高二数学 双基限时练3

双基限时练(三)

1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )

A ．不存在

B ．与x 轴垂直

C ．与x 轴平行

D ．与x 轴平行或重合

答案 D

2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t

之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速

度为( )

A. 2

B. 1

C.12 D .14

解析 s ′＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0

18(t ＋Δt )2－18t 2Δt ＝lim Δt →0 14tΔt ＋18(Δt )2Δt ＝lim Δt →0

(14t ＋18Δt )＝14t . ∴当t ＝2时，s ′＝12.

答案 C

3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则

( )

A ．h ′(a )<0

B ．h ′(a )>0

C ．h ′(a )＝0

D ．h ′(a )的符号不定

解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0.

∴h ′(a )<0.

答案 A

4．曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( )

A ．45°

B ．60°

C ．135°

D ．120°

解析 k ＝y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0

9x ＋Δx －9x Δx

＝lim Δx →0

－9x (x ＋Δx )＝－9x 2. ∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°.

答案 C

5．在曲线y ＝x 2

上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)

C ．(14，116)

D ．(12，14)

解析 y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0

(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0 2xΔx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0

(2x ＋Δx )＝2x . 令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14.

故所求的点是(12，14)．

答案 D

6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________．

解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →0

2(2＋Δx )2－2×22Δx

＝lim

Δx→0

8Δx

＋2(Δx)2

Δx＝lim

Δx→0

(8＋2Δx)＝8.

答案8

7．若函数f(x)在x0处的切线的斜率为k，则极限lim

Δx→0 f(x0－Δx)－f(x0)

Δx＝________.

解析lim

Δx→0f(x0－Δx)－f(x0)

Δx

＝－lim

Δx→0f(x0－Δx)－f(x0)

－Δx

＝－k.

答案－k

8．已知函数f(x)在区间[0,3]上图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f′(3)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)

解析由f(x)的图象及导数的几何意义知，k1>k2>k3.

答案k1>k2>k3

9．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．

解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0

f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－

1，k ＝－14.

∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，

即x ＋4y －9＝0.

10．已知曲线y ＝1t －x

上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求： (1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率；

(2)曲线在点P ，Q 处的切线方程．

解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x

. ∴y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝lim Δx →0

1[1－(x ＋Δx )](1－x )＝1(1－x )2

. (1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝1(1－2)2

＝1； 曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝

1[1－(－1)]2＝14

. (2)曲线在点P 处的切线方程为

y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.

曲线在点Q 处的切线方程为

y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.

11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3

－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．

(1)求直线l 的方程；

(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程．

解 (1)∵f ′(2)＝

lim Δx →0

13(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx ＝0， ∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.

(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方

程为x 2＝2py ，则－p 2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .

12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

解 存在．

理由如下：

∵y ＝x 2＋1，

∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0

(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx ＝ lim Δx →0 2xΔx ＋(Δx )2Δx

＝2x . 设切点坐标为(t ，t 2＋1)，

∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t .

于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )．

将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )，

即t 2－2t ＋a －1＝0.

∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．