含低速层层状介质中Rayleigh波频散曲线“交叉”点频率的计算

含低速层层状介质中Rayleigh波频散曲线“交叉”点频率的
计算
刘雪峰;凡友华;常冬梅
【摘要】对于存在低速层的层状介质,其对应的Rayleigh波频散曲线形状会比较特殊,频散曲线会发生“交叉”现象.很多人在研究中发现此现象,并且对“交叉”点附近的一些性质进行了研究,但是对这一现象的认识仍然不充分.例如,还没有人研究对于频散曲线“交叉”点位置与层状介质参数有着怎样的关系.针对此问题,主要以含低速层的三层介质为基础,推导了Rayleigh波频散曲线“交叉”点频率的近似计算公式,并由此分析了“交叉”点频率与介质参数之间的关系,该公式也适用于部分更多层的模型.
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2016(016)012
【总页数】6页(P7-11,19)
【关键词】Rayleigh波;频散;层状介质;低速层
【作者】刘雪峰;凡友华;常冬梅
【作者单位】中国民航大学航空工程学院,天津300300;哈尔滨工业大学深圳研究生院,深圳518055;天津职业技术师范大学天津市高速切削与精密加工重点实验室,天津300222
【正文语种】中文
【中图分类】P315.9
在层状介质中，Rayleigh波会发生频散现象。

从1953年Haskell最初提出传播
矩阵方法[1]到现在，计算层状介质中Rayleigh波频散曲线的算法研究已日趋完善，出现许多改进的计算方法如Schwab-Knopoff方法[2，3]、δ矩阵法[4，5]、
Abo-Zena方法及其改进方法[6，7]、RT矩阵法[8，9]等。

随着对Rayleigh波研究的深入，近些年Rayleigh波在反演当中的应用研究也逐渐增多，既有理论上的反演模拟[10，11]，也有对实际地形的反演应用[12—14]。

层状介质中Rayleigh波频散曲线的形状等特点与介质参数的联系对于Rayleigh
波反演中的频散曲线的分析有着重要的指导作用，目前尽管有人进行了一些研究[15]，但还有很多问题没有解决。

尤其是，存在低速层(某一层横波速度大于其上
面某层)的层状介质对应的频散曲线形状会比较特殊，如频散曲线提取中发生的“之”字型现象和频散方程计算出的频散曲线的“交叉”现象。

对于“之”字型现象，已经有了很多相关的研究[16，17]，而对于含低速层模型对应频散曲线的
“交叉”现象，尽管在很多研究中发现此现象[10，18，19]，文献[20]对频散曲
线“交叉”点附近的一些性质进行了研究，但是对频散曲线“交叉”点问题的认识仍然不充分。

例如，对于频散曲线“交叉”点位置与层状介质参数有着怎样的关系还没有相应的研究。

而且，在频散方程搜根时，由于“交叉”现象的存在，容易发生漏根现象，而若为防止漏根而大面积加密搜根，则会导致搜根耗时大幅度增加。

因此推导了频散曲线“交叉”点频率的近似公式，并分析“交叉”点频率与介质参数之间的关系。

研究内容有助于更深入地研究Rayleigh波频散曲线交叉现象与低速层之间的关系，而且基于本文的公式在搜根前预估交叉点频率，在该区域附近加密搜根，有利于提高搜根效率。

当层状介质含有低速层时，频散曲线会发生“交叉”现象。

表1所示为一个典型
的三层含低速层介质模型，如图1所示为其对应的频散曲线。

图1中
a， b， c， d， e是频散曲线的前5个“交叉”点。

尽管这里说“交叉”，但是
实际上有些点在将附近放大后会发现实际上并未发生交叉，而且频散曲线是否真的会交叉仍然没有定论。

但是无论如何，对这一现象的研究在理论和实际上都有一定的意义。

由于“交叉”点是由于低速层的存在而产生的，显然“交叉”点的频率与介质参数，尤其是低速层的参数有密切联系。

为了便于研究低速层对Rayleigh波频散曲线影响的机理，现将推导“交叉”点频率的计算公式。

由图1可以发现，“交叉”点均为趋于直线的频散曲线与近似于双曲形的频散曲线[在交点附近区域其方程可表示成式(8)的形式]相交产生的。

由文献[21]中的高频近似分解可以知道，在波速c满足Vs2<c<Vs1的这一区域中，这两组频散曲线分别对应着R模和S2模Rayleigh波。

由于在这种情况下，“交叉”点都位于趋于直线的R模频散曲线上，因此图中“交叉”点对应相速度近似等于第一层的Rayleigh波速度VR1(为第一层横波速度Vs1的0.87～0.96倍)。

由高频近似分解[21]，与R模频散曲线相交的S2模频散曲线曲线对应波速c满足Vs2<c<Vs1<Vs3，这些曲线满足近似频散方程
D(c，k)=|I-1T(2，3)J3|=0
式(1)中
式中对于每一层的参数。

根据式(1)～式(4)的形式，可以将式(1)写成如下形式：
k1cospcosq+k2cospsinq+k3sinpcosq+
k4sinpsinq+k5=0
式(5)中只有p和q(这里的p， q中包含的介质参数对应于第二层)与频率有关，而系数k1，k2，k3，k4，k5与频率无关，只与第1，2，3层的介质参数以及波速c有关。

在本例中有Vs2<Vs1<Vs3，在这里假设Vs1和Vs2差别比较大，即在“交叉”点处有Vs2<c=VR1<Vs1<Vs3，因此对应于第二层的q为实数。

对于第一层和第
二层的纵波速度，其与VR1的关系需要分两种情况讨论
较常见的情况下，c=VR1<Vp2<Vp1，由于γp2为虚数，此时p为虚数，令为正实数。

于是有
由于pkh较大，故有，且cosp的值较大。

于是sinp≈icosp，将(5)式两边同时除以cosp，由于cosp较大，方程(1)可近似表示为如下形式：
tanq=H
式(7)中H为
由此得到方程(1)的解为
当c取为VR1时，上式即为所有“交叉”点频率公式的形式。

由此得到f解的“周期”为
于是，“交叉”点频率间隔的近似公式为
由式(11)可看出，当第一层参数确定时，“交叉”点的间隔只与低波速层的横波速度有关，而且与第二层的层厚成反比。

由于H的在形式上很复杂，很难直接写出一个简洁的“交叉”点对应频率公式，而引入δ矩阵的概念可以在一定程度上简化公式的形式。

可以将频散方程(1)等价地写成二阶δ矩阵形式：
这里矩阵上方加以横线表示其二阶δ矩阵。

其中
(t+γpγs)l(1+γpγs)l2]1
t-γpγs-t2-γpγs)3T
由文献[22]可知T(2，3)的二阶δ矩阵可写成：
式(15)中
，
，
令，
则
D(c,k)=V1LV2
式(17)中
，
设，
将式(16)、式(18)代入式(17)并对比式(5)得到
k1=u1v1+u3v3+u4v4+u6v6，
，
，
由式(9)，第一条与R模频散曲线相交的频散曲线对应的方程近似为
将c=VR1代入式(20)即为第一个“交叉”点的频率，而将c=VR1代入式(8)、式(9)、式(18)、式(19)即得到了所有“交叉”点的近似频率公式。

因此，各个“交叉”点所在的坐标可根据此公式直接算出。

实际上，由推导过程可以看到，公式不仅适用于存在低速层的三层介质，对第一层横波速度大于并且不接近于低速层横波速度的更多层介质同样适用，此时公式中的三层参数分别对应于低速层上一层，低速层以及低速层下一层的参数。

对于相对较少见的情况，Vp2<c=VR1<Vp1，此时γp1为虚数，γp2为实数，式(5)在形式上与文献[22]中的式(3-26)相同，因此可以利用类似方法得到“交叉”点的近似平均频率间隔为
但是此时“交叉”点之间的间隔并不稳定，而无法得出较简洁的交点位置的公式，只能利用数值方法求解频散方程(5)而得到。

与前一种情况相同，这一公式同样适
用于部分更多层的介质，但是该公式的实际意义相对较小，这里不再赘述。

应用本文中的公式，可以在不必计算整个频散曲线的情况下得到不同模型对应频散曲线的“交叉”点频率，因此在研究“交叉”点频率与介质参数的关系时更为方便。

首先从公式可以看出，影响频散曲线“交叉”点位置的主要参数为：Vs1，Vp1，ρ1，Vs2，Vp2，ρ2，h2，Vs3，Vp3，ρ3，而由文献[23]可知，对频散曲线形
状影响比较小，这里不再研究。

因此，影响“交叉”点位置的主要参数为Vs1，
Vs2，h2，Vs3。

值得注意的是，从公式可以看出，“交叉”点频率与第一层的层厚几乎无关，这与直观的想象是不同的。

分别改变表1中模型对应的这几个参数，利用本文的公式计算频散曲线“交叉”
点位置以研究不同参数对“交叉”点位置的影响情况。

分别改变表1中模型参数
Vs1，Vs2，h2，Vs3，得到的“交叉”点频率随参数的变化情况如图2～图5所示。

由图可以看到，每个“交叉”点频率随着第一层横波速度的增大而逐渐减小，随着第二层横波速度的增大而逐渐增大，随着第二层层厚的增大而逐渐减小，随着第三层横波速度的增大而逐渐增大。

以三层介质为基础推导了含低波速层介质中Rayleigh波频散曲线交叉点频率的计算公式，该公式同样适用于部分更多层介质。

利用公式分析了介质参数对交叉点频率的影响，发现“交叉”点频率与第一层的层厚几乎无关，这与直观的想象是不同的，而每个“交叉”点频率随着第一层横波速度的增大而逐渐减小，随着第二层横波速度的增大而逐渐增大，随着第二层层厚的增大而逐渐减小，随着第三层横波速度的增大而逐渐增大。

本文的研究内容有利于深入理解低速层对Rayleigh波频散曲线的影响机理，而且在频散方程搜根中可以根据本文公式先验地计算出频散曲线交叉点近似频率，在该区域附近进行加密搜根，提高搜根的效率。

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