高二数学 双基限时练3
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练3(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(三)1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D.12解析 利用三角函数的定义可得sin α＝－12，故选B.答案 B2．若角α的终边经过M (0,2)，则下列各式中，无意义的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan αD ．sin α＋cos α解析 因为M (0,2)在y 轴上，所以α＝π2＋2k π，k ∈Z ，此时tan α无意义．答案 C3．下列命题正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析 当θ＝π时，cos θ＝－1，此时π既不是第二象限的角，也不是第三象限的角，故A 错误；当α＝390°，β＝30°时，cos α＝cos β，故B 错误；当α＝30°，β＝150°时，sin α＝sin β，但α与β终边并不相同，故C 错误，只有D 正确．答案 D4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析 ∵α，β为三角形的内角，且sin αcos β<0， 又sin α>0，∴cos β<0，∴β为钝角． ∴三角形为钝角三角形． 答案 B5．设角α的终边过点P (3a,4a )(a ≠0)，则下列式子中正确的是( ) A ．sin α＝45B ．cos α＝35C ．tan α＝43D ．tan α＝－43解析 ∵a ≠0，∴tan α＝4a 3a ＝43.答案 C6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，则θ所在的象限为( )A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上递减，∴sin2θ>0，∴2k π<2θ<π＋2k π，k ∈Z ， ∴k π<θ<π2＋k π，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π<θ<π2＋2n π，此时θ在第一象限内．当k ＝2n ＋1，n ∈Z时，π＋2n π<θ<3π2＋2n π，n ∈Z ，此时θ在第三象限内．综上可得θ所在的象限为第一象限或第三象限，故选A. 答案 A7．角α终边上有一点P (x ，x )(x ∈R ，且x ≠0)，则sin α的值为________． 解析 由题意知，角α终边在直线y ＝x 上，当点P 在第一象限时，x >0，r ＝x 2＋x 2＝2x ，∴sin α＝x2x＝22.当点P 在第三象限时，同理，sin α＝－22. 答案 ±228．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角．解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．答案 一或二9．点P (tan2 012°，cos2 012°)位于第____________象限． 解析 ∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角， ∴tan2 012°＞0，cos2 012°＜0，故点P 位于第四象限． 答案 四10．若角α的终边经过P (－3，b )，且cos α＝－35，则b ＝________，sin α＝________.解析 ∵cos α＝－39＋b2，∴－39＋b 2＝－35，∴b ＝4或b ＝－4.当b ＝4时，sin α＝b9＋b2＝45，当b ＝－4时，sin α＝b 9＋b2＝－45. 答案 4或－4 45或－4511．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0° ＝1＋1＋1＋1＝4.12．一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm 至点P 的位置．试问蚂蚁离x 轴的距离是多少？解 如下图所示，蚂蚁离开x 轴的距离是PA .在△OPA 中，OP ＝6，∠AOP ＝60°， ∴PA ＝OP sin60° ＝6×32＝3 3. 即蚂蚁离x 轴的距离是3 3 cm.13．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，试求α的三个三角函数值． 解 当角α的终边在第一象限时，在y ＝2x 上任取一点P (1,2)，则有r ＝5，∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2.当角α的终边在第三象限时，同理可求得： sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.。
高中数学 双基限时练3 新人教B版必修4
双基限时练(三)基 础 强 化1．如果角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，那么sin α的值等于( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33解析 2sin30°＝1，－2cos30°＝－3，∴P (1，－3)． ∴r ＝12＋ －3 2＝2，sin α＝－2cos30°2＝－32.答案 C2．设α＝－5π2，则sin α，tan α的值分别为( )A ．－1；不存在B ．1；不存在C ．－1；0D ．1；0解析 －5π2＝－2π－π2，∴－5π2的终边在y 轴的负半轴，在其终边上取点(0，－1)，由此可知sin α＝－1，tan α的值不存在．答案 A3．已知P (x,4)是角θ终边上一点，且tan θ＝－25，则x 的值为( )A ．10 B.45 C ．－10D ．－15解析 tan θ＝4x ＝－25，∴x ＝－10.答案 C4．若角α的终边上有一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35k ，－45k (k <0)，则sin α²tan α＝( )A.1615 B ．－1615C.1516D ．－1516解析 ∵k <0，∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45k 2＝－k ，∴sin α＝45，tan α＝－43，∴sin α²tan α＝－1615.答案 B5．若点P 在角π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标( )A ．(3，1)B ．(－3，1)C ．(1，3)D ．(－1，3)解析 设P (x 0，y 0)，sin π3＝y 02＝32，∴y 0＝ 3.cos π3＝x 02＝12，∴x 0＝1.∴P (1，3)．答案 C6．已知角θ的终边在直线y ＝3x 上，则tan θ的值( ) A ．－33B ．－ 3C. 3 D ．±33解析 角θ的终边在第一象限或第三象限，在直线y ＝3x 上取点(1，3)和(－1，－3)，则tan θ＝yx＝ 3.答案 C7．角α的终边上有一点P (m,5)，且cos α＝m13(m ≠0)，则sin α＋cos α＝____.解析 r ＝m 2＋25，∴cos α＝m m 2＋25＝m13(m ≠0)， ∴m ＝±12.当m ＝12时，cos α＝1213，sin α＝513，sin α＋cos α＝1713.当m ＝－12时，cos α＝－1213，sin α＝513，sin α＋cos α＝－713.∴sin α＋cos α＝1713或sin α＋cos α＝－713.答案1713或－7138．若y ＝tan α²cot α的定义域为M ，y ＝sec α²csc α的定义域为N ，则M 与N 的关系为________．答案 M ＝N能 力 提 升9．已知角α的终边经过点P (8a,15a )(a ≠0)，则tan α＋sec α的值是________． 解析 r ＝ 8a 2＋ 15a 2＝17|a |， 当a >0时，r ＝17a ，tan α＝158，sec α＝17a 8a ＝178， ∴tan α＋sec α＝4.当a <0时，r ＝－17a ，tan α＝158，sec α＝－17a 8a ＝－178，∴tan α＋sec α＝－14.∴tan α＋sec α＝4或tan α＋sec α＝－14.答案 －14或410．已知α的终边上一点P (2，－5)，求角α的六个三角函数值． 解析 r ＝3，sin α＝－53，cos α＝23，tan α＝－52， cot α＝－255，sec α＝32，csc α＝－355.11．已知θ的终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010，求sin θ和tan θ. 解析 cos θ＝x x 2＋9＝1010>0，∴x >0，∴x ＝1. ∴sin θ＝312＋32＝310＝31010，tan θ＝y x ＝3.12．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1＋tan xsin x ；(2)f (x )＝cos x .解析 (1)若使函数有意义， 则需满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π，k ∈Z ，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z. (2)若使函数有意义，则满足cos x ≥0， 即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z .品 味 高 考13．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析 P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255，∴y 16＋y2＝－255， ∵sin θ<0，∴y <0解得y ＝－8. 答案 －8。
高二数学课前五分钟双基练3-4
1.空间任意四个点,,,A B C D ，则DA CD CB +- 等于 ；
2.已知向量,a b 满足条件：2,a b == ，且a 与2b a - 互相垂直，则a 与b 的夹角
为 ；
3.已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为底面11AC 的中心，若1AE AA xAB yAD =++ ，
则x 与y 的值分别是 ；
高二数学课前五分钟双基练（3）
1.空间任意四个点,,,A B C D ，则DA CD CB +- 等于 ；
2.已知向量,a b 满足条件：2,a b == ，且a 与2b a - 互相垂直，则a 与b 的夹角
为 ；
3.已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为底面11AC 的中心，若1AE AA xAB yAD =++ ，
则x 与y 的值分别是 ；
1.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为
BC 中点，则MN 等于 ；（用,,a b c 表示）
2.设2,,,,36
a c a
b b
c ππ⊥== ，且1,2,3a b c === ，则a b c ++= ；
高二数学课前五分钟双基练（4）
1.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为
BC 中点，则MN 等于 ；（用,,a b c 表示）
2.设2,,,,36
a c a
b b
c ππ⊥== ，且1,2,3a b c === ，则a b c ++= ；。
北师大版高中数学必修二双基限时练3
双基限时练(三)一、选择题1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中两条线段结论错误的是( )A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点解析斜二测画法保平行，保相交，保平行线段的比，但不保垂直．答案 B2．如图所示的直观图中A′B′∥y′轴，B′C′∥A′D′∥x′轴，且B′C′≠A′D′.其对应的平面图形ABCD是( )A ．任意梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形解析 由直观图的画法，可知原四边形ABCD 为直角 梯形． 答案 B3．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，如图若O ′B ′＝1，那么原△ABO 的面积是( )A.12B.22C. 2D ．2 2解析 由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且∠AOB ＝90°，OB ＝1，OA ＝2O ′A ′＝22，∴S△AOB＝12×1×22＝ 2.答案 C4.如图所示为等腰直角三角形，其中AB＝AC＝2，则△ABC的直观图的面积为( )A．2 B. 2C.22D．2 2解析△ABC的直观图如图所示，则S△A′B′C′＝12×2×1×sin45°＝22.答案 C5．已知△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，如图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )A．AB B．ADC．BC D．AC解析由斜二测画法，可知原三角形ABC为直角三角形，AC为斜边，D为BC的中点，故AC>AD，故最长的线段为AC，故答案为D.答案 D6．已知等边三角形的边长为2，那么它的直观图的面积为( )A.32B.34C.64D.62解析如图①②分别为平面图与直观图，由②可知，A′B′＝2，h′＝C′O′sin45°＝32×22＝64，S△A′B′C′＝12×64×2＝64.答案 C二、填空题7．在一等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝45°，DC＝2，AD＝2，建立如图所示的直角坐标系，其中O为AB的中点，则其直观图的面积为________．解析由图可知AB＝DC＋2AD cos45°＝4，EO＝2sin45°＝1，其直观图如图所示，其中A′B′＝4，C′D′＝2，高h′＝E′O′.sin45°＝24，∴S A ′B ′C ′D ′＝(2＋4)×242＝324.答案 3248．一个水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．解析 由斜二测画法，知△ABC 为直角三角形，AB ＝AC 2＋BC 2＝9＋16＝5，∴AB 边上的中线为52.答案 529．如图所示，ABCD为边长为2的正方形，其中B(2,2)，则在斜二测画法中，直观图A′B′C′D′中B′点到x′轴的距离为________．解析在直观图中，A′B′C′D′是有一个角为45°的平行四边形，B′到x′轴的距离为d＝1×sin45°＝22.答案2 2三、解答题10．把下图水平放置的直观图P′Q′R′S′还原为真实图形．若S′R′＝2，P′Q′＝4，S′P′＝2，S′R′∥P′Q′∥O′x′，P ′S′∥O′y′，试求其真实图形PQRS的面积．解由斜二测画法，知P′Q′∥O′x′，P′S′∥O′y′，R′S′∥O′x′.故PQ ∥Ox ，PS ∥Oy ，RS ∥Ox ，且PS ＝2P ′S ′，PQ ＝P ′Q ′，RS ＝R ′S ′.故真实图形如图所示．由上知PQ ＝P ′Q ′＝4，SR ＝S ′R ′＝2，SP ＝2S ′P ′＝4，且四边形PQRS 是直角梯形，其面积S ＝12(SR ＋PQ )·SP ＝12 (2＋4)×4＝12.11．已知正△ABC 的边长为a ，求△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积．解 由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中，作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ， 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.12．画出长为5，宽为4，高为5的长方体的直观图．解(1)画出x轴，y轴，z轴三轴相交于O点，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，∠yOz＝90°.(2)在x轴上取OA＝5，OC＝2，过A作AB∥OC，过C作CB∥OA，则四边形OABC为下底面．(3)在z轴上取OO′＝5，过O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′，重复(2)的步骤作出上底面O′A′B′C′.(4)连接AA′，BB′，CC′，OO′，即得到长方体OABC－O′A ′B′C′的直观图．思维探究13．已知水平放置的三角形ABC是正三角形，其直观图的面积为6a2，求△ABC的周长．4解 图△ABC 是△A ′B ′C ′的原图形，设△ABC 的边长为x ，由斜二测画法，知A ′B ′＝AB ＝x ，O ′C ′＝12OC ＝34x ，作C ′D ′⊥A′B ′，垂足为D ′，∵∠C ′O ′D ′＝45°，∴C ′D ′＝22O ′C ′＝22×34x ＝68x ，∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′×C ′D ′＝12x ×68x ＝616x 2.∴616x 2＝64a 2，∴x ＝2a ， ∴△ABC 周长为3×2a ＝6a .。
人教A版高中数学必修三试卷双基限时练3.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作双基限时练(三)1．如图，是算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构是( )A ．顺序结构B ．条件结构C ．判断结构D ．以上都不对答案 B2．下列函数的求值流程图中需要用到条件结构的是( ) A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x 2－1D ．f (x )＝2x解析 对于分段函数求值需用到条件结构，故选C 项． 答案 C3．下列关于条件结构的说法正确的是( ) A ．条件结构的程序框图中有两个入口和一个出口B ．无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一C ．条件结构中的两条路径可以同时执行D ．对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的 答案 B4．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则x 的可能值的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 该程序框图的功能是已知函数y ＝⎩⎨⎧x 2 (x ≤2)，2x －3 (2<x ≤5)，1x (x >5)，输入x 的值，输出对应的函数值．则当x ≤2时，x ＝x 2，解得x ＝0，或x ＝1； 当2<x ≤5时，x ＝2x －3，解得x ＝3； 当x >5时，x ＝1x ，解得x ＝±1(舍去)． 即x ＝0，或1，或3. 答案 C5．如图所示的程序框图，其功能是()A．输入a，b的值，按从小到大的顺序输出它们的值B．输入a，b的值，按从大到小的顺序输出它们的值C．输出a，b中较大的一个D．输出a，b中较小的一个解析取a＝1，b＝2，知该程序框图输出2，因此是输出a，b 中较大的一个．答案 C6．已知函数y＝|x－3|，以下程序框图表示的是给定x值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填_______，②处应填_______．解析 由f (x )＝|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 (x ≥3)，3－x (x <3)，及程序框图知，①处应填x <3？，②处应填y ＝x －3.答案 x ＜3？ y ＝x －37．指出下面程序框图的运行结果．若输入－4，则输出结果为________．解析 由程序框图知，求a 的算术平方根．当a ≥0时，输出a ；当a <0时，输出是负数．因此当a ＝－4时，输出的结果为是负数．答案 是负数8．如图所示的算法功能是________．解析 由程序框图知，当a ≥b 时，输出a －b ；当a <b 时，输出b －a .故输出|b －a |. 答案 计算|b －a |9．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理的程序框图如图所示．则3⊗2＝________.解析 由程序框图知，当a ≤b 时，输出b －1a ；当a >b 时，输出a ＋1b .∵3>2，∴输出3＋12＝2.答案 210．如图给出了一个算法的程序框图．根据该程序框图，回答以下问题：(1)若输入的四个数为5,3,7,2，则最后输出的结果是什么？ (2)该算法的程序框图是为什么问题而设计的？解 (1)由程序框图知，该运算是求a ，b ，c ，d 中的最小数．因此输入5,3,7,2，则最后输出结果为2.(2)求a ，b ，c ，d 四个数中的最小数，并输出最小数．11．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x (x >0)，0 (x ＝0)，－x －3 (x <0)，设计一个算法，输入自变量x 的值，输出对应的函数值．请写出算法步骤，并画出程序框图．解算法如下：第一步，输入自变量x的值．第二步，判断x>0是否成立，若成立，计算y＝1＋x，转第四步，否则，执行下一步．第三步，判断x＝0是否成立，若成立，令y＝0，否则，计算y ＝－x－3.第四步，输出y.程序框图如图所示．12．儿童乘火车时，若身高不超过1.2米，则无需购票；若身高超过1.2米但不超过1.4米，买半票；若超过1.4米，应买全票．设计一个算法，并画出程序框图．解本问题中旅客的身高影响他的票价，属于分段函数问题．设身高为h米，票价为a元，则旅客的购票款y为：y ＝⎩⎨⎧0 (h ≤1.2)，a2 (1.2<h ≤1.4)，a (h >1.4).设计算法如下： 第一步，输入身高h .第二步，若h ≤1.2，则不必购买车票，否则进行下一步． 第三步，若h >1.4，则购买全票，否则买半票． 框图表示如下．。
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双基限时练(三)顺序结构和条件分支结构基础强化1．条件分支结构不同于顺序结构的特征是含有()A．处理框B．判断框C．输入、输出框D．起、止框解析条件分支结构必须有判断框．答案 B2．程序框图中条件分支结构的判断框有________个入口和________个出口．()A．1,2B．2,3C．1,3 D．都不确定答案 A3．阅读下面的程序框图，若输入a，b，c分别是21、32、75，则输出的值是()A ．96B ．53C ．107D ．128解析 ∵21<32，∴m ＝21＋75＝96，即输出96. 答案 A4．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0<x ≤4，1x ，4<x ≤11，log 2x ，11<x ≤14.在求f (a )(0<a <14)的算法中，需要用到条件分支结构，其中判断框的形式是()解析 因该函数f (x )的定义域被分成了三段，故在求f (a )的值的算法中要利用多分支结构，故选D.答案 D5．下列四个问题中不必用条件分支结构就能实现的是( ) A ．解方程ax ＋b ＝0(a ，b 为常数) B ．已知圆的面积，求半径rC ．比较a 、b 、c 的大小，求a 、b 、c 中最大者D ．计算函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，2x －7，x ≤0的函数值解析 解方程ax ＋b ＝0需要判断a 、b 是否为零；比较a 、b 、c 的大小需比较a 与b ，a 与c ，b 与c 的大小关系；计算f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，2x －7，x ≤0的函数值需判断自变量x >0还是x ≤0；求圆的半径只要知道圆的面积即可．所以A 、C 、D 选项中所述问题需要条件分支结构，B 选项中所述问题用顺序结构即可．故选B.答案 B6.根据下边程序框图，若输出y 的值是4，则输入的实数x 的值为( )A ．1B ．－2C ．1或2D ．1或－2解析 该程序框图表述的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＜1，3x ＋1，1≤x ＜10，2x ，x ≥10.当y ＝4时x ＝－2或x ＝1.答案 D7．根据如图程序框图，若输入m 的值是3，则输出的y 的值是________．解析 若输入m 的值是3. 则p ＝8，y ＝8＋5＝13， 故输出y 的值为13. 答案 138．下面程序框图表示的算法功能是________．解析 其功能是比较a 、b 、c 的大小，输出最大值． 答案 输出a ，b ，c 中最大者9．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50千克按0.53元/千克收费，超过50千克的部分按0.85元/千克收费，相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填________．解析 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53x ，0≤x ≤50.50×0.53＋(x －50)×0.85，x >50.①是在x >50成立时所执行的步骤，因此①处应填y ＝50×0.53＋(x －50)×0.85.答案 y ＝50×0.53＋(x －50)×0.85能力提升10．画出解方程ax＋b＝0(a，b∈R)的算法程序框图．解如下图所示．11．以下给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，求x的值．解 该程序框图描述的算法是求分段函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5.因为输入的x 值与输出的y 值相等，所以y ＝x .(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x ，x ≤2，∴x ＝0或x ＝1.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＝x ，2<x ≤5，∴x ＝3.(3)∵⎩⎨⎧1x＝x ，x >5，∴x 无解．综上所述，x 的值为0,1,3.12．火车站对乘客退票收取一定的费用，具体办法是：按票价每10元(不足10元按10元计算)核收2元；2元以下的票不退．试写出票价为x 元的车票退掉后，返还的金额y 元的算法的程序框图．(提示：[x ]表示不大于x 的最大整数)解 如下图所示．品味高考13．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()C．[－4,3] D．[－2,5]解析 作出分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，－t 2＋4t ，t ≥1的图象(图略)，可知函数s 在[－1,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，∴t ∈[－1,3]时，s ∈[－3,4]．答案A。
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】双基限时练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6 B.π3 C.π6，或5π6D.π3，或2π3解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.答案 A2．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B. 2 C ．2D ．3＋ 3解析 由正弦定理，知BC sin A ＝AB sin C ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案 A3．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于( ) A ．105° B ．60°C ．15°D ．105°，或15°解析 先用正弦定理求角C ，由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝10×1252＝22. 又c >a ，∴C ＝45°，或135°，故B ＝105°，或15°. 答案 D4．已知三角形的三边之比为a ：b ：c ＝2：3：4，则此三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 设三边长为2a,3a,4a (a >0)，它们所对的三角形内角依次为A ，B ，C .则cos C ＝(2a )2＋(3a )2－(4a )22×2a ×3a ＝－14<0，∴C 为钝角．故该三角形为钝角三角形． 答案 B5．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析 在△ABC 中，由正弦定理，知 a ＝b sin Asin B ，∵0<sin B ≤1，∴a ≥b sin A . 答案 D6．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形B ．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 解法1：由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝b 2＋c 2－bc2bc∴b 2＋c 2－2bc ＝0.即(b －c )2＝0，∴b ＝c . 故△ABC 为等边三角形．解法2：验证四个选项知C 成立． 答案 C7．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 的长为____________．解析 由A ＋B ＋C ＝180°，求得B ＝60°. ∴BC sin A ＝AC sin B ⇒BC ＝AC sin A sin B ＝3×2232＝ 2.答案28．△ABC 中，已知a ＝2，c ＝3，B ＝45°，则b ＝________. 解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴b ＝ 5.答案59．在△ABC 中，a ＝23，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ， ∴43＝12×23×b ×223，∴b ＝3 2. 答案 3 210．在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．解 解方程2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，而cos C 为方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴cos C ＝－12.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2＋ab .∴c 2＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ＝100－a (10－a )＝a 2－10a ＋100＝(a －5)2＋75≥75，∴当a ＝b ＝5时，c min ＝53.从而三角形周长的最小值为10＋5 3.11．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22.又∵B 为锐角，∴B ＝45°.∵lg a －lg c ＝－lg 2，∴a c ＝22.由正弦定理，得sin A sin C ＝22. 即2sin(135°－C )＝2sin C .∴2(sin135°cos C －cos135°sin C )＝2sin C . ∴cos C ＝0，∴C ＝90°，∴A ＝B ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形．12．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．解 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ， 由正弦定理，得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a ＝3.(3)∵a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形．高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin=， cos = ， tg = ， ctg= ， sec = ， csc = 。
高二数学 双基限时练2
双基限时练(二)1．当自变量x由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x1处的导数C．在区间[x0，x1]上的导数D．在x处的平均变化率解析由平均变化率的定义知选A.答案A2．对于函数f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)为()A．0B．1C．c D．不存在解析f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0c－cΔx＝0.答案A3．y＝x2在x＝1处的导数为()A．2x B．2C．2＋Δx D．1解析∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2＋Δx.∴f′(1)＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.答案B4．在导数的定义中，自变量的增量Δx满足() A．Δx<0 B．Δx>0C．Δx＝0 D．Δx≠0解析Δx可正、可负，就是不能为0，因此选D.答案D5．一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是()A．物体5秒内共走过42米B．物体每5秒钟运动42米C．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒D．物体以t＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米解析由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．故选D.答案D6．如果质点A按规律s＝3t2运动，那么在t＝3时的瞬时速度为________．解析∵Δy＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，∴s′(3)＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(18＋3Δt)＝18.答案187．设函数f(x)满足limx→0f(1)－f(1－x)x＝－1，则f′(1)＝________.解析∵limx→0f(1)－f(1－x)x＝limx→0f(1－x)－f(1)－x＝f′(1)＝－1.答案－18．函数f(x)＝x2＋1在x＝1处可导，在求f′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx，则函数的增量Δy＝________.解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.答案 2Δx ＋(Δx )29．已知f (x )＝ax 2＋2，若f ′(1)＝4，求a 的值．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋2－(a ×12＋2)＝2a ·Δx ＋a (Δx )2，∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a ·Δx )＝2a ＝4.∴a ＝2.10．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值． 解 Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝[13－8(x 0＋Δx )＋ 2 (x 0＋Δx )2]－(13－8x 0＋2x 20)＝－8Δx ＋22x 0Δx ＋2(Δx )2.f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(－8＋22x 0＋2Δx )＝－8＋22x 0，又∵f ′(x 0)＝4，∴－8＋22x 0＝4，∴x 0＝3 2.11．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在关系s (t )＝10t ＋5t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)．(1)求t ＝20，Δt ＝0.1时的Δs 与Δs Δt ；(2)求t ＝20时的速度．解 (1)当t ＝20，Δt ＝0.1时，Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202)＝1＋20＋5×0.01＝21.05.∴Δs Δt ＝21.050.1＝210.5.(2)由导数的定义知，t ＝20时的速度即为v ＝lim Δt →0Δs Δt＝lim Δt →010(t ＋Δt )＋5(t ＋Δt )2－10t －5t 2Δt ＝lim Δt →05(Δt )2＋10Δt ＋10tΔt Δt ＝lim Δt →0(5Δt ＋10＋10t )＝10＋10t＝10＋10×20＝210(m/s)．12．若一物体运动方程如下(位移：m ，时间：s)．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3，29＋3(t －3)2，0≤t <3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度为v 0，即求物体在t ＝0时瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均速度为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3(0＋Δt －3)2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时速度为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18(m/s)．即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均速度变化为Δs Δt ＝29＋3(1＋Δt －3)2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt －12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.新课标第一网系列资料 。
(人教A版)高中数学【选修2-2】双基限时练(3)及答案
双基限时练(三)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴垂直 C ．与x 轴平行 D ．与x 轴平行或重合答案 D2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.14解析 s ′＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →018(t ＋Δt )2－18t 2Δt＝lim Δt →014tΔt ＋18(Δt )2Δt＝lim Δt →0(14t ＋18Δt )＝14t . ∴当t ＝2时，s ′＝12. 答案 C3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( )A ．h ′(a )<0B ．h ′(a )>0C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0. ∴h ′(a )<0. 答案 A4．曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( ) A ．45° B ．60° C ．135°D ．120°解析 k ＝y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →09x ＋Δx －9x Δx＝lim Δx →－9x (x ＋Δx )＝－9x 2.∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°. 答案 C5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析 y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14. 故所求的点是(12，14)． 答案 D6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________．解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →02(2＋Δx )2－2×22Δx＝limΔx→08Δx＋2(Δx)2Δx＝limΔx→0(8＋2Δx)＝8.答案87．若函数f(x)在x0处的切线的斜率为k，则极限limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________.解析limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－k.答案－k8．已知函数f(x)在区间[0,3]上图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f′(3)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)解析由f(x)的图象及导数的几何意义知，k1>k2>k3.答案k1>k2>k39．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14.∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)， 即x ＋4y －9＝0.10．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求： (1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程．解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x.∴y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →011－(x ＋Δx )－11－x Δx＝lim Δx →01[1－(x ＋Δx )](1－x )＝1(1－x )2.(1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1；曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝1[1－(－1)]2＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为 y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0. 曲线在点Q 处的切线方程为 y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)∵f ′(2)＝lim Δx →013(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx＝0， ∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x 2＝2py ，则－p2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 存在． 理由如下： ∵y ＝x 2＋1，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx＝ lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2Δx＝2x . 设切点坐标为(t ，t 2＋1)，∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t . 于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )． 将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )，即t2－2t＋a－1＝0.∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．故Δ＝4－4(a－1)>0.∴a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．。
人教A版选修2-3双基限时练3.docx
双基限时练(三)1.A 345！＝( ) A.120B.125C.15D.110答案 C2．下列各式中与排列数A m n 相等的是( )A.n ！(m －n )！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m ) C.n n －m ＋1·A n －1n D ．A 1n ·A m －1n －1 解析 A 1n ·A m －1n －1＝n (n －1)！(n －m )！＝A m n . 答案 D3．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同的工作，则分配方案共有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析 这是一个排列问题，A 46＝6×5×4×3＝360.答案 B4．已知3A n －18＝4A n －29，则n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析 ∵3A n －18＝4A n －29，∴3·8！(8－n ＋1)！＝4·9！(9－n ＋2)！， 即3(9－n )！＝4·9(11－n )！∴(11－n )(10－n )＝12.即n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7，或n ＝14(舍去)．答案 C5．已知A 2n ＋1－A 2n ＝10，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析 把n ＝5代入验证知，A 26－A 25＝6×5－5×4＝10.答案 B6．以下四个命题，属于排列问题的是( )①一列车途经12个车站，应准备多少张车票；②在假期间，某班同学互通一次电话；③高三·2班有50名同学，选出2名同学去校长办公室开座谈会；④从1,2,3,4这四个数字中，任取3个数字组成三位数．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 D7．若A 2n －2＋n >2，则n 的取值范围是________________________________________________________________________．解析 根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ n －2≥2，(n －2)(n －3)＋n >2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≥4，n ∈N *. 答案 {n |n ≥4，n ∈N *}8．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋A 44＋…＋A 100100，则S 的个位数是________． 解析 ∵A 11＝1，A 22＝2，A 33＝6，A 44＝24，A 55＝120，…，∴S 的个位数字是3.答案 39．求证：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 证明 ∵A m n ＋1－A m n ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1 ＝n ！(n －m )！·m n ＋1－m＝m ·n ！(n －m ＋1)！＝m A m －1n . ∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 10．解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .解 由3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 得，3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)，∵x ≥3，∴两边同除以x 得，3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5，或x ＝23(舍去)，∴x ＝5.11．(1)求证：n (n ＋1)！＝1n ！－1(n ＋1)！； (2)求和：12！＋23！＋34！＋…＋n (n ＋1)！. 解 (1)证明：∵1n ！－1(n ＋1)！＝(n ＋1)！－n ！n ！·(n ＋1)！＝n ·n ！n ！(n ＋1)！＝n (n ＋1)！∴n (n ＋1)！＝1n ！－1(n ＋1)！. (2)由(1)知，12！＋23！＋34！＋…＋n (n ＋1)！＝(1－12！)＋(12！－13！)＋(13！－14！)＋…＋[1n ！－1(n ＋1)！] ＝1－1(n ＋1)！. 12．对于任意正整数n ，定义“n 的双阶乘n ！！”如下：当n 为偶数时，n ！！＝n ·(n －2)·(n －4)…6×4×2；当n 为奇数时，n ！！＝n (n －2)(n －4)…5×3×1.证明：(1)(2010！！)·(2009！！)＝2010！；(2)2010！！＝21005·1005！.证明 (1)由定义，得(2010！！)·(2009！！)＝(2010×2008×2006×…×6×4×2)×(2009×2007×2005×…×5×3×1)＝2010！.(2)2010！！＝2010×2008×…×6×4×2＝21005(1005×1004×…×3×2×1) ＝21005·1005！.。
高中数学人教A版选修2-1双基限时练3.docx
双基限时练(三)1．使x (y －2)＝0成立的一个充分条件是( )A ．x 2＋(y －2)2＝0B ．(x －2)2＋y 2＝0C ．x 2＋y 2＝1D ．x ＋y －2＝0解析 因x 2＋(y －2)2＝0⇔x ＝0，且y ＝2⇒x (y －2)＝0，故选A.答案 A2．a <b ，b <0的一个必要条件是( )A ．a ＋b <0B ．a －b >0 C.a b >1 D.a b <－1解析 a <b ，b <0⇒a <0，b <0⇒a ＋b <0，故选A.答案 A3．设x ∈R ，则x >2的一个必要不充分条件是( )A ．x <1B ．x >1C ．x >3D ．x <4解析 x >2⇒x >1，而x >1D ⇒/ x >2，故选B.答案 B4．已知平面α和两条不同直线m ，n ，则m ∥n 的一个必要条件是( )A ．m ∥α，n ∥αB ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ∥α，n ⊂αD ．m ，n 与α成等角答案 D5．a >b 的一个充分不必要条件是( )A ．a 2>b 2B ．|a |>|b | C.1a <1b D ．a －b >1解析 ∵a －b >1⇒a >b ＋1⇒a >b ，而a >bD ⇒/ a >b ＋1.∴a －b >1是a >b 的充分不必要条件．故选D.答案 D6．设a ，b ，c ∈R ，在下列命题中，真命题是( )A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件B ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件C ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件解析 排除选项A ，B ，D 项知，C 项正确．答案 C7．在“x 2＋(y －2)2＝0是x (y －2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是__________________，结论是________________________________．答案 x 2＋(y －2)2＝0 x (y －2)＝08．如果命题“若p ，则q ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则p 是q 的________条件．解析 根据题意知，p ⇒q 为假而綈p ⇒綈q ⇔q ⇒p 为真，故p 是q 的必要不充分条件．答案 必要不充分9．条件A ：1－x <0，条件B ：x >a ，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析 依题意知，x >1⇒x >a ，且x >aD ⇒/ x >1，因此a 的取值范围是a <1.答案 (－∞，1)10．下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些p 是q 的充分条件？(1)若x 2＋ax ＋b ＝0有解，则Δ≥0；(2)若f (x )＝2x 2＋3x ＋1，则函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞上是增函数； (3)若a 是有理数，则a 是无理数．解 ∵命题(1)与(2)为真命题，而(3)为假命题，∴命题(1)与(2)中的p 是q 的充分条件．11．指出下列条件中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：∠C ＝90°；q ：△ABC 是直角三角形；(2)p ：A ∩B ＝A ；q ：A B .解 (1)∵∠C ＝90°⇒△ABC 为直角三角形，∴p ⇒q .∵△ABC 是直角三角形，也可能∠B ＝90°，∴qD ⇒/ p .∵p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．(2)∵A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，∴pD ⇒/ q .又A B ⇒A ∩B ＝A ，∴q ⇒p .∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．12．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1.该条件是否是必要条件？证明你的结论．证明若a2－b2＝1，则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1.∴a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件，证明如下：若a4－b4－2b2＝1，则a4－b4－2b2－1＝0，即a4－(b2＋1)2＝0，∴(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0.∵a2＋b2＋1≠0，∴a2－b2＝1.∴a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件．。
北师大版高中数学必修三双基限时练3.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作双基限时练(三)一、选择题1．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．方法：Ⅰ.简单随机抽样法；Ⅱ.系统抽样法；Ⅲ.分层抽样法．其中问题与方法能配对的是()A．①Ⅰ，②ⅡB．①Ⅲ，②ⅠC．①Ⅱ，②ⅢD．①Ⅲ，②Ⅱ解析由三个抽样的知识，可知答案为B项．答案B2．总体容量为524，若采用系统抽样法抽样，当抽样间隔为多少时不需要剔除个体()A．3B．4 C．5D．6解析524能被4整除．答案B3．某校高三年级有男生500人，女生400人．为了了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是()A ．简单随机抽样法B ．抽签法C ．随机数法D ．分层抽样法解析 由题可知这种抽样方法为分层抽样，故选D 项．答案 D4．已知某班某次考试成绩优、良、可的人数之比为，为考查每类学生的学习情况，按分层抽样的方法抽取了一个容量为12的样本，已知抽取时，每个学生被抽到的可能性为0.25，则该班优等生的人数为( )A ．48B ．24C ．8D ．16解析 由题可知样本中优等生2人，由每个学生被抽到的可能性为0.25，知优等生人数为20.25＝8.答案 C5．某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工数是老年职工人数的2倍，为了了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36解析 由题可知，该单位老年职工人数为430－1603＝90，由分层抽样的知识，可知32160＝x 90，得x ＝18.答案 B6．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中有青年职工7人，则样本容量为( )A ．7B ．15C ．25D ．35解析 由7350＝x 350＋250＋150，得x ＝15. 答案 B二、填空题7．中央电视台“非常6＋1”节目为了感谢场外热心观众的支持，决定从已确定编号的10000名观众来信中抽出10名幸运观众，现采用系统抽样的方法抽取，则每组容量为________．解析 每组容量为1000010＝1000.答案 10008．某校有教师200名，男学生1800名，女学生1600名，现用分层抽样的方法从所有师生中抽出一个容量为n 的样本，已知女学生中抽出的人数为80，那么n ＝________.解析 由801600＝n 200＋1800＋1600，得n ＝180. 答案 1809．从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人．解析23500＝x15000，21500＝y15000.x－y＝(23－21)×15000500＝60.答案60三、解答题10．某文艺晚会由乐队18人，歌舞队12人，曲艺队6人组成，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样法和分层抽样法来抽取都不用剔除个体，如果样本容量增加1个，则在系统抽样时，需要剔除一个个体，求样本容量n.解总体个数为18＋12＋6＝36人，由题意，得n能整除36，且n＋1能整除35，∴n＝4，或n＝6，又抽样可采用分层抽样，三部分人数的比为18:12:6＝3:2:1，∴样本容量n的值为6.11．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，求n的值．解由分析抽样的特点可知n120＋80＋60＝3 60，得n＝13.∴n的值为13.12．在1000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，在公证部门监督下，按照随机抽样的方法确定后两位数为86的号码为中奖号码，这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的？依次写出这10个中奖号码．解 由题可知这是运用了系统抽样的方法来确定中奖号码，中奖号码依次为086,186,286,386,486,586,686,786,886,986.思 维 探 究13．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解他们对政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体实施抽取的步骤．解 用分层抽样方法抽取．具体实施抽取步骤如下： ①∵＝，∴105＝2(人)，705＝14(人)，205＝4(人)． ∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．②因副处级以上干部与工人的人数较少，将他们分别按1～10和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用先对其按00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．③将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．。
北师大版高中数学必修二双基限时练23.docx
双基限时练(二十三) 一、选择题1．点(1,1)到直线x－y＝2的距离为()A.22B．1C. 2 D．2解析d＝|1－1－2|12＋(－1)2＝ 2.答案 C2．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6 B. 2C．2 D．不确定解析由k AB＝b－a5－4＝1，得b－a＝1，即|AB|＝(5－4)2＋(b－a)2＝ 2.答案 B3．两条平行线4x＋3y－1＝0与8x＋6y＋3＝0之间的距离是()A ．2B ．1.5C ．1D ．0.5解析 8x ＋6y ＋3＝0，可化为4x ＋3y ＋32＝0，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－(－1)32＋42＝12.答案 D4．若两平行直线2x ＋y －4＝0与y ＝－2x －k －2的距离不大于5，则k 的取值范围是( )A ．[－11，－1]B ．[－11,0]C ．[－11，－6)∪(－6，－1]D ．[－1，＋∞)解析 y ＝－2x －k －2可化为2x ＋y ＋k ＋2＝0，由题意，得|k ＋2＋4|22＋12＝|k ＋6|5≤5，且k ＋2≠－4即k ≠－6 得－5≤k ＋6≤5，即－11≤k ≤－1，且k ≠－6.答案 C5．过点A (1,1)的直线l 与点B (2,4)的距离为5，则此直线l 的方程为( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0或x －2y ＋1＝0D ．x －2y ＋1＝0或2x ＋y －3＝0解析 显然直线l 的斜率存在，设所求直线方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.由题意，得|2k －4＋1－k |k 2＋(－1)2＝ 5.得k ＝－2，或k ＝12.∴所求直线方程为2x ＋y －3＝0，或x －2y ＋1＝0.答案 D6．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( )A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0解析 ∵k AB ＝3－(－1)3－5＝－2，过P 与AB 平行的直线方程为y －1＝－2(x －0)，即：2x ＋y －1＝0；又AB 的中点C (4,1)，∴PC 的方程为y ＝1.答案 C二、填空题7．已知A (－1,2)，B (3，b )的距离为42，则b ＝________.解析 |AB |＝[3－(－1)]2＋(b －2)2＝16＋(b －2)2＝42，得b ＝－2，或b ＝6.答案 －2或68．已知点P 在直线5x ＋12y ＋6＝0上，A 点坐标为(－3，2)，则|P A |的最小值为________．解析 |P A |min 等于A 到直线5x ＋12y ＋6＝0的距离，则点(－3,2)到直线的距离d ＝1513.答案 15139．已知点A (3,4)，B (6，m )到直线3x ＋4y －7＝0的距离相等，则实数m ＝________.解析 由题意，得|9＋16－7|5＝|18＋4m －7|5， 得m ＝74，或m ＝－294.答案 74或－294三、解答题10．若两条平行直线3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，求c ＋2a 的值．解 由两条直线平行得a ＝－4，应用距离公式得|c ＋2|62＋42＝21313.解得|c ＋2|＝4，所以c ＋2a ＝±4－4＝±1. 11．已知正方形的边长为25，中心(－3，－4)，一边与直线2x＋y ＋3＝0平行，求正方形的各边所在的直线方程．解 设所求的直线方程为2x ＋y ＋b ＝0与x －2y ＋a ＝0， 由题意，可得|(－3)×2＋(－4)＋b |22＋12＝5，得b ＝15，或b ＝5， 由|－3－2×(－4)＋a |12＋(－2)2＝5，得a ＝0，或a ＝－10. ∴所求的这四条直线方程为2x ＋y ＋15＝0；2x ＋y ＋5＝0；x －2y＝0；x －2y －10＝0.12．△ABC 的三个顶点A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2,3)．(1)求BC 边的高所在的直线方程；(2)求△ABC 的面积S .解 (1)设BC 边的高所在的直线为l .又k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，∴k l ＝－1k BC＝－1. 又A (－1,4)在直线l 上，∴l 的方程为y －4＝－(x ＋1)，即x ＋y －3＝0.(2)BC 所在直线为y ＋1＝x ＋2，即x －y ＋1＝0.点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝2 2. 又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12|BC |d ＝12×42×22＝8.思 维 探 究13．直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2之间的距离为5，求l 1，l 2的方程．解 若直线l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1，l 2的斜率为k . 由斜截式得l 1的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0. 由点斜式得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.在直线l 1上取点A (0,1)，点A 到直线l 2的距离d ＝|1＋5k |1＋k2＝5， 即25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，解得k ＝125. 所以l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0. 若l 1，l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．故满足条件的直线方程为l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.。
北师大版高中数学必修3双基限时练：第一章++统计(9套,含解析)双基限时练6
双基限时练(六)一、选择题1．已知样本：11,12,11,10,9,12,9,11,9,10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8.那么频率为0.4的范围是( )A ．5.5～7.5B ．7.5～9.5C ．9.5～11.5D ．11.5～13.5解析 逐个检验． 答案 C2．从容量为100的样本数据中，按从小到大的顺序分成8个小组，如下表A ．0.14和0.37B .114和137C ．0.03和0.06D .314和637解析 第三小组的频率为14100＝0.14， 累积频率为14100＋13100＋10100＝0.37. 答案 A3．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：则样本落在10～40上的频率为( )A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.64 解析 P ＝13＋24＋15100＝0.52. 答案 C4．如图所示的是对某种电子元件使用寿命跟踪调查得到的样本频率分布直方图，由图可知该批电子元件寿命在100～300小时的电子元件的数量与寿命在300～600小时的电子元件的数量比是( )A .12B .13C .14D .16 解析 (12000＋320001400＋1250＋32000)＝＝答案 C5．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图．若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为( )A ．760B ．790C ．810D ．900 解析 由900.005×10＝n0.045×10，得n ＝810.答案 C6．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是( )A ．20%B ．25%C ．6%D ．80%解析 根据频率分布直方图，可知及格的频率为(0.025＋0.035＋0.010×2)×10＝0.8.答案 D 二、填空题7．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按照5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，已知从左到右各长方形的高的比为，第三组的频数为12，则本次活动共有________件作品参加评比．解析 由题可知第三组的频率为： 42＋3＋4＋6＋4＋1＝15＝12n ，得n ＝60.答案 608．如图是样本容量为200的频率分布直方图，根据样本的频率分布直方图估计，样本落在6～10内的频数为________，数据落在2～10内的频率为________．解析 样本落在6～10上的频率为0.08×4＝0.32＝n200，得n ＝64. 数据落在2～10内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4. 答案 64 0.4 9.某中学举行的电脑知识竞赛，满分100分，80分以上(含80分)为优秀．现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05.第二小组的频数为40，则第二小组的频率为________，参赛人数为________，参赛的人成绩优秀的频率为________．解析第二小组的频率为1－0.3－0.15－0.10－0.05＝0.4，参赛人数为40＝100，优秀的频率为0.10＋0.05＝0.15.0.4答案0.41000.15三、解答题10.为了了解中学生的身高情况，对某校中学生同年龄的若干名学生的身高进行了测量，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右五个小组的频率分别是0.017,0.050,0.100,0.133,0.300，第三小组的频数为6.(1)参加这次测试的学生人数是多少？(2)身高在哪个范围内的学生人数最多？这一范围内的人数是多少？解(1)∵第三小组的频数为6，频率为0.100，∴参加这次测试的学生人数为60.100＝60.(2)从图中可看出身高在157.5 cm～160.5 cm之间的人数最多，共有60×0.300＝18(人)．11.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．解(1)由(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.12．某市2010年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86, 85,75,71,49,45.(1)完成频率分布表；(2)作出频率分布直方图．解(1)频率分布表(以10为组距)(2)思维探究13．有同一型号的汽车100辆．为了解这种汽车每耗油1 L所行路程的情况，现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油1 L所行路程的试验，得到如下样本数据(单位：km)：13．7,12.7,14.4,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4.(1)完成频率分布表；(2)12.95～13.95中的频率．解(1)频率分布表：(2)估计总体数据落在12.95～13.95的频率为(0.6＋0.8)×0.5＝0.7.。
人教B版高中数学必修二双基限时练23.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(二十三)基础强化1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．答案 D2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1 B．1C．3 D．－3解析圆x2＋y2＋2x－4y＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，可得圆心(－1,2)．∵直线过圆心，∴将(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，可得a＝1.答案 B3．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是()A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 解析 方程可化为(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．答案 A4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 圆心(a ，－32b )，∵圆心位于第三象限，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a >0，－b a >0.∴直线不经过第四象限．答案 D5．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22解析 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322. ∴C 到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC 的最小值为12×|AB |×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝3－2.答案 A6．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0解析当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0，故选A.答案 A7．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB 的方程是________．解析直线AB与点P和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得．答案x＋y－4＝08．如果直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．解析直线l经过圆心(1,2)，由于直线l不经过第四象限，故直线绕点(1,2)在直线l1与l2之间转动，如图所示，∵l1的斜率为2，l2的斜率为0，故直线l的斜率的取值范围为[0,2]．答案[0,2]能力提升9．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.解析该圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，∴F＝4.答案 410．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2,3)．(1)若点P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若点P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值．解(1)∵点P在圆C上，∴m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，整理得(m－4)2＝0，∴m＝4，∴点P(4,5)，∴|PQ|＝(－2－4)2＋(3－5)2＝210.k PQ＝5－34＋2＝26＝13.(2)圆C 的圆心C 为(2,7)，|CQ |＝(－2－2)2＋(3－7)2＝4 2.∵圆C 的半径为22，∴|PQ |的最大值为62，最小值为2 2.11．已知x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)若圆的直径为6，求t 的值．解 (1)∵方程表示一个圆，则有D 2＋E 2－4F ＞0，∴(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)＞0，∴23t ＞－9，即t ＞－332.(2)由条件知，圆的半径是3，∴3＝12(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2).∴23t ＋9＝36.∴t ＝932＞－332.即t ＝932.12．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝9，求过点A (1,2)的圆的弦的中点P 的轨迹．解 设动点P 的坐标为(x ，y )，根据题意可知AP ⊥OP .当AP 垂直于x 轴时，P 的坐标为(1,0)．当x ＝0时，y ＝0.当x ≠1且x ≠0时，k AP ·k OP ＝－1.∵k AP ＝y －2x －1，k OP ＝y x ，∴y －2x －1×y x＝－1， 即x 2＋y 2－x －2y ＝0(x ≠0，且x ≠1)．点(1,0)，(0,0)适合上式．综上所述，P 点的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1为圆心，以52为半径的圆． 品 味 高 考13．若点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为________．答案 (x －2)2＋(y －2)2＝10。
人教版高中数学全套试题双基限时练2(2)
双基限时练(二)1．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，则这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析 由a 2＋b 2<c 2，知cos C ＝a 2＋b 2－c22ab <0，又0<C <π，∴C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． 答案 B2．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C ＝( ) A ．60° B ．120° C ．30°D ．45°或135°解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， 又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 A3．在△ABC 中，a ：b ：c ＝3：5：7，则△ABC 的最大角是( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析 由a ：b ：c ＝3：5：7，知最大边为c ，∴最大角为C ，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°.答案 D4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．直角三角形解析 由b 2＝ac 及余弦定理，得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos60°， 即ac ＝a 2＋c 2－ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 答案 B5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19解析 由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－CA 22·AB ·BC ＝72＋52－622·7·5＝1935.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝7×5×⎝⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.答案 D6．在△ABC 中，已知a ，b 是方程x 2－5x ＋2＝0的两根，C ＝120°，则边c ＝____________.解析 由韦达定理，得a ＋b ＝5，ab ＝2. 由(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ， 得a 2＋b 2＝52－2×2＝21. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝23. ∴c ＝23. 答案237．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为____________．解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3，因此最大角为B ，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－17. 答案 －178．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝__________.解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，∴B ＝5π6.答案 5π69．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，则角C ＝________.解析 由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ， 得(a ＋b )2－c 2＝ab ，即 a 2＋b 2－c 2＝－ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴c ＝2π3. 答案 2π310．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断△ABC 的形状．解 由余弦定理，知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6＝－528.在△ABC 中，0°<B <180°，∴90°<B <180°. ∴△ABC 为钝角三角形．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．解 (1)根据正弦定理及2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ， 得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)根据余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ， ∵b ＋c ＝4，∴bc ＝3.12．在△ABC 中，m ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3.(1)求C ；(2)已知c ＝72，三角形面积S ＝332，求a ＋b . 解 (1)∵m ＝(cos C 2，sin C2)， n ＝(cos C 2，－sin C2)，∴m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C2＝cos C . 又m ·n ＝|m |·|n |cos π3＝12， ∴cos C ＝12.又0<C <π， ∴C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72， ∴494＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab . ∵S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ， 而S ＝332，∴ab ＝6.∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214.∴a ＋b ＝112.。
人教B版高中数学必修二双基限时练22.docx
双基限时练(二十二)基础强化1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是()A．以(a，b)为圆心的圆B．点(a，b)C．以(－a，－b)为圆心的圆D．点(－a，－b)解析∵(x－a)2＋(y－b)2＝0，∴x－a＝y－b＝0，∴该方程表示的是一个点(a，b)．答案 B2．已知一圆的圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y轴上，则此圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52解析由题意可知，圆的这条直径的两个端点为(4,0)和(0，－6)，故圆的直径＝42＋(－6)2＝52，半径r＝522，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.答案 A3．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1解析已知圆的圆心是(－2,1)，半径是1，所以圆C的圆心是(2，－1)，半径是1.所以圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A.答案 A4．三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球，若设赤道大圆的方程为x2＋y2＝R2(R为地球半径)，三颗卫星均可分布于赤道上空，则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为()A．x2＋y2＝2R2B．x2＋y2＝4R2C．x2＋y2＝8R2D．x2＋y2＝9R2解析由题意知卫星距地面高度为R，所以方程为x2＋y2＝4R2.故选B.答案 B5．方程y＝－16－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆解析该方程可变形为x2＋y2＝16(y≤0)，它表示圆心在原点，半径为4的圆的下半个圆．答案 D6．若圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程为()A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5解析 设圆心为(a,0)，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝5，∵圆与直线x ＋2y ＝0相切，∴|a |5＝5，∴a ＝±5. ∵圆O 位于y 轴左侧，∴a ＝－5，∴圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.答案 D7．已知圆O 的一条弦长为2，且此弦所对圆周角为60°，则该圆的半径为________．答案 23 38．在x 轴下方，与x 轴相切于(8,0)，半径为32的圆的方程为________．解析 由题意可知，圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，－32， ∴圆的方程为(x －8)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝94. 答案 (x －8)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝94 能 力 提 升9．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________． 解析 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案 x 2＋(y －2)2＝110．直线l ：(m ＋1)x ＋2y －4m －4＝0(m ∈R )恒过定点C ，圆C是以点C 为圆心，以4为半径的圆，求圆C 的方程．解 直线l 的方程可以化为(x －4)m ＋x ＋2y －4＝0，当x＝4时，y＝0对任意m∈R恒成立．∴直线l恒过(4,0)，即点C(4,0)．∵圆C是以C为圆心，4为半径的圆，∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.11．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的范围．解(1)∵点M(6,9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.又a>0，∴a＝10.(2)∵|PN|＝(3－5)2＋(3－6)2＝13，|QN|＝(5－5)2＋(3－6)2＝3，|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，∴a的取值范围为(3，13)．12．如图所示，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C在x轴上．(1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程．解 (1)k AB ＝22－2＝－2， ∴k BC ＝22.依点斜式得，BC 所在直线的方程为：y ＝22x －2 2.(2)在上式中，令y ＝0，得x ＝4，∴C (4,0)．∵M 为Rt △ABC 的外接圆的圆心，∴M 为AC 的中点，即M (1,0)．此时2r ＝|AC |＝6，∴r ＝3.∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝9.品 味 高 考13．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C与直线x ＋y ＋3＝0相切．则圆C 的方程为________________________．解析 圆心为(－1,0)，半径为|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案 (x ＋1)2＋y 2＝2。
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双基限时练(三)
1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )
A ．不存在
B ．与x 轴垂直
C ．与x 轴平行
D ．与x 轴平行或重合
答案 D
2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t
之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速
度为( )
A. 2
B. 1
C.12 D .14
解析 s ′＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0
18(t ＋Δt )2－18t 2Δt ＝lim Δt →0 14tΔt ＋18(Δt )2Δt ＝lim Δt →0
(14t ＋18Δt )＝14t . ∴当t ＝2时，s ′＝12.
答案 C
3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则
( )
A ．h ′(a )<0
B ．h ′(a )>0
C ．h ′(a )＝0
D ．h ′(a )的符号不定
解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0.
∴h ′(a )<0.
答案 A
4．曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( )
A ．45°
B ．60°
C ．135°
D ．120°
解析 k ＝y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0
9x ＋Δx －9x Δx
＝lim Δx →0
－9x (x ＋Δx )＝－9x 2. ∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°.
答案 C
5．在曲线y ＝x 2
上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)
C ．(14，116)
D ．(12，14)
解析 y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0
(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0 2xΔx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0
(2x ＋Δx )＝2x . 令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14.
故所求的点是(12，14)．
答案 D
6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________．
解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →0
2(2＋Δx )2－2×22Δx
＝lim
Δx→0
8Δx
＋2(Δx)2
Δx＝lim
Δx→0
(8＋2Δx)＝8.
答案8
7．若函数f(x)在x0处的切线的斜率为k，则极限lim
Δx→0 f(x0－Δx)－f(x0)
Δx＝________.
解析lim
Δx→0f(x0－Δx)－f(x0)
Δx
＝－lim
Δx→0f(x0－Δx)－f(x0)
－Δx
＝－k.
答案－k
8．已知函数f(x)在区间[0,3]上图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f′(3)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)
解析由f(x)的图象及导数的几何意义知，k1>k2>k3.
答案k1>k2>k3
9．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－
1，k ＝－14.
∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，
即x ＋4y －9＝0.
10．已知曲线y ＝1t －x
上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求： (1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率；
(2)曲线在点P ，Q 处的切线方程．
解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x
. ∴y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝lim Δx →0
1[1－(x ＋Δx )](1－x )＝1(1－x )2
. (1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝1(1－2)2
＝1； 曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝
1[1－(－1)]2＝14
. (2)曲线在点P 处的切线方程为
y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.
曲线在点Q 处的切线方程为
y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.
11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3
－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．
(1)求直线l 的方程；
(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程．
解 (1)∵f ′(2)＝
lim Δx →0
13(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx ＝0， ∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.
(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方
程为x 2＝2py ，则－p 2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .
12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 存在．
理由如下：
∵y ＝x 2＋1，
∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0
(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx ＝ lim Δx →0 2xΔx ＋(Δx )2Δx
＝2x . 设切点坐标为(t ，t 2＋1)，
∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t .
于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )．
将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )，
即t 2－2t ＋a －1＝0.
∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．
故Δ＝4－4(a－1)>0.∴a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．
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