二次根式的概念(含例题)

第十六章 二次根式

16.1 二次根式

1．二次根式的概念

a a >0__________．

理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）2，2

我们一般省略根指数2， （23-23a --都不是二次根式．

（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．

（4）式子a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0a ．二次根式具有双重非负性． 【注意】（1a ，就隐含a ≥0这一条件．

（2）形如0)a a ≥的式子也是二次根式，b a 是相乘的关系，要注意当b 是分数时不能写成带

82382

3

，但不能写成223． 2．二次根式有无意义的条件

类型 条件

字母表示

二次根式有意义 被开方数（式）为非负数 a 有意义⇔a__________0 二次根式无意义

被开方数（式）为负数

a 无意义⇔a__________0

3．二次根式的性质

（10(0)a a ≥≥； （2）2((0)a a a =≥；

（3）2

__________(0)__________(0)__________(0)a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩

．

【拓展】（1）若0a b +=，则a =0，b =0； （2）若||0a b +=，则a =0，b =0； （3）若20a b +=，则a =0，b =0；

（4）若2||0a b c ++=，则a =0，b =0，c =0．

4．代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫__________．例如3，x ，x +y ，3(0)x x ≥，-ab ，(0)s

t t

≠，x 3都是代数式． 【注意】（1）代数式中不能含有关系符号（“=”“>”或“<”等）．

（2）将两个代数式用关系符号（“=”“>”或“<”等）连接起来的式子叫关系式．方程和不等式都是关系式．如2x +3>3x -5就是关系式．

K 知识参考答案：

1．二次根号 2．≥，< 3．a ，0，a - 4．代数式

K —重点 二次根式的概念；二次根式有无意义的条件；二次根式的性质 K —难点 二次根式的性质

K —易错

不能全面考虑字母的取值范围

一、二次根式的概念

判断一个式子是不是二次根式时，只看它的初始的外在形态，不看它计算或化简的结果．93=，399

【例1】下列式子中二次根式的个数有

13；3-；21x +；38；21

()3

-；1(1)x x ->；221x x ++ A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【答案】C

二、二次根式有意义的条件

求使代数式有意义的字母的取值范围的类型： （1）二次根式型：被开方数大于或等于0； （2）分式型：分母不等于0；

（3）复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分． 【例2】2

2

a a +-有意义时，a 的取值范围是 A ．a ≥2

B ．a >2

C ．a ≠2

D ．a ≠-2

【答案】B

【解析】根据二次根式的意义，被开方数a -2≥0，解得：a ≥2，根据分式有意义的条件：a -2≠0，解得：a ≠2，∴a >2．故选B ．

三、二次根式非负性的应用

若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0． 【例3】10x x y -+=，则20182019x y +的值为

A ．0

B ．1

C ．–1

D ．2

【答案】A

【解析】1x -x y +=0，得x –1=0，x +y =0，解得x =1，y =–1，所以20182019x y +=12018+（–1）2019=1–1=0，

故选A ．

四、二次根式的性质

化简形如2a 的式子时，先转化为|a |的形式，再根据a 的符号去绝对值． 【例4】下列计算正确的是 A ．2a =a

B ．2(2)a -=a -2

C ．（6）2=±6

D ．（x y +）2=x +y

【答案】D

五、二次根式的求值

2||a a =进行化简，当a 的符号无法判断时，就需要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏． 【例5】20n n 为 A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】D

20n 455n n ⨯=20n 5n 是整数，即5n 是完全平方数， ∴n 的最小正整数为5．故选D ．

【例6】设a ，b ，c 为△ABC 2222()()()()a b c a b c b a c c b a +++----+--． 【解析】根据三角形的三边关系可得：a +b +c >0，a -b -c <0，b -a -c <0，c -b -a <0， 原式=a +b +c +b -a +c +a -b +c +b -c +a =2（a +b +c ）．