2018年高三数学高考冲刺应用题专项训练试题含答案

2018 年高三数学高考冲刺应用题专项训练试题含答案..
1. 某种商品每件进价12 元，售价 20 元，每天可卖出48件。

若售价降低，销售量可以增加，且售价降低 x(0x8) 元时，每天多卖出的件数与x2x 成正比。

已知商品售价降低 3 元时，一天可多卖出36 件。

..
（ 1）试将该商品一天的销售利润表示成x 的函数；
（ 2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？
2. 某地区预计明年从年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量f(x) （万件）与月份 x
的近似关系为： f ( x)1x(x 1)(35 2x)( x N *, 且 x 12)
150
（1）写出明年第 x 个月的需求量 g(x) （万件）与月份 x 的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？ ..
（2）如果将该商品每月都投放市场P 万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问 P 至少为多少万件？
3. 7 月份，有一款新服装投入某市场销售，7 月 1 日该款服装仅销售出 3 件， 7 月 2 日售出6 件， 7 月 3 日售出 9 件， 7 月 4 日售出 12 件，尔后，每天售出的件数分别递增 3 件直到日销售量达到最大（只有 1 天）后，每天销售的件数开始下降，分别递减 2 件，到 7 月 31 日刚好售出 3 件。

（1）问 7 月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？
（2）按规律，当该商场销售此服装达到 200 件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于 20 件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由。

4.如图，某海滨浴场的岸边可近似的看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人求救，救生员没有直接从 A 处游向 B 处，而沿岸边自 A 跑到距离B最近的 D处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行速为 6 米 / 秒，在海中的行进速度为 2 米 / 秒，
⑴分析救生员的选择是否正确；
⑵在 AD上找一点C，是救生员从 A 到 B 的时间为最短，并求出最短时间。

B
300 米
5. 某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58 万元的
A。

已知经营优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）
该店的固定成本为 6.8 万元 / 月，该消费品的进价为与售价 p( 元 / 件 ) 的关系如图 .
(1）写出销量q 与售价 p 的函数关系式；
（ 2）当售价 p 定为多少时，月利润最多？3
（ 3）企业乙最早可望在经营该专卖店几
2个月后还清转让费？
1
16 元 / 件，月销量q（万件）q
162025p
6.某工厂去年的某产品的年产量为100 万只，每只产品的销售价为10 元，固定成本为8
元．今年，工厂第一次投入100 万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100 万
元（科技成本），预计产量年递增10 万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为
k
（ k＞0，k 为常数，n Z 且n≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后g(n)
n1
的年利润为 f (n) 万元．
（ 1）求k的值，并求出 f (n) 的表达式；
（ 2）问从今年算起第几年利润最高 ?最高利润为多少万元 ?
7.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越
大．现有以下两种设计，如图：
图①的过水断面为等腰△ABC，AB＝ BC，过水湿周l1AB BC ．图②的过水断面为等腰梯形 ABCD， AB＝ CD， AD∥ BC，∠ BAD＝60°，过水湿周l 2AB BC CD ．若△ ABC与梯形 ABCD的面积都为S，
图①图②
（ 1）分别求l1和l2的最小值；
（ 2）为使流量最大，给出最佳设计方案．
8.甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在 A 、 B 两个喷雾器中分别配制成12%和 6%的
药水各 10 千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为 1 千克的药瓶，他们从 A 、 B 两个喷雾器中分别取 1 千克的药水，将 A 中取得的倒入B中， B
中取得的倒入
A 中，这样操作进行了
n 次后，
A 喷雾器中药水的浓度为
a n % B
喷雾器中
，
药水的浓度为 b n %．
（Ⅰ）证明 a n
b n 是一个常数；
（Ⅱ）求 a n 与 a n 1 的关系式； （Ⅲ）求 a n 的表达式．
9．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米） ，其中容器的中间为圆柱形，
80
左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 3 立方米，且 l ≥2r ．假设该容
器的建造费用仅与其表面积有关． 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形
部分每平方米建造费用为
c(c ＞3) 千元，设该容器的建造费用为 y 千元．
（Ⅰ）写出 y
关于 r 的函数表达式， 并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的 r ．
答案：
1. （ 1）由题意可设，每天多卖出的件数为
k( x 2 x) ，∴ 36 k(32 3) ，∴ k 3
又每件商品的利润为
(20 12 x) 元，每天卖出的商品件数为
48 3( x 2
x)
∴该商品一天的销售利润为
f ( x) (8
x)[48 3(x 2 x)] 3x 3 21x 2 24x 384(0 x
8)
（ 2）由 f '( x)
9x 2 42x
24
3( x
4)(3 x 2)
令 f '( x)
0 可得 x
2
4
或 x
3
当 x 变化时， f '( x) 、 f ( x) 的变化情况如下表：
x
2 2
2
4
(4,8)8
(0, )
3
( ,4)
3
3
—0
f '( x)
384 ↘
4
f (x)
极小值 376
9
+ 0
—
↗
极大值 432 ↘
∴当商品售价为 16 元时，一天销售利润最大，最大值为 432 元
2. （ 1） g(1)
f (1)
1 1
2 33
11
(万件 )
150 1 25
1
( x
当 n
2时， g(x)=f(x)-f(x-1)
x( x
1)(35 2x)
1)x(37 2x)
150
150
1 x[(
2 x 2 33x 35) ( 2x 2
39x 37)]
150
1 x(7
2 6x) 1 x( x 12)
150
25
当 x=1 时， g(x)=g(1) 也适合上式
g( x)
1 x( x 12)( x N 且 x 12)
25
又
g(x) 1 [ x
(12 x) ] 2 36
25
2 25
36 x=12-x 即 x=6 时成立，即当
等号当且仅当 x=6 时， g ( x) max
（万件）
36
万件。

25
∴6 月份该商品的需求量最大，最大需求量为
25
（2）依题意，对一切
x {1,2,
,12} ，有
Px g(1) g(2) g( x) f ( x)
P
1 ( x 1)(35 2x)
( x
1,2, 12)
150 1
1
33)2 1369 ]
令 h( x)
(35
33 x 2x 2 ) [ 2( x
150
150
4 8
h( x)max 171
h(8)
150
171 P
150
答每个月至少投入
171
万件可以保证每个月都足量供应。

150
3. （1）设 7 月 n 日售出的服装件数为 a n
n N ,1
n 31 ，a k k N , k
4 为最大。

a k
3 3 k
1
-
，
a k 2(31 k) 3
k 13,a k 39 ，
7月13 日该款服装销售件数最多，最大值为 39 件。

（ 2）设 S n 是数列 a n
的前 n 项和，
a n
3n,
1 n 13
N 65 2n,
14 n
， n
31
3
3n n,
1 n
13
S n
2
273 (51
n) (n 13), 14
n
31
S 13 273
200 ，
由 1 n 13 时， S n 200 得 n 12 ，
由 14
n 31时， a n
20 得 n 23，
从 7月12日到 7月22
日共 11 天该款服装在社会上流行。

300
4. ⑴由 A 直接游向 B 处的时间为 t
sin 450
150
2
（秒）。

2
300 300
200
（秒），而 150
2 200 ，
由 A 经 D 到 B 的时间为 t 2 6
2
因此，救生员的选择是正确的。

⑵设∠ BCD=α ，则 CD=300cot α ， BC=
300
， AC=300-300cot α。

sin a
于是从 A 经 C 到 B 的时间为
1 tan 2
3
2
tan
2
300 300cot
300
50 cos 150
=50(1
3 cos 1
t
50
) = 50(1
2 )
6 2sin
sin
sin
sin
sin
2tan
2
1 tan 2
a
2
= 50(1
1
2tan )
≥ 50(1 2 2)=50 100 2
tan
2
2
当且仅当 2 tan
1 ，即 tan
2
, tan
2
2 时，
2 tan
2 2
2
上式等号成立。

此时， CD=
300
75 2 （米）时， t 取得最小值为 50 100 2
秒。

tan
因此，点 C 应选在沿岸边 AD ，距 D 点 75 2 米处， 才能使救生员从 A 到 B 所用时间最短，
最短时间为 50 100 2 秒。

1 p 7,16 p 20;
q
4
1 p
6,20
p
25.
5. （1）
5
（2）设月利润为 W （万元），则 W=（ p － 16） q －6.8
( 1 7)( p 16) 6.8,16 p
20;
p
4
( 1 p 6)( p 16) 6.8,20 p
25.
=
5
16
p
20,W
1
( p 22)2 2.2,当 p 20时,W max
1.2;
当
4
20
p
25,W
1
( p 23)2 3,当 p
23时,W max 3
当
5
∴当售价定为 23 元 / 件时，月利润最多为 3 万元
（ 3）设最早 n 个月后还清转让费，则
3n
58, n 20,
∴企业乙最早可望
20 个月后还清转让费
k 6. （ 1）由 g( n)
，当 n ＝0 时，由题意，可得 k ＝ 8，所以 f ( n) (100 10 n)
n 1
(10
8 100n ．
（2）由 f (n)
(100
10n)(10
8 ) 100n
1000
80
n )
n
1
1
(
n
10 ) 1000 80( n 1
9 ) 1 000
80
2 9 520 ．当且仅当
n 1
n 1
n 1
9 ，即 ＝ 8 时取等号，所以第 8 年工厂的利润最高，最高为
520 万元
n 1
n
7. （ 1）在图①中，设∠
ABC
， AB ＝ BC ＝a ．则 S
1 a
2 sin ，由于 S 、 a 、 sin 皆
2
为正值，可解得
a
2S 2S ．当且仅当 sin 1 ，即 ＝ 90°时取等号．所以
sin
l 1 2a 2 2S ， l 1 的最小值为 2 2S ．在图②中，设 AB ＝ CD ＝m ，BC ＝ n ，由∠ BAD ＝60°
可求得 AD ＝ m ＋ n ， S 1 ( n
m n)
3
m ，解得 n
2S m
． l 2 2m n
2m
2
2
3m
2
2S m 2S 3m 2 3S 2 4 3 S ， l 2 的 最 小 值 为 2 4 3 S ． 当 且 仅 当
3m 2 3m 2
2S 3m ，即 m 4S 时取等号． （ 2）由于
2
4
3 ，则 l 2 的最小值小于 l 1 的最
3m
2
3 3
小值．所以在方案②中当
l 2 取得最小值时的设计为最佳方案
8. （ 1）开始时， A 中含有 10 12%＝1.2 千克的农药， B 中含有 10 6%＝0.6 千克的农药，
n 次操作后， A 中含有 10 a n %＝ 0.1 a n 千克的农药， B 中含有 10 b n %＝0.1 b n 千克的农
药，它们的和应与开始时农药的重量和相等， 从而有 0.1a n
0.1b n 1.2 0.6 ，所以 a n b n
＝18（常数）
（ 2）第 n 次操作后， A 中 10 千克药水中农药的重量具有关系式： 9 a n 1 1
b
n 1
10a n ，
由（ 1）知 b n 1 18 a n 1 ，代入化简得 a n
4
a n 1 9 ①
4
( a n 1
5 5
(3) 令 a n
) ，利用待定系数法可求出
＝－ 9，
5
4
为公比的等比数列，
所以
a n 9
4( a n 1 9)，可知数列
a n 9 是以
a 9为首项，
---10
5
1
5
分
由①， a 1
4
a 0
9 4 12 9 57 11.4
5 5 5
5
5
由等比数列的通项公式知：
a n
9
(a 1
9)( 4
) n 1
2.4( 4
)
n 1
12 ( 4) n 1
3( 4
) n
，所以 a n 3( 4
) n 9 ．
5
5 5 5
5 5
9．解：（ I ）设容器的容积为 V ，
V
r 2
l
4
r 3 ,又 V
80 , 由题意知
3
3
V 4 r 3
80 4
4 20
故 l
3
r
2
3r
2
3
r
3 (
r 2
r )
由于 l 2r 因此 0
r 2.
y 2 rl 3 4 r 2 c 2 r
4 (202 r ) 3 4 r 2c, 所以建造费用
3 r
y
4 (c
2) r 2 160 ,0
r
2.
因此
r
y ' 8
(c 2) r
160 8 (c 2) ( r 3
20 ),0 r 2.
（ II ）由（ I ）得
r 2
r 2
c 2
由于
c
3,所以 c 2
0,
r 3
20 0时 ,r
3
20 . 当
c 2
c 2
3
20
m,则
c 2
0 令
m
y '
8 (c 2) (r m)( r 2
rm m 2 ).
所以
r 2
0 m 2即 c 9
2 时，
（ 1）当
当 r=m 时 ,y'=0;
当 r (0,m) 时 ,y'<0;
当 r (m,2) 时 ,y'>0.
所以 r m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点。

3 9 （ 2）当 m c
2 即 2 时，
当 r (0,2)时, y ' 0, 函数单调递减，
所以 r=2 是函数 y 的最小值点，
3
9
c
r 2;
综上所述，当
2 时，建造费用最小时
c
9
当2 时，建造费用最小时。