的实数解． 所以函数()3
2
266g x x x m =-++有三个不同的零点．
则()2
612g x x x '=-．令()0g x '=，则0x =或2x =．
x
(),0-∞
0 ()0,2
2 ()2,+∞
()g x '
+ -
+ ()g x
增
极大值
减
极小值
增
则()()0020
g g >⎧⎪⎨<⎪⎩ ，即6020m m +>⎧⎨-+<⎩，解得62m -<<．…………………………………16分
20．（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题6分，第3小题6分）
解：⑴因为()*1111
1
23
12
,,2133n n n n n a a f a n N n a a ----⨯
+⎛⎫===+∈≥ ⎪⎝⎭⨯且， 所以12
3
n n a a --=
．…………………………………………………………………………2分 因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，公差为2
3
的等差数列．
所以21
3
n n a +=．…………………………………………………………………………4分
⑵①当2,*n m m N =∈时，
()
21
2122334452211m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-+⋅⋅⋅+-
()()()21343522121m m m a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-
()24243m a a a =-
+++ ()22241
812329m a a m m m +=-⨯⨯=-+ ()21
269
n n =-+．…………………………………………………………………6分
②当21,*n m m N =-∈时，
()
21
2122211m n m m m m T T T a a --+==--
()()2211
8121616399m m m m =-
++++ ()()2211
84326799
m m n n =++=++．…………………………………………8分 所以()()2
2126,912679
n n n n T n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪++⎪⎩为偶数，，为奇数 要使2n T tn ≥对*
n N ∈恒成立，
只要使()221
26,(9n n tn n -
+≥为偶数)恒成立． 只要使162,9t n n ⎛⎫-+≥ ⎪⎝
⎭对为偶数恒成立，故实数t 的取值范围为59⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
，． 10分 ⑶由21
3
n n a +=
，知数列{}n a 中每一项都不可能是偶数． ①如存在以1a 为首项，公比q 为2或4的数列{}
k n a ，*
k N ∈，
此时{}
k n a 中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以1a 为首项，公比为偶数的数列
{}k
n a ．……………………………………………………………………………………12分
②当1q =时，显然不存在这样的数列{}
k n a ．
当3q =时，若存在以1a 为首项，公比为3的数列{}
k n a ，*
k N ∈．
则11n a =，11n =，1
213
3
k k k n n a -+==
，31
2k k n -=． 所以满足条件的数列{}k n 的通项公式为31
2
k k n -=．…………………………16分。