2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修2-1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“大于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，若|MF 1|－|MF 2|＝2a (常数)， 且2a <|F 1F 2|，则点M 的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是
F 1，F 2，当距离之差的绝对值大于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M 在双曲线的右支上．
) [答案] (1)× (2)× (3)× 2．双曲线x 210－y 2
2＝1的焦距为( )
A ．3 2
B ．4 2
C ．3 3
D ．4 3
D [c 2
＝10＋2＝12，所以c ＝23，从而焦距为4 3.]
3．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( )
【导学号：46342088】
A.
x 225－y 2
24
＝1 B.
y 225－x 224
＝1 C ．x 225－y 224＝1或y 225－x 2
24
＝1
D.
x 2
25－y 2
24＝0或y 225－x 2
24
＝0 C [b 2
＝c 2
－a 2
＝72
－52
＝24，故选C ．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
(1) (2)若点P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积． [思路探究] (1)直接利用定义求解． (2)在△F 1PF 2中利用余弦定理求|PF 1|·|PF 2|.
[解] (1)设|MF 1|＝16，根据双曲线的定义知||MF 2|－16|＝6，即|MF 2|－16＝±6. 解得|MF 2|＝10或|MF 2|＝22. (2)由x 29－y 2
16＝1，
1．(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )
A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3
B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4
C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5
D ．|PF 1|2
－|PF 2|2
＝±4
A [|F 1F 2|＝4，根据双曲线的定义知选A.]
(2)已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，点P 是双曲线右支
上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________.
【导学号：46342089】
9 [由双曲线的方程可知a ＝2，设右焦点为F 1，则F 1(4,0)．|PF |－|PF 1|＝2a ＝4，即|PF |＝|PF 1|＋4，所以|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时取等号，此时|AF 1|＝(4－1)2
＋42
＝25＝5，所以|PF |＋|PA |≥|AF 1|＋4＝9，即|PF |＋|PA |的最小值为9.]
(1)a ＝4，经过点A ⎝
⎛
⎭⎪⎫1，－4103；
(2)与双曲线x 216－y 2
4
＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；
(3)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上．
[思路探究] (1)结合a 的值设出标准方程的两种形式，将点A 的坐标代入求解． (2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2
＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．
(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．
[解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 2
16－y 2
b
2＝1(b >0)，把点A 的坐标代入，
得b 2
＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 2
16－x
2
b
2＝1(b >0)，
把A 点的坐标代入，得b 2
＝9.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 2
9
＝1.
(2)法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
∴c 2
＝16＋4＝20，即a 2
＋b 2
＝20 ①. ∵双曲线经过点(32，2)，∴
18a 2－4
b
2＝1 ②.
由①②得a 2
＝12，b 2
＝8，∴双曲线的标准方程为x 212－y 2
8＝1.
法二：设所求双曲线的方程为
x 2
16－λ
－
y 2
4＋λ
＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－4
4＋λ＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 2
8＝1. (3)设双曲线的方程为Ax 2
＋By 2
＝1，AB <0. ∵点P ，Q 在双曲线上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
9A ＋225
16B ＝1，2569A ＋25B ＝1，
解得
A ．x 24－y 2
＝1
B ．x 2
3－y 2
＝1
C ．x 2
2
－y 2
＝1
D ．x 2
－y 2
2
＝1
C [设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，