第一章流体力学基础4-连续性方程、流体运动方程与能量方程

x方向 单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量（即质量流量）
ρu x dydz
通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率
ρux
(ρu x x
)
dxdydz
(ρu x ) dxdydz
x
5
EXIT
A：流入与流出微元控制体的质量速率
之差
x方向
(ρu x ) dxdydz x
y方向
(ρuy ) dxdydz y
标轴的分量为 ux ,u y ,uz
A:控制体内流体动量对时间的变化率
动量
时刻 ＋d 时刻
ρudxdydz
ρurdxdydz
(ρurdxdydz)Δ
r (ρu )dxdydz
9
EXIT
B:动量通量的净变化率
ABCD面ρ，uxΔurd时yd间zΔ内流入的动量
EBaidu NhomakorabeaGH面，Δ 时间内流出的动量
ρuxurdydzΔ
)
de d
Pzx
u x z
q&
k
2t x 2
2t y2
2t z2
Pzy uz法y 向Pzz应uz力z
Pxx
u x x
PxPy xxuxy Pyy
μ(P2xzuuxxz
P2yxu•yx
u)Pyy
u y
Py
μ能(2量ux方y 程32
•
u)
P
y 3
Pyz
u z y
封闭可解
Pzz
μ(2 u z z
n
21
C项.外力对控制体所做功
质量力做功
uxFbx uyFby uzFbz
ρdxdydz
r Fb
•
ur
ρdxdydz
表面力做功
x方向 r
r x
Pxxux Pxyu y Pxzuz dxdydz
rr
rr
[y方向Pxxguy
+PyxuxPy gPuyyu+y PPzyzguuz
(ρu x
x
)
(ρuy y
)
(ρuz z
)dxdydz
z方向 (ρuz ) dxdydz z
B：微元控制体内的质量累计速率
密度
时刻
ρ
＋d 时刻 ρ ρ d
质量
ρdxdydz
ρ ρ d dxdydz
ρ
ρ
d
dxdydz
ρdxdydz
d
ρ dxdydz
6
EXIT
ρ
dxdydz
x
ρuxurdydzΔ
dx
Δ 时间经此两相对面元的动量净流出量为
x
(
ρuxur
)dydzdxΔ
同理
y
(
ρuyur
)dzdxdyΔ
z
(
ρuz
ur
)dxdydzΔ
10
EXIT
经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为
x
ux
ur
y
uy ur
z
uz
ur
dxdydz
ux
x
(ur )
d gur 0
d
当流体不可压， 且无粘性：
dur d
r Fb
r P
2ur
1 3
•
ur
17
1.3.3 能量守恒定律——能量方程
• 对于某一控制体中流体所做的功和加给该流体的热量之和与流 体的能量增加值相等。
流体运动过程中能量守恒定律的数学描述：
对于任意选定的控制体
流入控制 体的净能
量速率
环境输入 的热量速
uy
y
ur uz
z
ur
ur
ux x
ur
uy y
ur
uz z
dxdydz
ur •ur ur •ur dxdydz + (ρur )dxdydz
微元流体系统的动量变化率为：
d
d
ρur
ρurdivur
dxdydz
dρ
d
ur
ρ
dur
d
ur
dρ
d
ρdivur
应用连续性方程
第一章 流体力学基础 ——流体运动的微分方程
西安建筑科技大学粉体工程研究所 李辉
1
质量传递——连质续量性守方恒程定律 动量传递——纳动维量－定斯理托克斯方程 能量传递——能能量量方守程恒定律 状态方程
流体运 动微分 方程组
所有流体运动传递过程的通解
2
EXIT
1.3 流体运动的微分方程
• 质量守恒定律——连续性方程 • 动量定理——纳维-斯托克斯方程 • 能量守恒定律——能量方程 • 定解条件
du z
d
Fbz
Pzx x
Pzy y
Pzz z
运动方程的 微分形式
将式1.54和1.57带入化简可得动量方程
15
du x d
Fbx
P x
2ux x 2
2ux y2
2ux z2
3
x
u x x
u y y
u z z
du y d
Fby
P y
2uy x 2
2uy y2
2uy z2
Et
ρux
(Et ρu x x
)
dx
dydz
19
EXIT
同理可得其它两个方向的方程
x方向
(Et ρu x ) dxdydz x
y方向
(Et ρu y ) dxdydz y
z方向
(Et ρu z ) dxdydz z
流入控制体的净能量速率，A项为
(Et ρu x
x
) g(E(Et ρt ρuru)ydx)dyd(zEt ρuz
Pyx y
Pzx z
Pxy
Pyx
xy
yx
( ux y
u y x
)
du y d
Fby
P切xxy 应 力Pyyy
Pzy z
Pyz
NPz-yS方 y程z zy
( u y z
u z ) y
du z d
Fbz
Pxz x
Pyz y
Pzz z
Pxz
Pzx
xz
zx
( ux z
u z x
25
边界条件： 固壁条件 速度条件 1 平壁
2 多孔壁
u s 0 , u s u板 u s 0 , ur s u
温度条件 1 固壁绝热
t 0 n s
2 固壁等温 t tw
26
3 固体非稳态导热过程
第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件
t S tw
t qw n S k
k t n S
2 • u) P 3
24
1.3.4 定解条件
初始条件 开始时刻（＝ 0），各未知量的函数分布
ux ux (x, y, z,0 ) ux0 (x, y, z) uy uy (x, y, z,0 ) uy0 (x, y, z) uz uz (x, y, z,0 ) uz0 (x, y, z) P P(x, y, z,0 ) P0 (x, y, z) (x, y, z,0 ) 0 (x, y, z) t t(x, y, z,0 ) t0 (x, y, z)
13
所有这六个面上的力在x，y，z轴上的投影分别是
Pxx x
Pyx y
Pzx z
dxdydz,
Pxy
x
Pyy y
Pzy z
dxdydz,
Pxz x
Pyz y
Pzz z
dxdydz.
rrr
Px x
Py y
Pz z
dxdydz
作用在微元六面体 上的全部表面力
作用在微元六
3
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
• 质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动， 物质的总质量总是不变的。
• 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。
单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述： 在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体
流入控制体 的质量速率
流出控制体 的质量速率
y
z
d]dxdxyddyzdz
z方向
z
Pzxux Pzyu y Pzz uz dxdydz
22
D项. 能量累计速率
ρEt
dxdydz
r 将求得的ABCD四项代入方程化简得：
de q& k 2t- P • ur
d
内对 能能内于量的热无方增源内程量获热可得源简的、化热不 为热量可 ：传压导流所体获、热忽量略耗散对项外，做功
μ 3
y
u x x
u y y
u z z
du z d
Fbz
P z
2uz x2
2uz y 2
2uz z 2
3
z
u x x
u y y
u z z
或
dur
d
r
Fb
r P
2ur
1 • ur
3
上式中粘性系 数为常数
纳维—斯托克斯（Navier—Stokes）方程
16
N-S方程的化简
面体上的力 = Fb dxdydz
rrr
+
Px x
Py y
Pz z
dxdydz
14
根据动量定理
ρ
dur
d
dxdydz
r
(Fb
r Px x
r Py y
r Pz z
)dxdydz
约去 dxdydz，得
du x
d
Fbx
Pxx x
Pyx y
Pzx z
du y
d
Fby
Pyx x
Pyy y
Pyz z
h
t S
tf
27
小结
质量守恒定律——连续性方程 动量定理——纳维-斯托克斯方程 能量守恒定律——能量方程 定解条件
28
EXIT
=
控制体内的 质量累计速率
A
B
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
4
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
连续性方程的推导 边长为dx，dy，dz 的控制体微元
时刻A点流体密度为 ρ(x,y,z,)，速度u(x,y,z,)沿x，y，z三坐
标轴的分量为 ux ,u y ,uz
当流体不可压：
dur
d
r
Fb
r P
2ur
1 3
• ur
du x d
Fbx
P x
2ux x 2
2ux y2
2ux z2
gur 0
du y d
Fby
P y
2uy x 2
2uy y2
2uy z2
常数，
du z d
Fbz
P z
2uz x2
2uz y 2
2uz z 2
率
控制体对环 境的做功速
率
控制体内的 能量累计速率
A
B
C
D
18
EXIT
能量方程的推导 对于边长为dx，dy，dz 的控制体微元，采
用欧拉法推导
时刻A点流体密度为 ρ(x, y,z, )，速度 ur(x, y,z, )，沿x，y，z 三坐标轴的分量为 ux ,u y ,uz ，温度为T(x, y, z, )
A项. 流入控制体净能量速率：x方向 单位质量流体的能量为 Et e u2 / 2 ，则单位时间内通过左侧控制
面流入微元控制体的能量 Et ρuxdydz
通过右侧控制面流出微元控制体的能量速率
Et
ρux
(Et ρu x x
)
dx
dydz
(Et ρux ) dxdydz x
Et ρuxdydz
12
作用于ABCD、AEHD、 AEFB面上的应力分别为
Px Px Pxxi Pxy j Pxzk
P y Py Pyxi Pyy j Pyzk
Pz Pz Pzx i Pzy j Pzz k
作用于EFGH、BFGC、DHGC面上的应力分别为
Px
x
Px dx
Pxxi
Pxy j
Pxzk
x
(Pxxi
Pxy j
Pxzk )dx,
Py y Py dx Pyxi Pyy j Pyzk y (Pyxi Pyy j Pyzk )dy,
Pz z Pz dx Pzx i Pzy j Pzz k z (Pzx i Pzy j Pzz k )dz.
雷诺输运定理
系统内物理量 的变化率
=
控制体内物理 量的变化率
+
物理量通过控制体控 制面的净流出速率
作用在控制体中流 控制体内流体动量
动量通量通过控制体
体的合外力 = 对时间的变化率 + 控制面的净变化率
C
A
B
8
EXIT
边长为dx，dy，dz 的控制体微元
时刻A点流体密度为ρ(x, y,z, ) ，速度ur(x, y,z, 沿) x，y，z三坐
y
z
)
dxdydz
20
B项.热交换 对于微元控制体，热量交换主要由对流和传导引起，忽略辐射
x方向 y方向 z方向
qx dxdydz x
q y dxdydz y
qz dxdydz z
k tdxdydz
q x2
x
q y y
q z z
dxdydz
内热源所产生代热傅量立叶定q律dxdyqdzk t
ρurdρivρddururddurxddxdydxdyzddzydz d
A+B
11
C:作用在控制体中流体的合外力
作用于微元六面体上的力包括质量力和表面力 质量力：设A点单位质量力为Fb，则微元上的质量力为
Fb dxdydz
表面力：分别考虑六个面上的应力(图a和b）
a. 作用在微元上的应力
b. 作用在微元x方向应力
(ρu x
x
)
(ρu y
y
)
(ρu z
z
)dxdydz
ρ (ρux ) (ρuy ) (ρuz ) 0
x
y
z
本方程适用于单组分流体的任意流动形态。
d ρdivur 0
dτ
散度
7
EXIT
1.3.2 动量定理——纳维-斯托克斯方程
• 对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外 力总和 。
耗散功
q& 0, gur 0
e Cvt cPt
cP
dt
d
k2t
23
1.3.4 定解条件
由前面推导出来的连续性微分方程、动量微分方程、能量微分方
程、流体状态方程和应力与应变率关系可得微分方程组
(ux x
)
(
压yuy )强 (
uz z
)
0
p f 连(,续T )性方程
du x d
Fbx
Pxx x