张量基础知识
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描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量 的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换 时分量变换的规律。
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
xi ijxj
xi x i j' j'
在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个 矢量p,故有
pp1e1p2e2p3e3 p*1e*1p*2e*2p*3e*3
张量基础知识
即为
P 1 *
P 2 *
P 3 * e e 1 2 * * P 1 *
P 2 *
a 11a 12a 1 3e 1
e 1
P 3 * a 21a 22a 2 3 e2 P 1 P 2 P 3 e2
x x x 由 i
ij' j'
i'j j'k k
又 xi ikxk
ij' j'k
ik
讨论上式的几何意义
张量基础知识
说明
1 基矢量具有与坐标分量相同的变换规律 ei' i' je j e i ij ' e j'
2 矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换 规律
vi' i' jv j v i vij ' j '
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
张量基础知识
二、矢量 有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、
电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f (f1, f2, f3)。
同样，作为加法的推广，标量a与张量 T i j(i,j 1,2,3)
的乘积即为a T i j(i,j 1,2,3)。
张量基础知识
二、张量的乘法
若 Aij(i,j1,2,3)为二阶张量，Bi(i1,2,3)
为一阶张量，则可以证明
C i j k A iB jk(i,j,k 1 ,2 ,3 )为三阶张量，于是 我们定义 C ijk 为 Aij 与Bi 之积，表示为C=AB。
张量基础知识
再看三维情况
eiej ij
ei'ej' i'j'
考虑一位置矢量
xxjej xj' ej' xjej ei' xj' ej' ei' xjco (ejs ,ei')xj'j'i' xi'
xi' x i' j j
张量基础知识
同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
Pk T klQ l
Ql
a jlQ
* j
Pi* aikTkal jlQ*j
令：P * T *Q * 则：T * AT A
令：
Pi *
Tij*Q
* j
则： Tij* aik Tkl a jl
张量基础知识
二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a jlTkl
Tij*k ail a jm aknTlmn
则 i'j： c co o e e1 2 '',,e s e s1 1 ) )( (c co o e e1 2 '',,e s e s2 2) ) ( ( cso in s c sio ns
张量基础知识
于 是 x x1 2'' ： 1 2'1 '1 1 2''2 2 x x1 2 i'j x x1 2 ()
位矢为 e1,e2,e3,经过旋转
变换为新的坐标系 OX'IX'2X'3，在新的坐标系
里的单位矢为 e'1,e'2,e'3,令
新坐标系中在旧坐标系中的
方向余弦为aij （j=1,2,3 )，
则
张量基础知识
e'1 a e11 1 a e 12 2 a e13 3 e'2 a e21 1 a e 22 2 a e23 3 e'3 a e31 1 a e 32 2 a e33 3
T* ijkl
aim a jn akoalpTmnop
Tij akialjTk*l
Tijk ali amjankTlm* n
Tijkl
amianj aok
a
pl
T* mnop
张量基础知识
张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量
i' j'k'l' i'i j' j k'k
与赝标量概念相似，我们可以引入赝矢量，赝矢量与矢 量的区别在于其变换多了一个符号的改变。例如各种轴矢量 （磁场强度、磁感应强度等）就是赝矢量。
张量基础知识
三、张量 先看一个例子：对于均匀导体，在电场强度E的作用下，其 电流密度J和电场强度E有相同方向，即均匀导体的欧姆定律
J E
其中σ为电导率，是标量。
但是对于晶体，由于各向异性，一般情况下J与E并不具 有相同的方向，此时J与E的关系变为
J1 11E112E213E3 J2 21E122E223E3 J3 31E132E233E3
张量基础知识
或表示成分 j1
矩阵形式
J1 111213 E1 J2 212223 E2 J3 313233 E3
以此类推，若A,B是阶数各为m,n的张量，则A,B 分量的积构成一个m+n阶的张量C，称为A,B的积， 表示为C=AB。
张量基础知识
三、张量的收缩
在三阶张量 A ij(ki,j,k1 ,2,3 )中，如果让 j k
0 0 1 31 32 33
即相当于单位矩阵。
张量基础知识
A1
ijAi 1jA12jA2 3jA3 A2
A3
Aj
j 1 j 2 j 3
张量基础知识
现在我们 以二维直 角坐标系 为例来看 看一个小 问题：
x2
x
' 1
x
' 2
x2
x
' 2
e 2'
e2 e1'
x
' 1
x1
e1 x1
令α i'： jco (ei's,ej) (i',j1,2)
ik
（正交性）
张量基础知识
于是得到最终的矢量变换法则如下
P*P A 1PA
a11 a21 a31
P1* P2* P3* P1 P2 P3a12 a22 a32
a13 a23 a33
P* AP
PP12**
a11 a21
a12 a22
a13P1 a23P2
P3* a31 a32 a33P3
P AP*
或简写为
3
e'i ae ij j （ i1,2,3) j1
反之，有
3
ei ajei 'j (i1,2,3)
j1
张量基础知识
表示成矩阵形式为
e'1 e'2
a11 a21
a12 a22
a13e1
a23e2
e'3
a31
a32
a33e3
将以上关系列成方阵形式则为
aij cose'(iej)
张量基础知识
1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： ajixi bj
akixi bj akixi bk
wrong right
张量基础知识
3．克罗内克（Kronecker-δ）符号
定义： ij 10
当i j 当i j
由定义
1 0 0 11 12 13 I0 1 021 22 23ij
张量基础知识
小结： 所谓张量是一个物理量或几何量，他由在某参考坐
标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时， 这些分量按一定的变换法则变换。
张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐 标系的表达物理定律的方法。张量有不同的阶和结构， 这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。标量是零 阶张量；矢量是一阶张量；应力张量是二阶张量；还 有三阶、四阶等高阶张量。
Sa 1x 1a 2x2 a nxn
n
n
S aixi ajxj
i1
j1
约定
Saixi ajxj
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标， 表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这 样的指标为哑指标。
张量基础知识
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3 A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
X1 X2 X3 (老坐标轴)
（ 新坐标系） X1' a11 a12 a13
X2' a21 a22 a23
X3' a31 a32 a33
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐张标量基之础间知识变换的规律。
二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3,
P1 a11 P2 a12
a21 a22
aa3321PP12**
P3 a13 a23 a33P3*
P i* a ij P j
Pi ajiP*j
张量基础知识
二阶张量的变换
P、Q均为矢量
P* P Q Q*
若有：P * AP P TQ Q AQ *
P* ATAQ*
若有： P i * a i k P k
定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标
xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z
ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
11 12 13
ij(i, j 1,2,3)～21
22
2
3
31 32 33 张量基础知识
求和约定 哑指标和自由标 1. 求和约定和哑指标
张量基础知识
1 求和约定仅对字母指标有效
2 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aix jixj
3 i 1
i3 1aix jixj
3 哑指标可以换用不同的字母指标
张量基础知识
2.自由标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
ajixi bj j 为自由标
j 1 a 1x 1 1a 1x 2 2a 1x 3 3b 1
e3 *
a 31a 32a 3 3 e3
e3
于是得
PP*A
P*PA 1
注：此处P与P*均为行向量
张量基础知识
为了表示方便我们下面引入指标符号的概念
指标符号：
x1,x2xn 记作
xi(i1,2, n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi 也可以是上标，如 xi
i jk l
ijk l ii' jj' k 'k ll'
i' j'k'l'
张量的阶数－－自由标数目n；对于三维空间，张量分
量的个数为3n个，变换式也有3n个。
张量基础知识
以上张量的定义的物理实质在于：一个张量代 表着一个物理量，这个物理量遵从一定的物理定律， 而不是依赖于坐标系的选法。当坐标系变换时，物 理量并不改变，只是描述的方法随之而变。因此， 当坐标系变换时，张量的分量应有随之而变的规律， 这就是上述的数学定义。
在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的，晶体的
对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标
系的变换就够了。本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义
的张量。
张量基础知识
2.1标量、矢量、张量
一、标量 在物理学中，有一些量是没有方向而言的，如温度、质
量、密度等，这些物理量只需要一个数值即可描述，我们把 这种物理量称为标量。
第二章 张量的基本知识
张量基础知识
张量的提出：
晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方 向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性， 特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效 应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。 于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方 法，这种方法就是张量方法。
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
xi ijxj
xi x i j' j'
在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个 矢量p,故有
pp1e1p2e2p3e3 p*1e*1p*2e*2p*3e*3
张量基础知识
即为
P 1 *
P 2 *
P 3 * e e 1 2 * * P 1 *
P 2 *
a 11a 12a 1 3e 1
e 1
P 3 * a 21a 22a 2 3 e2 P 1 P 2 P 3 e2
x x x 由 i
ij' j'
i'j j'k k
又 xi ikxk
ij' j'k
ik
讨论上式的几何意义
张量基础知识
说明
1 基矢量具有与坐标分量相同的变换规律 ei' i' je j e i ij ' e j'
2 矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换 规律
vi' i' jv j v i vij ' j '
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
张量基础知识
二、矢量 有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、
电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f (f1, f2, f3)。
同样，作为加法的推广，标量a与张量 T i j(i,j 1,2,3)
的乘积即为a T i j(i,j 1,2,3)。
张量基础知识
二、张量的乘法
若 Aij(i,j1,2,3)为二阶张量，Bi(i1,2,3)
为一阶张量，则可以证明
C i j k A iB jk(i,j,k 1 ,2 ,3 )为三阶张量，于是 我们定义 C ijk 为 Aij 与Bi 之积，表示为C=AB。
张量基础知识
再看三维情况
eiej ij
ei'ej' i'j'
考虑一位置矢量
xxjej xj' ej' xjej ei' xj' ej' ei' xjco (ejs ,ei')xj'j'i' xi'
xi' x i' j j
张量基础知识
同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
Pk T klQ l
Ql
a jlQ
* j
Pi* aikTkal jlQ*j
令：P * T *Q * 则：T * AT A
令：
Pi *
Tij*Q
* j
则： Tij* aik Tkl a jl
张量基础知识
二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a jlTkl
Tij*k ail a jm aknTlmn
则 i'j： c co o e e1 2 '',,e s e s1 1 ) )( (c co o e e1 2 '',,e s e s2 2) ) ( ( cso in s c sio ns
张量基础知识
于 是 x x1 2'' ： 1 2'1 '1 1 2''2 2 x x1 2 i'j x x1 2 ()
位矢为 e1,e2,e3,经过旋转
变换为新的坐标系 OX'IX'2X'3，在新的坐标系
里的单位矢为 e'1,e'2,e'3,令
新坐标系中在旧坐标系中的
方向余弦为aij （j=1,2,3 )，
则
张量基础知识
e'1 a e11 1 a e 12 2 a e13 3 e'2 a e21 1 a e 22 2 a e23 3 e'3 a e31 1 a e 32 2 a e33 3
T* ijkl
aim a jn akoalpTmnop
Tij akialjTk*l
Tijk ali amjankTlm* n
Tijkl
amianj aok
a
pl
T* mnop
张量基础知识
张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量
i' j'k'l' i'i j' j k'k
与赝标量概念相似，我们可以引入赝矢量，赝矢量与矢 量的区别在于其变换多了一个符号的改变。例如各种轴矢量 （磁场强度、磁感应强度等）就是赝矢量。
张量基础知识
三、张量 先看一个例子：对于均匀导体，在电场强度E的作用下，其 电流密度J和电场强度E有相同方向，即均匀导体的欧姆定律
J E
其中σ为电导率，是标量。
但是对于晶体，由于各向异性，一般情况下J与E并不具 有相同的方向，此时J与E的关系变为
J1 11E112E213E3 J2 21E122E223E3 J3 31E132E233E3
张量基础知识
或表示成分 j1
矩阵形式
J1 111213 E1 J2 212223 E2 J3 313233 E3
以此类推，若A,B是阶数各为m,n的张量，则A,B 分量的积构成一个m+n阶的张量C，称为A,B的积， 表示为C=AB。
张量基础知识
三、张量的收缩
在三阶张量 A ij(ki,j,k1 ,2,3 )中，如果让 j k
0 0 1 31 32 33
即相当于单位矩阵。
张量基础知识
A1
ijAi 1jA12jA2 3jA3 A2
A3
Aj
j 1 j 2 j 3
张量基础知识
现在我们 以二维直 角坐标系 为例来看 看一个小 问题：
x2
x
' 1
x
' 2
x2
x
' 2
e 2'
e2 e1'
x
' 1
x1
e1 x1
令α i'： jco (ei's,ej) (i',j1,2)
ik
（正交性）
张量基础知识
于是得到最终的矢量变换法则如下
P*P A 1PA
a11 a21 a31
P1* P2* P3* P1 P2 P3a12 a22 a32
a13 a23 a33
P* AP
PP12**
a11 a21
a12 a22
a13P1 a23P2
P3* a31 a32 a33P3
P AP*
或简写为
3
e'i ae ij j （ i1,2,3) j1
反之，有
3
ei ajei 'j (i1,2,3)
j1
张量基础知识
表示成矩阵形式为
e'1 e'2
a11 a21
a12 a22
a13e1
a23e2
e'3
a31
a32
a33e3
将以上关系列成方阵形式则为
aij cose'(iej)
张量基础知识
1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： ajixi bj
akixi bj akixi bk
wrong right
张量基础知识
3．克罗内克（Kronecker-δ）符号
定义： ij 10
当i j 当i j
由定义
1 0 0 11 12 13 I0 1 021 22 23ij
张量基础知识
小结： 所谓张量是一个物理量或几何量，他由在某参考坐
标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时， 这些分量按一定的变换法则变换。
张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐 标系的表达物理定律的方法。张量有不同的阶和结构， 这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。标量是零 阶张量；矢量是一阶张量；应力张量是二阶张量；还 有三阶、四阶等高阶张量。
Sa 1x 1a 2x2 a nxn
n
n
S aixi ajxj
i1
j1
约定
Saixi ajxj
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标， 表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这 样的指标为哑指标。
张量基础知识
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3 A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
X1 X2 X3 (老坐标轴)
（ 新坐标系） X1' a11 a12 a13
X2' a21 a22 a23
X3' a31 a32 a33
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐张标量基之础间知识变换的规律。
二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3,
P1 a11 P2 a12
a21 a22
aa3321PP12**
P3 a13 a23 a33P3*
P i* a ij P j
Pi ajiP*j
张量基础知识
二阶张量的变换
P、Q均为矢量
P* P Q Q*
若有：P * AP P TQ Q AQ *
P* ATAQ*
若有： P i * a i k P k
定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标
xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z
ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
11 12 13
ij(i, j 1,2,3)～21
22
2
3
31 32 33 张量基础知识
求和约定 哑指标和自由标 1. 求和约定和哑指标
张量基础知识
1 求和约定仅对字母指标有效
2 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aix jixj
3 i 1
i3 1aix jixj
3 哑指标可以换用不同的字母指标
张量基础知识
2.自由标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
ajixi bj j 为自由标
j 1 a 1x 1 1a 1x 2 2a 1x 3 3b 1
e3 *
a 31a 32a 3 3 e3
e3
于是得
PP*A
P*PA 1
注：此处P与P*均为行向量
张量基础知识
为了表示方便我们下面引入指标符号的概念
指标符号：
x1,x2xn 记作
xi(i1,2, n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi 也可以是上标，如 xi
i jk l
ijk l ii' jj' k 'k ll'
i' j'k'l'
张量的阶数－－自由标数目n；对于三维空间，张量分
量的个数为3n个，变换式也有3n个。
张量基础知识
以上张量的定义的物理实质在于：一个张量代 表着一个物理量，这个物理量遵从一定的物理定律， 而不是依赖于坐标系的选法。当坐标系变换时，物 理量并不改变，只是描述的方法随之而变。因此， 当坐标系变换时，张量的分量应有随之而变的规律， 这就是上述的数学定义。
在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的，晶体的
对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标
系的变换就够了。本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义
的张量。
张量基础知识
2.1标量、矢量、张量
一、标量 在物理学中，有一些量是没有方向而言的，如温度、质
量、密度等，这些物理量只需要一个数值即可描述，我们把 这种物理量称为标量。
第二章 张量的基本知识
张量基础知识
张量的提出：
晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方 向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性， 特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效 应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。 于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方 法，这种方法就是张量方法。