第一章流体力学基础4-连续性方程、流体运动方程与能量方程
于治明主编液压传动课件第一章 流体力学基础
静止液体在单位面积上所受的法向力称为静压力。 静止液体在微小面积上所受的内法线方向的法向力， 该点的压力为。 （3-1） 静压力性质： 静压力垂直于承压面，其方向和该面的内法线方向一致。 静止液体内任意一点所受到的压力在各个方向上都相等。
• 压力及其性质： 质量力：力的作用反映在液体内部每一个质点上。如重力、惯性力、离心力等。质量力的大小 和液体的质量成正比。 表面力：力的作用反映在外部表面或内部截面上。表面力的大小和作用面积成正比。如液体边 界上的大气压力，液体内部各部分之间相互作用的压力、内摩擦力等。 单位质量力数值上等于加速度。 单位面积上作用的表面力称为应力。 法向应力和切向应力 液体在单位面积上所受的内法线方向的法向应力称为压力。
压力为p时液体的运动粘度
p
大气压力下液体的运动粘度
a
(1 9)
（5）气泡对粘度的影响
b 0 (1 0.015b)
b为混入空气的体积分数 混入b空气时液体的运动粘度
不含空气时液体的运动粘度
0
b
（三）、选用与维护
1、工作介质的选择 品种、粘度 2、工作介质的使用和维护 1）污染物种类及其危害 固体颗粒、水、空气、化学物质、微生物 污染能量。 2）污染原因 3）污染物等级 指单位体积工作介质中固体颗粒污染物的含 量，即工作介质中固体颗粒的浓度。 ISO4406:1987,1999
一、基本概念
（一）、理想液体、恒定流动和一维流动
既无粘性不可压缩的假想液体，称为理想液体。 液体流动时，液体中任意点处的压力、速度和密度都不随 时间而变化，液体作恒定流动。
只要压力、速度或密度有一个随时间变化，液体作非恒 定流动。当液体整体作线性流动时，称为一维流动。
（二）、流线、流束和通流截面
流体动力学基础
ax
u t
2x t 2
ax (a,b, c,t)
3)
ay
v t
2 y t 2
ay (a,b,c,t)
(3-
az
w t
2z t 2
az (a,b,c,t)
4
同样，流体的密度、压强和温度也可写成a、b、c、 的函数，即ρ= ρ （a，b，c，），P=P (a，b，c，)，t=t (a，b，c，)。
式中，括弧内D可D( t以) 代 表(描t )述 (流V体 运)(动)的任一物理（量3-，10）
如密度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。
D( )
称为全导数， 称为当地导数，
称为迁移导D数t 。
( )
(V )( )
t
11
2019/6/14
由上述可知，采用欧拉法描述流体的流动，常常比采 用拉格朗日法优越，其原因有三。一是利用欧拉法得到的 是场，便于采用场论这一数学工具来研究。二是采用欧拉 法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导 数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏 微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求 解容易。三是在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去 脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被 采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学 的某些问题中还是方便的。
零，即
0
t
因此，定常流动时流体加速度可简化成 a (V )V
（3-12） （3-13）
2019/6/14
由式(3-13)可知，在定常流动中只有迁移加速度。例 如图3-2中，当水箱的水位保持不变时，2点到3点流体质 点的速度减小，而4点到5点速度增加，都是由于截面变化 而引起的迁移加速度。若迁移加速度为零，则为均匀流动，
第一章流体力学基本概念
分别运动至A’,B’,C’,D’点，则有
A
B
A'
B'
udt
E D D D A A (u d)d u u t d dtudt
图1-2 速度梯度
由于
du ED
dt
因此得速度梯度 duED tgd d
dy dydt dt dt
可以看出dθ为矩形ABCD在dt时间后剪切变形角度，这就表明速度梯度实质上就 是流体运动时剪切变形角速度
•第一章流体力学基本概念
随着科学技术的不断进步，计算机的发展和应用，流体力学的研究领域和应用范 围将不断加深和扩大。从总的发展趋势来看，随着工业应用日益扩大，生产技术 飞速发展，不仅可以推动人们对流动现象深入了解，为科学研究提供丰富的课题 内容，而且也为验证已有的理论、假设和关系提供机会。理论和实践密切结合， 科学研究和工业应用相互促进，必将推动本学科逐步成熟并趋于完善。
第一章 流体力学基本概念
第一节 流体力学的发展、应用及其研究方法 第二节 流体的特征和连续介质假设 第三节 流体的主要物理性质及分类 第四节 作用在流体上的力
•第一章流体力学基本概念
第一节 流体力学的发展、应用及其研究方法
一、流体力学发展简史
流体力学是研究流体的平衡及运动规律，流体与固体之间的相互作 用规律，以及研究流体的机械运动与其他形式的运动（如热运动、化学 运动等）之间的相互作用规律的一门学科。 流体力学属于力学范畴，是 力学的一个重要分支。其发展和数学、普通力学的发展密不可分。流体 力学起源于阿基米德（Archimedes，公元前278~公元前212）对浮力的 研究。
流体的压缩性及相应的体积弹性模量是随流体的种类、温度和压力而变化 的。当压缩性对所研究的流动影响不大，可以忽略不计时，这种流动成为不可 压缩流动，反之称为可压缩流动。通常，液体的压缩性不大，所以工程上一般 不考虑液体的压缩性，把液体当作不可压缩流体来处理。当然，研究一个具体 流动问题时，是否考虑压缩性的影响不仅取决于流体是气体还是液体，而更主 要是由具体条件来决定。
流体力学主要内容
第一章连续介质假设：把流体当作是由密集质点构成的、内部无空隙的连续体来考虑。
表面力：作用在流体表面上的力；质量力：作用在所取流体体积内每个质点上的力；单位2/m s牛顿内摩擦定律：dudyτμ=μ动力粘度系数，υ运动粘度系数：μυρ=； 无粘性流体：指无粘性，0μ=的流体；不可压缩流体：指流体的每个质点在运动全过程中，密度不变化的流体。
常温常压下气体状态方程：pRT ρ=第二章静止流体的应力特征1.应力方向沿作用面的内法线方向；2.静压强的大小与作用面方位无关。
等压面：流体中压强相等的空间点构成的面（平面或曲面）称为等压面。
重力作用下流体静压强分布o p p gh ρ=+推论：静压强的大小与液体的体积无关两点的压强差等于两点之间单位面积垂直液柱的重量在平衡状态下，液体内任意一点压强的变化等值地传递到其他各点。
压强的度量：绝对压强：流体实有的全部压强相对压强：绝对压强与当地大气压的差值真空度：指绝对压强不足当地大气压的差值，即相对压强的负值v a abs p p p =-；p z c gρ+=，c 为测压管水头（总势能），其中z 为位置水头；pgρ压强水头； 作用在平面上的静水压力 图算法：p bs =（矩形板）b 为受压面宽度，s 为压强分布图的面积总压力的作用线通过压强分布图的形心 解析法：c p gh A ρ=（任意形状平面板）c h ：受压面形心的淹没深度A ：受压面面积作用在曲面上的静水压力x c x z p gh A p gvρρ==压力体：实压力体，虚压力体，混合压力体第三章描述流体运动的方法：拉格朗日法和欧拉法 拉格朗日法：以个别质点为观察对象，再将每个质点的运动情况汇总起来描述整个流体运动； 欧拉法：以流体运动的空间点作为观察对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动，再将每个质点的运动情况汇总起来描述整个流体运动。
x x x x x x y z y y y y y x y z z z z zz x y z u u u ua u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂流动的分类恒定流和非恒定流：以时间为标准，若各空间点上的运动参数（速度，压强，密度等）都不随时间变化，这样的流动是恒定流，反之则为非恒定流。
高等流体力学
高等流体力学第一章 流体力学的基本概念连续介质：流体是由一个紧挨着一个的连续的质点所组成的，没有任何空隙的连续体，即所 谓的连续介质。
流体质点：是指微小体积内所有流体分子的总和。
欧拉法质点加速度：时变加速度与位变加速度和zuu y u u x u u t u dt du a x z x y x x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==质点的随体导数：质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数，用dtd表示。
在欧拉法描述中的任意物理量Q 的质点随体导数表述如下：x kk Qu t Q dt dQ ∂∂+∂∂= 式中Q 可以是标量、矢量、张量。
质点的随体导数公式对任意物理量都成立，故将质点的随体导数的运算符号表示如下：x kk u t dt d ∂∂+∂∂= 其中t∂∂称为局部随体导数，x k k u ∂∂称为对流随体导数，即在欧拉法描述的流动中，物理量的质点随体导数等于局部随体导数与对流随体导数之和。
体积分的随体导数：质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数。
则在由流体质点组成的流动体积V 中标量函数Φ（x, t ）随时间的变化率就是体积分的随导函数。
由两部分组成①函数Φ 对时间的偏导数沿体积V 的积分，是由标量场的非恒定性引起的。
②函数Φ通过表面S 的通量。
由体积V 的改变引起的。
()dV divv dt d dV v div t dS u dV t dV dt d v v n s v v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ+Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ+∂Φ∂=Φ+∂Φ∂=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()dV adivv dt da dV av div t a dS au dV t a adV dt d v v n s v v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂=+∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 变形率张量： 11ε12ε13εD ij = 21ε 22ε 23ε 31ε 32ε 33ε其中ii ε表示所在方向的线性变形率，其余ij ε（j i ≠）为角变形率。
流体力学全部总结
（二）图解法
适用范围：规则受压平面上的静水总压力及其作用点的求解 原理：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用 线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便 是总压力的作用点（压心D）。
液体作用在曲面上的总压力
一、曲面上的总压力 • 水平分力Px
Px dPx hdAz hc Az pc AZ
z1
p1 g
u12 2g
z2
p2 g
u2 2 2g
上式被称为理想流体元流伯诺里方程 ，该式由瑞士物理学家 D.Bernoulli于1738年首先推出，称伯诺里方程 。
应用条件：恒定流 不可压缩流体 质量力仅重力 微小流束（元流）
三、理想流体元流伯诺里方程的物理意义与几何意义
几何意义
p x p y p z pn
X
流体平衡微分方程 （欧拉平衡方程）
1 p x 1 p y 1 p z
Y Z
0 0 0
物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量
力分量彼此相等。压强沿轴向的变化率（ p , p , p ）等于该轴向单位体积上的 x y z 质量力的分量（X, Y, Z）。
u x x
u y y
u z z
0
适用范围：理想流体恒定流的不可压缩流体流动。
二、恒定总流连续性方程
取一段总流，过流断面面积为A1和A2；总流中 任取元流，过流断面面积分别为dA1和dA2，流速为 恒定流时流管形状与位置不随时间改变； u1和u2
考虑到： 不可能有流体经流管侧面流进或流出； 流体是连续介质，元流内部不存在空隙；
第三节 连续性方程
第一章 流体力学的基础知识
u P u Z1 Z2 2g 2g P
假设从1—1断面到2—2断面流动过程中损失为h， 则实际流体流动的伯努利方程为
2 u12 P u2 Z1 Z2 h 2g 2g
2 1
2 2
P
第一章 流体力学的基础知识
1.3 流体动力学基础
【例 1.2 】如图 1-7所示，要 用水泵将水池中的水抽到用 水设备，已知该设备的用水 量为 60m3/h ，其出水管高
单体面积上流体的静压力称为流体的静压强。
若流体的密度为ρ，则液柱高度h与压力p的关系 为：
p=ρgh
第一章 流体力学的基础知识
1.2 流体静力学基本概念
1.2.1 绝对压强、表压强和大气压强
以绝对真空为基准测得的压力称为绝对压力，它是流 体的真实压力；以大气压为基准测得的压力称为表压 或真空度、相对压力，它是在把大气压强视为零压强 的基础上得出来的。
第一章 流体力学的基础知识
1.3 流体动力学基础
（3） 射流
流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的 流体脱离了原来的限制它的固体边界，在充满流体的空 间继续流动的这种流体运动称为射流，如喷泉、消火栓 等喷射的水柱。
第一章 流体力学的基础知识
1.3 流体动力学基础
4. 流体流动的因素
（1） 过流断面
2. 质量密度
单位体积流体的质量称为流体的密度，即ρ=m/V
3. 重量密度
流体单位体积内所具有的重量称为重度或容重，以γ 表示。γ=G/V
第一章 流体力学的基础知识
1.1 流体主要的力学性质
质量密度与重量密度的关系为：
γ=G/V=mg/V=ρg
4. 粘性
表明流体流动时产生内摩擦力阻碍流体质点或流层 间相对运动的特性称为粘性，内摩擦力称为粘滞力。 粘性是流动性的反面，流体的粘性越大，其流动性
流体力学基本概念和流体运动方程
18
第三节伯努利（Bernoulli）方程
z
p
V2
常数
g 2g
(3-42)
在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(3-41)可以得到静力学基本 方程
一、方程的物理意义和几何意义
为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方 程的物理意义和几何意义。
1、物理意义
理想流体微元流束的伯努利方程式（3-41）中，左端
1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速V 2m/s，
已知d1=0.5m，
d2=1m，试求截面2-2处的平均流速
V
为
2
多少？
【解】 由式（3-33）得
V1 4d12 V2 4d22
V2
V1dd122
20.52 1
0.5(m/s)
24.03.2020
17
图 3-14 输水管道
24.03.2020
dqm分别为： dqv=VdA
(3-16)
dqm=ρVdA
(3-17)
24.03.2020
8
图 3-6 管内流动速度分布
24.03.2020
9
六、均匀流和非均匀流
根据流场中同一条流线各空间点上的流速是否相同， 可将总流分为均匀流和非均匀流。若相同则称为均匀流，
V u (x ,y )i v (x ,x )j
24.03.2020
5
图 3-2 流体的出流
2体流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束，即 流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
第1章 流体力学基本知识
数学表达式：
二、流体的粘滞性 粘滞性 ：流体内部质点间或层流间因相对运动 而产生内摩擦力（切力）以反抗相对运动的 性质。
牛顿内摩擦定律：
F－内摩擦力,N; S－摩擦流层的接触面面积,m2；
τ－流层单位面积上的内摩擦力（切应力）,N/
m2；
du/dn－流速梯度，沿垂直流速方向单位长度 的流速增值；
hω1-2 ＝Σhf＋Σhj
二、流动的两种型态－－层流和紊流
二、流动的两种型态－－层流和紊流
实验研究发现，圆管内流型由层流向湍流 的转变不仅与流速u有关，而且还与流体的 密度、粘度 以及流动管道的直径d有关。 将这些变量组合成一个数群du/，根据该 数群数值的大小可以判断流动类型。这个 数群称为雷诺数，用符号Re表示，即
从元流推广到总流，得：
由于过流断面上密度ρ为常数，以
u d u d
1 1 1 2 2 1 2
2
带入上式，得：
ρ1Q1 ＝ρ2 Q2 Q＝ωv ρ1ω1v 1＝ρ2ω2v 2
（1－11）
（1－11a）
（1－11）、 （1－11a） －－质量流量的连 续性方程式。
建筑设备工程
第一章 流体力学基本知识 第1节 流体的主要物理性质 第2节 流体静压强及其分布规律 第3节 流体运动的基本知识 第4节 流动阻力和水头损失 第5节 孔口、管嘴出流及两相流体简介
本章介绍流体静力学，流体动力学，流体运动 的基本知识，流体阻力和能量损失，通过本章 的学习可以对流体力学有一个大概的了解，但 讲到的内容是很基础的。
v
2 2 2
2g
h12
流体力学中三大基本方程
（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
流体动力学基础工程流体力学
固定的控制体
对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为
CS
ρ(
vn
)dA
CV
t
dV
运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只
要将速度改成相对速度vr
t
dV
CV
CS (vr n)dA 0
32
连续方程的简化
★1、对于均质不可压流体： ρ=const
dV 0
t CV
t
，所以由于密度 的变
化单位时间内微元六面体内增加的质量为dxdydz t。
微元控制体内流体质量增长率： dxdydz t
48
（3）根据质量守恒定律
流体运动的连续方程式为：
dxdydz uxdydz dx uydxdz dy uzdxdy dz 0
令β＝1，由系统的质量不变可得连续性方程
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vndA
0
30
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vn
dA
0
系统质量变化率 控制体内质量变化率 流出控制体的质量流率
上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控 制体内流体质量随时间的减少率。
在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满 足连续性假设，上式总是成立的
CV
B V n dA
CS
D* (t )
CV B n
质量体
控制体 任一物理量 控制体表面外法向单位向量
18
雷诺输运定理
将拉格朗日法求系统内物理 量的时间变化率转换为按欧 拉法去计算的公式
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学知识点总结
流体力学知识点总结第一章绪论1 液体和气体统称为流体，流体的基本特性是具有流动性，只要剪应力存在流动就持续进行，流体在静止时不能承受剪应力。
2 流体连续介质假设：把流体当做是由密集质点构成的，内部无空隙的连续体来研究。
3 流体力学的研究方法：理论、数值、实验。
4 作用于流体上面的力（1）表面力：通过直接接触，作用于所取流体表面的力。
作用于A 上的平均压应力作用于A 上的平均剪应力应力法向应力切向应力（2）质量力：作用在所取流体体积内每个质点上的力，力的大小与流体的质量成比例。
（常见的质量力：重力、惯性力、非惯性力、离心力）单位为5 流体的主要物理性质（1）惯性：物体保持原有运动状态的性质。
质量越大，惯性越大，运动状态越难改变。
常见的密度（在一个标准大气压下）：4℃时的水20℃时的空气（2）粘性ΔＦΔＰΔＴAΔＡVτ法向应力周围流体作用的表面力切向应力A P pATAF AlimAP p AAlim为A 点压应力，即A 点的压强AT Alim为A 点的剪应力应力的单位是帕斯卡（pa ），1pa=1N/㎡，表面力具有传递性。
B F fmuu v v2m s3/1000mkg 3/2.1mkg牛顿内摩擦定律：流体运动时，相邻流层间所产生的切应力与剪切变形的速率成正比。
即以应力表示τ—粘性切应力，是单位面积上的内摩擦力。
由图可知——速度梯度，剪切应变率（剪切变形速度）粘度μ是比例系数，称为动力黏度，单位“pa ·s ”。
动力黏度是流体黏性大小的度量，μ值越大，流体越粘，流动性越差。
运动粘度单位：m2/s 同加速度的单位说明：1）气体的粘度不受压强影响，液体的粘度受压强影响也很小。
2）液体T ↑μ↓气体T ↑μ↑无黏性流体无粘性流体，是指无粘性即μ=0的液体。
无粘性液体实际上是不存在的，它只是一种对物性简化的力学模型。
（3）压缩性和膨胀性压缩性：流体受压，体积缩小，密度增大，除去外力后能恢复原状的性质。
流体力学方程各项的意义 知乎
流体力学方程各项的意义知乎全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：流体力学方程是描述流体运动规律的基本方程，它包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这三个方程分别对应了流体运动中质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本原理，通过这些方程我们可以推导出流体在不同情况下的运动规律和流态特性。
下面将分别介绍各项方程的意义。
连续性方程是描述流体在空间内不同位置和不同时间的质量变化关系。
其数学表示形式为质量守恒方程：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0ρ表示流体的密度，v表示流体的流速，t表示时间。
这个方程实际上是描述了在流体流动过程中，质量不能被“创造”或“消失”，而只能在空间内不同位置之间转移。
连续性方程可以帮助我们理解和描述流体在不同位置之间的质量变化关系，对于研究流体运动的整体特性和稳定性具有重要意义。
动量方程是描述流体运动过程中力的作用和运动状态变化的方程。
其数学表示形式为牛顿第二定律：p表示压力，τ表示应力张量，F表示外力。
这个方程可以描述流体在外力作用下产生的加速度和流速的变化情况，进而帮助我们理解和分析流体运动中各种复杂的现象和特性。
通过动量方程，我们可以研究流体在不同条件下的运动规律和动力学特性，为流体力学的应用和实践提供理论基础。
ρ[∂(e + v^2/2)/∂t + ∇·[(e + p)v]] = ∇·(k∇T) + φe表示单位质量的内能，k表示热传导系数，T表示温度，φ表示能量来源。
能量方程可以描述流体的内能和动能随着时间和空间的变化情况，进而帮助我们研究和分析流体的温度、热量传递和能量转换过程。
通过能量方程，我们可以深入理解流体在不同环境下的能量交换和转化机制，为热力学和热传导等领域的研究提供依据和支持。
流体力学方程是研究流体运动规律和性质的基本工具，每一个方程都有其独特的物理意义和数学含义。
通过对这些方程的建立和求解，我们可以深入探讨流体在宏观尺度下的行为和特性，为工程应用和科学研究提供理论支持和指导。
流体力学基本知识
由于静止流体无相对速度，不呈现粘滞性，
不存在切力，也不能承受拉力，故其所受的力 只能是压力。
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二、压强 在静水中，取一微小面积Δw,其上作用静 水压力ΔP，则面积上的平均压强
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但在热水工程中为了保证运行安全，还是 应考虑其膨胀性，如在热水工程中设膨 胀水箱、安全阀等。
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气体具有显著的压缩性和膨脓性，其容重、 压强和热力学温度三者的关系如下式：
对于流速较低的气体，在压强及温度变 化不大时，其容重的变化也比较小，在 一般工程应用中可视为常数。
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四、流体静力学基本方程
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第三章 流体动力学
一、 动力学的基本原理 流体动力学是研究流体运动规律的科学。
在流体静力学中．压强只与水深有关，
或者说与所处空间位置有关
在流体动力学中，压强还与运动情况有
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为计算方便，常取过流断面上的平均流速
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3、流量
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五、流体运动的基本方程 1、连续性方程
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2、能量方程
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西南交大流体力学(1-6)复习题纲与课后习题复习详解...
[解] 由 g 得，
g
7200N/m3 734.7kg/m3 2 9.8m / s
9
1-2．若水的体积模量 K 2.2 10 Pa ，欲减小其体积的 0.5%，问需要加多大的压强？ [解] 由 K
p p 9 得， 2.2 10 Pa V / V 0.5%
(zA
pA
) ( zB
pB
)(
p 1)hp ，式中 hp 为 U 形管内液体的两液面高度差。
pA
当 U 形管内液体为水银时，上式可变为： ( z A （2）绝对压强、相对压强、真空值
) ( zB
pB
) 12.6hp
以绝对真空状态作为起量点的压强，称为绝对压强，以 p 表示，其中 p 大于 0；以当地大气压起量 的压强称为相对压强，以 p 表示，其中 p 可“+”可“-” ，也可以为 0。两者的关系为：
§2.2 习题详解 2-1．一密闭盛水容器如图所示，U 形测压计液面高于容器内液面 h=1.5m，求容器液面的相对压强。
题 2-1 图 [解] p0 pa gh
pe p0 pa gh 1000 9.807 1.5 14.7kPa
2-2．一封闭水箱如图所示，金属测压计测得的压强值为 4900Pa（相对压强，压力计中心比 A 点高 0.5m， 而 A 点在液面下 1.5m。求液面的绝对压强和相对压强。
yD yC
IC （其中 yD yC ，压力中心 D 总是位于受压面形心 C 的下方） yC A
计算中应注意 yD 、 yC 是从自由面算起，并平行于作用面。 （2）图解法 原理：静水总压力的大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的形心，该作用线与受压 面的交点便是压力中心 D。 对于矩形平面上的静水总压力还可以用下式计算：
工程流体力学复习_图文
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的 应用。
流体是连续介质，它在流动时充满整个流场。 当研究流体经过流场中某一任意指定的空间 封闭曲面时，在某一定时间内，如果流出的流 体质量和流入的流体质量不相等，则表明封闭 曲面内流体密度是变化的；如果流体是不可压 缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体 质量。上述结论可以用数学分析表达成方程， 称为连续性方程。
水力半径－有效流通截面积与润湿周长之比 。
当量直径－四倍的水力半径。
平均流速－单位时间内单位流通截面所 通过的流体体积量。
基本概念或结论：
雷诺数是惯性力与粘滞力之比
层流与湍流的本质区别
湍流时，流体质点除了有主运动还存在 随机的脉动。
层流时，流体在管内的速度分布呈抛物状 。
练习题
←B通过控制面的流 出率与流入率之差
I II
第四章 流体动力学分析基础
4.2雷诺运输定理
III
B通过控制面的流出量：
B通过控制面的流入量 ：
I II
第四章 流体动力学分析基础
4.2雷诺运输定理
III
B通过控制面的流出率：
B通过控制面的流入率 ：
I II
第四章 流体动力学分析基础
4.2雷诺运输定理
4.2雷诺运输定理
雷诺运输方程－揭示系统内流体参数变 化与控制体内流体参数变化之间关系。
系统与控制体的对比与关联
系统 系统
系控统制体 系 统
I II
第四章 流体动力学分析基础
4.2雷诺运输定理
III
系统内与控制体内物理量随时间变化率之关 系的推导 设B为物理量，B的质量变化率为
流体力学资料复习整理
9.水力光滑管与水力粗糙管
10.流体流过固体壁面时，沿壁面法线方向速度逐渐增大的区域称为附面层。流体在壁面附近反向流回而形成回流的现象称为附面层的分离。
第六章能量损失及管路计算
1.尼古拉茨实验:实验装置：人工粗糙管－－把经过筛选的大小均匀一致的固体颗粒粘贴在管壁上，这样的管路称为人工粗糙管。实验原理：能量方程;实验目的：λ～Re、Δ/d
3.当流体的压缩性对所研究的流动影响不大，可忽略不计时，这种流体称为不可压缩流体，反之称为可压缩流体。通常液体和低速流动的气体（Ｕ<70m／s）可作为不可压缩流体处理。
4.压缩系数：
弹性模数：
膨胀系数：
5.流体的粘性：运动流体内存在内摩擦力的特性（有抵抗剪切变形的能力），这就是粘滞性。流体的粘性就是阻止发生剪切变形的一种特性，而内摩擦力则是粘性的动力表现。温度升高时，液体的粘性降低，气体粘性增加。
第二过渡区：这时层流底层已经不能遮盖壁面的粗糙峰，壁面的粗糙峰对中部的紊流产生了影响。Re
Δ/d和Re对阻力系数λ均有影响。
水力粗糙区：对同一管道而言，层流底层已经变得非常薄，以至于管壁上所有的粗糙峰都凸入了紊流区，及时雷诺数再大，也不再有新的凸峰对流动产生影响，这表现为λ不随Re变化
2.局部阻力损失与局部阻力系数：流经局部装置时，流体一般都处于高紊流状态。这表现为局部阻力系数ξ只与局部装置的结构有关而与雷诺数无关。
伯努里方程可理解为：微元流的任意两个过水断面的单位总机械能相等。由于是定常流，通过微元流各过水断面的质量流量相同，所以在单位时间里通过各过水断面的总机械能（即能量流量）也相等。
2.沿流线法线方向压力和速度的变化：当流线的曲率半径很大或流体之间的夹角很小时，流线近似为平行直线，这样的流动称为缓变流，否则称为急变流。
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)
de d
Pzx
u x z
q&
k
2t x 2
2t y2
2t z2
Pzy uz法y 向Pzz应uz力z
Pxx
u x x
PxPy xxuxy Pyy
μ(P2xzuuxxz
P2yxu•yx
u)Pyy
u y
Py
μ能(2量ux方y 程32
•
u)
P
y 3
Pyz
u z y
封闭可解
Pzz
μ(2 u z z
x
ρuxurdydzΔ
dx
Δ 时间经此两相对面元的动量净流出量为
x
(
ρuxur
)dydzdxΔ
同理
y
(
ρuyur
)dzdxdyΔ
z
(
ρuz
ur
)dxdydzΔ
10
EXIT
经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为
x
ux
ur
y
uy ur
z
uz
ur
dxdydz
ux
x
(ur )
ρurdρivρddururddurxddxdydxdyzddzydz d
A+B
11
C:作用在控制体中流体的合外力
作用于微元六面体上的力包括质量力和表面力 质量力：设A点单位质量力为Fb，则微元上的质量力为
Fb dxdydz
表面力：分别考虑六个面上的应力(图a和b）
a. 作用在微元上的应力
b. 作用在微元x方向应力
25
边界条件： 固壁条件 速度条件 1 平壁
2 多孔壁
u s 0 , u s u板 u s 0 , ur s u
温度条件 1 固壁绝热
t 0 n s
2 固壁等温 t tw
26
3 固体非稳态导热过程
第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件
t S tw
t qw n S k
k t n S
μ 3
y
u x x
u y y
u z z
du z d
Fbz
P z
2uz x2
2uz y 2
2uz z 2
3
z
u x x
u y y
u z z
或
dur
d
r
Fb
r P
2ur
1 • ur
3
上式中粘性系 数为常数
纳维—斯托克斯（Navier—Stokes）方程
16
N-S方程的化简
当流体不可压：
dur
d
r
Fb
r P
2ur
1 3
• ur
du x d
Fbx
P x
2ux x 2
2ux y2
2ux z2
gur 0
du y d
Fby
P y
2uy x 2
2uy y2
2uy z2
常数，
du z d
Fbz
P z
2uz x2
2uz y 2
2uz z 2
du z
d
Fbz
Pzx x
Pzy y
Pzz z
运动方程的 微分形式
将式1.54和1.57带入化简可得动量方程
15
du x d
Fbx
P x
2ux x 2
2ux y2
2ux z2
3
x
u x x
u y y
u z z
du y d
Fby
P y
2uy x 2
2uy y2
2uy z2
A项. 流入控制体净能量速率：x方向 单位质量流体的能量为 Et e u2 / 2 ，则单位时间内通过左侧控制
面流入微元控制体的能量 Et ρuxdydz
通过右侧控制面流出微元控制体的能量速率
Et
ρux
(Et ρu x x
)
dx
dydz
(Et ρux ) dxdydz x
Et ρuxdydz
x方向 单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量（即质量流量）
ρu x dydz
通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率
ρux
(ρu x x
)
dxdydz
(ρu x ) dxdydz
x
5
EXIT
A：流入与流出微元控制体的质量速率
之差
x方向
(ρu x ) dxdydz x
y方向
(ρuy ) dxdydz y
2 • u) P 3
24
1.3.4 定解条件
初始条件 开始时刻（＝ 0），各未知量的函数分布
ux ux (x, y, z,0 ) ux0 (x, y, z) uy uy (x, y, z,0 ) uy0 (x, y, z) uz uz (x, y, z,0 ) uz0 (x, y, z) P P(x, y, z,0 ) P0 (x, y, z) (x, y, z,0 ) 0 (x, y, z) t t(x, y, z,0 ) t0 (x, y, z)
标轴的分量为 ux ,u y ,uz
A:控制体内流体动量对时间的变化率
动量
时刻 ＋d 时刻
ρudxdydz
ρurdxdydz
(ρurdxdydz)Δ
r (ρu )dxdydz
9
EXIT
B:动量通量的净变化率
ABCD面ρ，uxΔurd时yd间zΔ内流入的动量
EFGH面，Δ 时间内流出的动量
ρuxurdydzΔ
(ρu x
x
)
(ρuy y
)
(ρuz z
)dxdydz
z方向 (ρuz ) dxdydz z
B：微元控制体内的质量累计速率
密度
时刻
ρ
＋d 时刻 ρ ρ d
质量
ρdxdydz
ρ ρ d dxdydz
ρ
ρ
d
dxdydz
ρdxdydz
d
ρ dxdydz
6
EXIT
ρ
dxdydz
第一章 流体力学基础 ——流体运动的微分方程
西安建筑科技大学粉体工程研究所 李辉
1
质量传递——连质续量性守方恒程定律 动量传递——纳动维量－定斯理托克斯方程 能量传递——能能量量方守程恒定律 状态方程
流体运 动微分 方程组
所有流体运动传递过程的通解
2
EXIT
1.3 流体运动的微分方程
• 质量守恒定律——连续性方程 • 动量定理——纳维-斯托克斯方程 • 能量守恒定律——能量方程 • 定解条件
h
t S
tf
27
小结
质量守恒定律——连续性方程 动量定理——纳维-斯托克斯方程 能量守恒定律——能量方程 定解条件
28
EXIT
13
所有这六个面上的力在x，y，z轴上的投影分别是
Pxx x
Pyx y
Pzx z
dxdydz,
Pxy
x
Pyy y
Pzy z
dxdydz,
Pxz x
Pyz y
Pzz z
dxdydz.
rrr
Px x
Py y
Pz z
dxdydz
作用在微元六面体 上的全部表面力
作用在微元六
=
控制体内的 质量累计速率
A
B
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
4
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
连续性方程的推导 边长为dx，dy，dz 的控制体微元
时刻A点流体密度为 ρ(x,y,z,)，速度u(x,y,z,)沿x，y，z三坐
标轴的分量为 ux ,u y ,uz
率
控制体对环 境的做功速
率
控制体内的 能量累计速率
A
B
C
D
18
EXIT
能量方程的推导 对于边长为dx，dy，dz 的控制体微元，采
用欧拉法推导
时刻A点流体密度为 ρ(x, y,z, )，速度 ur(x, y,z, )，沿x，y，z 三坐标轴的分量为 ux ,u y ,uz ，温度为T(x, y, z, )
d gur 0
d
当流体不可压， 且无粘性：
dur d
r Fb
r P
2ur
1 3
•
ur
17
1.3.3 能量守恒定律——能量方程
• 对于某一控制体中流体所做的功和加给该流体的热量之和与流 体的能量增加值相等。
流体运动过程中能量守恒定律的数学描述：
对于任意选定的控制体
流入控制 体的净能
量速率
环境输入 的热量速
耗散功
q& 0, gur 0
e Cvt cPt
cP
dt
d
k2t
23
1.3.4 定解条件
由前面推导出来的连续性微分方程、动量微分方程、能量微分方
程、流体状态方程和应力与应变率关系可得微分方程组
பைடு நூலகம்
(ux x
)
(
压yuy )强 (
uz z
)
0
p f 连(,续T )性方程
du x d
Fbx
Pxx x
uy
y
ur uz
z
ur
ur
ux x
ur
uy y
ur
uz z
dxdydz
ur •ur ur •ur dxdydz + (ρur )dxdydz
微元流体系统的动量变化率为：
d
d
ρur