一元二次方程的概念及解法 学生版

一元二次方程的概念及解法
要点一、一元二次方程的概念
1．一元二次方程
只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
()ax bx c a 2++=0≠0，a 为 系数，b 为 系数，c 为 项．
3.要点归纳
（1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的 ．
②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有 未知数．
③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是 ．
（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax bx c 2++=0 (a ≠0)．
要特别注意对于关于x 的方程ax bx c 2++=0．当a ≠0时，方程是一元二次方程；当a =0且b ≠0时，方程是一元一次方程．
（3）关于x 的一元二次方程式()ax bx c a 2++=0≠0的项与各项的系数．
ax 2为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．
【例1】下面关于x 的方程中：①ax bx c 2++=0；②()()x x 223−9−+1=1；③x x 21+
+5=0；④x x 23−2+5−6=0；⑤||x x 2−3−3=0；⑥x kx 2++3=0（k 为常数）是一元二次方程_________．
【变式1】判断下列各式哪些是一元二次方程．
① ；②；③
；④
；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．
【例2】关于x 的方程2x 2−(a +1)x =x (x −1)−1的一次项系数是-1，则a .
21x x ++2960x x −=2102y =215402x x −+=2230x xy y +−=232y =2(1)(1)x x x +−=
【变式2-1】若一元二次方程()()m x m x m 222−2+3+15+−4=0的常数项为零，则m 的值为_________．
【变式2-2】若a b a b x x 2+−−3+1=0是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．
【例3】（1）已知关于x 的一元二次方程()m x x m 22−1+2+−1=0有一个根是x =0，则m 的值为_______．
（2）x=1是x 2−ax +7=0的根，则a= .
（3）已知关于x 的一元二次方程 有一个根是0，求m 的值.
【变式3-1】如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是(
)
A ．-3，2
B ．3，-2
C ．2，-3
D ．2，3
【变式3-2】已知a 是一元二次方程x x 2−2−1=0的根，求下列各式的值： ①a a 1−； ②a a 221+； ③a a a 22−3
−3++52．
22(1)210m x x m −++−=
【例4】关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =−，21x =，（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则方程2(2)0a x m b +++=的解是__________．
【变式4-1】关于x 的方程a （x+m ）2+n=0（a ，m ，n 均为常数，m≠0）的解是x 1=﹣2，x 2=3，则方程 a （x+m ﹣5）2+n=0的解是（ ）
A ．x 1=﹣2，x 2=3
B ．x 1=﹣7，x 2=﹣2
C ．x 1=3，x 2=﹣2
D ．x 1=3，x 2=8
要点二、一元二次方程的解法
1． 直接开平方法：适用于解形如()(),≥ax b c a c 2+=≠00的一元二次方程．
2． 配方法：解形如()ax bx c a 2++=0≠0的一元二次方程，
运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
① 将 系数化为1．
② 将 项右移．
③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）．
③ 化成()x m n 2+=的形式．
④ 若 ，直接开平方得出方程的解．
【例5】解方程：（1）()x x x 22−6+9=5−2
（2）()()x x 224−2−3−1=0
【变式5】解方程： (1)(3x+2）2=4（x ﹣1）2； (2)（x-2）2=25.
【例6】用配方法解方程：（1）x x 2−4−1=0
（2）x x 22−8−3=0
（3）x x 24−6−4=0
【变式6】用配方法解方程： （1）2x 2﹣4x ﹣3=0； （2）3x 2﹣12x ﹣3=0.
3.公式法：将()ax bx c a 2++=0≠0进行配方可以得到：b b ac x a a 2
22−4⎛⎫+= ⎪24⎝⎭．
当 时，两个根为,x 12=，其中b ac 2−4=0时，两根相等为b x x a
12−==2； 当 ，没有实数根．
可以用△表示b ac 2−4，△称为根的判别式．
运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
①把方程化为一般形式；
②确定a 、b 、c 的值；
③计算b ac 2−4的值；
④若≥b ac 2−40，则代入公式求方程的根；
⑤ 若b ac 2−4<0，则方程无实数根．
【例7】用公式法解方程：（1）()x x 2−5=2+1
（2）()x x x x 1⎛⎫6+1+4−3=22+ ⎪2⎝
⎭
4.因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．
因式分解法的一般步骤：
② 将方程化为一元二次方程的一般形式；
⑥ 把方程的左边分解为两个一次因式的积，方程右边是零；
③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解．
【例8】用因式分解法解方程：
（1）22320x x −−=
（2）2(21)36x x −=−
（3）26x −=
【变式8】用因式分解法解方程：
（1）﹣3x 2+22x ﹣12=12． （2）3x 2﹣x ﹣4=0
【例9】选择合适的方法求解下列方程：（1）x x 2547−25−572=0
（2）x 23=1
【课后作业】
1．如果关于x 的方程()a x x 2−1+5−6=0是一元二次方程，则（ ） A ．a >1 B ．a =1 C ．a <1 D ．a ≠1
2．如果关于x 的方程()m m x x 2
−7−3−+3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为______．
3．关于x 的一元二次方程x ax a 2++=0的一个根是x =3，则a =________．
4．若实数a ，b ，c 满足a b c 4−2+=0，则关于x 的一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0一定有一个根_________．
5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x x 2−12+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A ．14
B ．12
C ．12或14
D ．以上都不对
6．已知a 是方程x x 2+−1=0的根，求a a a 32−−3+1的值．
7．解方程：（1）()x 2
2−4−6=03
（2）x x 22−8−198=0 （3）()()x x −5−7=1
8．解关于x 的方程：
（1）x mx m n 222−2+−=0 （2）x a ax a 22+3=4−2+1
（3）()()a b c x ax a b c 2−++2++−=0
9．解方程：()()x x x x 2222+−22+=3．。