冀教版九年级数学上册《圆》28.5.1弧长和扇形面积

探究培优
解：∵∠COB＝3∠AOB，∠AOC＝120°， ∠AOC＝∠COB＋∠AOB，∴∠AOB＝30°， ∴∠COB＝90°，在 Rt△ OCE 中，OC＝2 3，
设 OE＝x，则 CE＝2x，∴x2＋(2 3)2＝(2x)2， 解得 x1＝2，x2＝－2(舍去)．∴OE＝2. ∴S 阴影＝S 扇形 BOC－S△OEC＝90π×（3620 3）2－12×2×2
探究培优
15．【中考·沈阳】如图，四边形ABCD是⊙O的 内 接 四 边 形 ， ∠ ABC ＝ 2 ∠ D ， 连 接 OA ， OB，OC，AC，OB与AC相交于点E. (1)求∠OCA的度数；
(2)若∠COB＝3∠AOB，OC＝2 3，求图中阴 影部分的面积．(结果保留 π 和根号)
【点拨】在求不规则图形的面积时，常常将其转 化为几个规则几何图形的面积的和或差．
探究培优
(1)求∠OCA的度数； 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC＋∠D＝180°. ∵∠ABC＝2∠D， ∴∠D＝60°.∴∠AOC＝2∠D＝120°. ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝30°.
探究培优
(2)若∠COB＝3∠AOB，OC＝2 3，求图中阴 影部分的面积．(结果保留 π 和根号)
JJ版九年级上
第二十八章 圆
28.5 弧长和扇形面积的计算 第1课时 弧长和扇形面积
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1C
2D
3C 4
4 3π
5C 6A 7C 8B
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9 1π2＋ 23－34 10 见习题 11 见习题
12 C
13 见习题 14 见习题 15 见习题
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整合方法
(2)若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积．
解：∵AE＝6，∠D＝30°，∴DO＝2OC＝DB＋BO， 且 AD＝2AE＝12，∠BOC＝60°， ∴OC＝BO＝DB＝13AD＝4. 由勾股定理，得 DC＝ DO2－OC2＝ 82－42＝4 3. ∴S 阴影＝S△ODC－S 扇形 BOC＝12·DC·OC－16·π·OC2 ＝12×4 3×4－83π＝8 3－83π.
A．2π B．4π C．12π D．24π
夯实基础
6．【中考·山西】如图，在 Rt△ ABC 中，∠ABC＝90°，
AB＝2 3，BC＝2，以 AB 的中点 O 为圆心，OA
的长为半径作半圆交 AC 于点 D，则图中阴影部
分的面积为( )
5 A. 4
3－π2
5 B.
4
3＋π2
C．2 3－π
D．4 3－π2
探究培优
14．【中考·长春】如图，四边形ABCD是正方形， 以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接 AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G. (1)求证：△ABE≌△BCG.
探究培优
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径， ∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，AB＝BC， ∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠ABF＋∠EBF＝90°，∴∠BAF ＝∠EBF.在△ ABE 与△ BCG 中，∠ABB＝AFB＝C，∠EBF，
夯实基础
1．【中考·温州】若扇形的圆心角为 90°，半径为 6，
则该扇形的弧长为( C )
3 A.2π
B．2π
C．3π
D．6π
夯实基础
2．【中考·淄博】如图，⊙O 的直径 AB＝6，若∠BAC
＝50°，则劣弧 AC 的长为( D )
A．2π
8π B. 3
3π C. 4
4π D. 3
夯实基础
︵ 3．【中考·泰安】如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，AB恰好
整合方法
解：如图，连接 AE 并延长交弧 BD 于点 F，连接 BE.由轴对称的性质可知 S 扇形 BAF＝S 扇形 DAF，S1＝S2 ＝S5，S3＝S4.S 半圆形 AB＝π2·a22＝π8a2， ∵∠BAE＝∠DAE＝45°，∴S 扇形 BAF＝4356π0a2＝π8a2. ∴S 半圆形 AB＝S 扇形 BAF，∴S1＝S4＝S2＝S3＝S5. 又∵S1＋S5＝S 半圆形 AB－S△ABE＝π8a2－a42. ∴S 阴影＝S1＋S2＋S3＋S4＝2(S1＋S5)＝2π8a2－a42＝π4－12a2.
整合方法
11．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，连 接OC， 过 点C的直 线交 AB的 延长线于 点 D， AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC 平分∠BAE. (1)求证：OC⊥DE； 证明：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵AC平分∠BAE，∴∠OAC＝∠CAE. ∴∠OCA＝∠CAE.∴OC∥AE，∵AE⊥DC， ∴OC在 Rt△ ABC 中，∠A＝90°， CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，O 是 BC 上一点， 经过 C，D 两点的⊙O 分别交 AC，BC 于点 E，F， ︵ AD＝ 3，∠ADC＝60°，则劣弧CD的长为________．
夯实基础
【点拨】如图，连接DF，OD，∵CF是⊙O的直径， ∴∠CDF＝90°.∵∠ADC＝60°，∠A＝90°， ∴∠ACD＝30°.∵CD平分∠ACB交AB于点D， ∴∠DCF＝30°.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC ＝30°，∴∠COD＝120°.
整合方法
12．【中考·朝阳】如图，分别以五边形 ABCDE 的顶点
为圆心，1 为半径作五个圆，则图中阴影部分的面
积之和为( C )
3 A.2π
B．3π
C.72π
D．2π
整合方法
13．如图，在边长为a的正方形ABCD中，以点A 为圆心、AB为半径画弧得到扇形BAD，分别 以AB，AD为直径的两个半圆交于点E，求图 中阴影部分的面积． 【思路导引】观察分析图形的特点， 要求图中阴影部分的面积，可以考虑 利用图形的对称性解决问题．
3＝3π－2 3.
︵︵ 这个圆形纸片按下列顺序折叠，使AB和AC都经过
圆心 O，则阴影部分的面积是⊙O 面积的( B )
1
1
2
3
A.2 B.3 C.3 D.5
夯实基础
9．【中考·荆门】如图，等边三角形ABC的边长为2， 以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D， E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于 F，连接EF，那么图中阴影部分 的面积为__1π_2_＋__2_3_－__34__．
∠ABE＝∠BCG， ∴△ABE≌△BCG.
探究培优
︵ (2)若∠AEB＝55°，OA＝3，求BF的长．(结果保
留 π)
解：连接 OF，如图． ∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°， ∴∠BAE＝90°－55°＝35°， ∴∠BOF＝2∠BAE＝70°. ∵OA＝3， ∴B︵F的长＝701·8π0×3＝76π.
夯实基础
∵在 Rt△ CAD 中，CD＝2AD＝2 3， 在 Rt△ FCD 中，CF＝coCs D30°＝2 33＝4，
2 ∴⊙O 的半径为 2，∴劣弧C︵D的长＝12108π0×2＝43π.
【答案】43π
夯实基础
5．【中考·长沙】一个扇形的半径为6，圆心角为 120°，则该扇形的面积是( C )
夯实基础
【点拨】如图，连接 OD，过 D 作 DE⊥AB 于 E.
∵在 Rt△ ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2 3，BC＝2，
∴tanA＝ABBC＝2 2
＝ 3
33，∴∠A＝30°，∴∠DOB＝60°.∵
OD＝12AB＝ 3，∴DE＝OD·sin∠DOE＝32，∴阴影部分的
3 面积是：2 23×2－ 32×2－60×π×3（60 3）2＝543－π2.
【答案】A
夯实基础
7．【中考·枣庄】如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中， 以点 B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角线 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积是(结果保留 π)( C ) A．8－π B．16－2π C．8－2π D．8－12π
夯实基础
8．【中考·聊城】如图，点 O 是圆形纸片的圆心，将
︵ 经过圆心 O，若⊙O 的半径为 3，则AB的长为( C )
A.12π B．π C．2π D．3π 【点拨】如图，连接 OA，OB，作 OC⊥AB 于 C， 由题意得 OC＝12OA，∴∠OAC＝30°. ∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°， ∴∠AOB＝120°，∴A︵B的长＝12108·π0×3＝2π.
夯实基础
︵
︵
10．已知AB所对的圆周角为 30°，AB所在圆的半
︵ 径为 30 cm，求AB的长．
︵ 解：∵AB所对的圆周角为 30°，
︵ ∴AB所对的圆心角为 60°，
︵ ∴AB的长
l＝60×1π80×30＝10π(cm)．
夯实基础
误区诊断：在公式 l＝n1π8R0 ，S 扇形＝n3π6R02中，n°是圆 心角的度数，而题干给出的是圆周角的度数，不能 直接代入公式计算，要求出圆心角的度数后再代入 公式计算．本题易错解为 l＝30×1π80×30＝5π(cm)．