2020版导与练一轮复习理科数学习题：第五篇数列(必修5)第4节数列求和Word版含解析

第4节数列求和
应用能力提升庄实瓯申齐华思维
【选题明细表】
基础巩固（时间:30分钟）
I I 3 n
1.S n= + + + …+ 等于(B )
2n-n 2H + 1-n-2
T TI “
(A) (B)
2n-n+ 1 2I] + 1 - n + 2
(C) ' (D)
! 2 3 n
解析：由S n= + + +…+ ,①
1 1
2 n-1 n
得s= + +•••+■ + ,②
1 1 “
尹计
1111 1 n 1 —n + 1 -n-2①-②得，S= + + + …+ - ' = I"-',所以Sn=
2. 数列｛(-1) n(2n-1)｝的前2 018 项和S2 cis 等于(B )
(A)-2 016 (B)2 018 (C)-2 015 (D)2 015
解析：S2 。

18=-1+3-5+7- …-(2 X 2 017-1)+(2 X 2 018-1)=(-1+3)+(-5+7)+ …+[-(2 X 2 017-1)+(2 X 2 018-1)]=2 X 1
009=2 018.故选B.
3. 等差数列｛a n｝的通项公式为a n=2n+1,其前n项和为S,则数列｛｝的前10项的和为(C )
(A)120 (B)70 (C)75 (D)100
解析:由a n=2n+1,得a1=3,d=2.
n(n- 1)
所以S n=3n+ ' X 2=n2+2n.
因为，n+2,
所以数列r｝是以3为首项,1为公差的等差数列.
呂10 X 9
所以()的前10项和为10X 3+ X仁75.
4. 已知函数y=log a(x-1)+3(a>0,a工1)的图象所过定点的横、纵坐标分
1
别是等差数列｛a n｝的第二项与第三项，若b n='',数列｛b n｝的前n项和为T n,则T10等于(B )
9 10 12
(A) (B) (C)1 (D)
解析:对数函数y=log a x的图象过定点(1,0),所以函数y=log a(x-1)+3
11 1
的图象过定点（2,3）,则a 2=2,a 3=3,故a n =n,所以b n 二
；=「 ,所以
1 1 1 I I I to
T io =1- ' + '- •：+…+• -「=1-「=「，故选 B.
1 1 1 1
5.
， + 1+ i+…1 的值为（C ）
（A ） ' '■
3 1
1
1
3
1
1
（C ） I-'（化 」+ ） （D ） 化｝ 〕一 +
] 1 1 111
解析：因为⑴+ 1尸一 1虫'十加=1® + 2)=7(^-兀+ 2),
1 1
+ 丨 I +…+' ■' -：■ - 1
iiiii 1
1
丨 +「+... + _ ）
1 3
1
1
3 I 1
1
/（X 齐 1_相 + 2）=疋，（齐 1+斤 + 2）.
6. 在2016年至2019年期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年 定期储蓄,若年利率为q 保持不变,且每年到期的存款本息自动转为新 的一年定期，到2020年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的 本息全部取出，则取回的金额是(D ) 4 _ 5 ____________________________
(A)m(1+q)元(B)m(1+q) 元
皿[(1十°4一(1 +妙
叫(1十町「(1 +妙
(C)
"
元(D)
解析:2019年存款的本息和为m(1+q),2018年存款的本息和为
m(1+q)2,2017年存款的本息和为
m(1+q)3,2016年存款的本息和为
m(1+q)4,四年存款的本息和为m(1+q)+m(1+q)2+m(1+q)3+m(1+q)4二
771(1 +^)((1+g)^i| 叫(1 十町5 —(i +妙
；_ } <■-- 二昇.故选 D.
1
7. 已知函数
f(x)=x a的图象过点(4,2),令a n二•「,n € N〔记数列｛a n｝的前n项和为S n,则S2 018= ______
解析：由f(4)=2可得4a=2,
| 1
解得a=.则f(x)=-.
1 1
所以an=；! 1 ：! !■' ： ' ：l=+ ] + *'冗=\% + 1 _ 兀厉
S2 018=a1+a2+a3+ •…+a2 018=( 辭-\】)+(⑺-碇)+( %* -2)+ …
(农01 孔J2 01 了) + ( 019 _ J2 01H)= J2 019 _1.
+
答案-1
8. _____________________________________________________ 有穷数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n-1所有项的和为 ______________ .
l-2n 解析：由题意知所求数列的通项为：=2n-1,故由分组求和法及等比数
2(1 -2n)
列的求和公式可得和为'-n=2 n+1-2-n.
答案:2 n+1-2-n
能力提升(时间:15分钟)
9. 已知数列｛a n｝的前n项和为S n,a1=1,当n》2时,a n+2S-1二n,则S2⑷的值为(D ) (A)2 015 (B)2 013 (C)1 008 (D)1 009
解析:因为a n+2S-1二n(n > 2),所以a n+1+2S=n+1(n > 1),两式相减得
a n+i +a n =1(n 》2). ^又 a i =1, ^所
以
S 2
oi7
=a i +(a
2+a 3)+
….+(a 2 oi6+a 2。

仃)=1+1
008x 1=1 009,故选 D.
25
22
10. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S=6,S 5二,则数列｛ ｝的前n 项和为(B )
n + 2
n + 4
(A)1・'(B)2-'
n + 4
n + 2
(C)2- (D)2-'
解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d,
n(n - 1)
则 S=na+ ' d,
25
因为 S=6,S 5=,
1 a n n +
2 所以 a n = n+1,'-, 设数列｛
｝的前n 项和为T n , 3
4 5 n+ln+2
则T n =2'+，+斗+…+莎存"，
1
3 4 5 n + 1 n + 2
2T n
=3+4+5+_ +严1+严：
^311
1
斤+??丄
1
«+2
….t t
八 i n
J
-Ti 3 T i
ni n + 1 ni-n + 2 J J TI H
— 1 ni-n + 2
—— »、
所以 10* =——』
2解得 十
25
►
两式相减得T n= ：+( + +…+ )- = ：+ ：(1- )- ,所以n + 4
JI + 1 r F t
T n=2- .故选B.
11. (2018 •江西赣南联考)在数列｛a n｝中,已知a i=1,a n+i+(-1) b二
cos(n+1) n ,记S n为数列｛a n｝的前n项和，则S2。

仃二___ .
解析：由a i=1 ,a n+1 +(-1) n a n=cos(n+1) n ,得
a?二a+cos 2 n =1+1=2,
a3=-a2+cos 3 n =-2-1=-3,
a4=a s+cos 4 n =-3+1=-2,
a5=-a 4+cos 5 n =2-1=1,
由上可知，数列｛a n｝是以4为周期的周期数列，且a1+a2+a3+a4=-2,
所以S017 =504(a1+a2+a3+a0+a 1=504x (-2)+仁-1 007.
答案:-1 007
12.设函数f(x)= +Iog2 ,定义S n=f( )+f( )+ …+f( ),其中n€ N；且n>2,贝H S n= ______ .
解析：因为f(x)+f(1-x)
1 x 1 1-x
=+Iog2 + +log 2 =1+log21=1,
所以2S n=[f( )+f( 门+[f( )+f( 门+ …+[f( ' )+f( ) ] =n-1.
n - l
所以S n二-.
n- 1
答案：
I
13.已知数列｛a n｝的前n项和是S,且S n+ a n=1(n € N).
(1)求数列｛a n｝的通项公式;
⑵设b n=lo (1-S n+1)(n € N),令T n二+ + …+ ,求T n.解:(1)当n=1 时,a i二S,
1 2
由Si+ a i=1,得,
I I
当n》2 时,S n=1- a n,S n-1 =1- a n-1 ,
I 1
贝y S-S n-1 = (a n-1 -a n),即a n= (a n-1 -a n),
1
所以a n=: a n-1 (n》2).
2 1
故数列｛a n｝是以为首项J为公比的等比数列
2 1 1
故a n八(：)n-1=2・(：)n(n € N).
I i
⑵因为1-S n= a n=( )n.
9】屯1
所以b n=lo (1-S n+1)=lo ( )n+1=n+1,
] 1 1 1
因为虬虬+ i =(川十+ 2)』+1_胞+2,
1 1 1
所以T n= • ' +「’ + …+ '
I I I I 1 111 n
=(二女)
+(殳旳
+
…
+
(匸门・齐2)=二匸巨二莎
14.(2018 •广西玉林一模)已知数列｛a n｝中,a1=1,a n+1二(n € N).
1 1
(1)求证:(+ )为等比数列，并求｛a n｝的通项公式a n；
n
⑵数列｛b n｝满足b n = (3n-1) •• a n,求数列｛b n｝的前n项和T n.
解:(1)因为a i=1,a n+i= ' \
1 + 3 3
所以.='=1+ ,
1丄色？I1
即叫斗14^4=3^^4),
X 1
则(+ )为等比数列,公比q=3,
1I I 3 1I 3
首项为：+ =1+ =,贝『+ = • 3n-1,
1I 3 1
即：=-+ • 3n-1= (3n-1),
2
即a n=.
n n
(2)b n=(3n-1) •• a n=,
1 2 2_ n
I 1 1 1 n 1 n 1 n n + 2
两式相减得T n=1 + =+…+ - = ' - =2-' - =2- Ft + 2
则T n=4- .
则数列｛b n｝的前n项和T n= + + +…+ , 1 ] 2 2 n
亍£ = + ' + ' + +2：。