广东省东莞市第五高级中学2020-2021学年高一下学期3月段考数学试题

东莞市第五高级中学2020—2021学年度第二学期第一阶段考试
高一年级数学试卷
满分150分，考试时间120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z 满足12z i =-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．若=(2,1), =(1,0)a b ，则32a b +的坐标是 ( )
A ．()53，
B ．()43，
C ．()83，
D ．()01-，
3．在ABC 中，点M 满足2BM MC =，则（ ）
A ．12
33AM AB AC =
+ B ．231
3AM AB AC =
+ C ．12
33
AM AB AC =-
D ．231
3
AM AB AC =-
4．在ABC 中，若105A =︒，45B =︒，22b =，则c 等于（ ） A ．1
B ．2
C ．2
D ．3
5．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数为（ ）
A ．17i -
B ．17i --
C ．17i +
D ．17i -+
6．在△ABC 中，sin :sin :sin 6:7:8A B C =，则cos C （ ）
A ．12-
B ．12
C ．14
- D ．14
7．如图，为测量河对岸A ，B 两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则A ，B 两点的距离是( )
A ．202米
B ．206米
C ．402米
D ．203米
8．如图四边形ABCD 为平行四边形，
11
,22
AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为（ ） A ．12
B ．
23
C ．13
D ．1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下面是关于复数2
1i
z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z =
B ．22z i =
C ．z 是方程0222=++x x 的一个根
D ．z 的虚部为i -
10．下列说法中错误的是( )
A ．向量A
B 与CD 是共线向量,则A ，B ，
C ，
D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线
C ．若,a b b c ==，则a c =
D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 11．下列结论正确的是（ ）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．在ABC 中，若4
C
π
，22a c bc -=，则ABC 为等腰直角三角形
D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积33S =，则三角形外接圆半径为
3
12．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ） A ．0GA GB GC ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =
D ．OA OB OC ==
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．
13．已知向量a 与b 的夹角为120°，且4a b ==，那么()
3b a b ⋅+的值为______. 14．向量()1,0a =，()21,b m =，若()
a ma
b ⊥-，则m =_________. 15．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b
c ，已知, 33
B b π
=
=，则a c +的取值范围为_____.
16．在ABC 中，6AB =，4AC =，120A ∠=︒，AG mAB AC =+，则AG 的最小值为______，
若AG BC ⊥，则m =______．(对一空得3分，全对得5分)
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题10分)已知向量,a b 满足2a =，1b =.
(1)若,a b 的夹角θ为4π
，求a b
+；
(2)若()
a b b +⊥，求a 与b 的夹角θ.
18．(本题12分)已知m 为实数，设复数22(56)(215)z m m m m i =+++--.
（1）当z 为虚数时，求m 的值；
（2）当z 对应的点在直线70x y ++=上，求m 的值.
19．(本题12分)在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2sin 3a B b =． （1）求角A 的大小；
（2）若8a =，10b c +=，求ABC ∆的面积．
20．(本题12分)如图在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，H 为线段BE 上靠近点E 的四等分点，记AB a =，AD b =. （1）用a ，b 表示AE ，AH ； （2）求线段AH 的长.
21．(本题12分)已知半圆圆心为O ，直径4AB =，C 为半圆弧上靠近点A 的三等分点，若P 为半径OC 上的动点，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示. (1)求点A 、B 、C 的坐标；
(2)若31
44
PA CA CB =-，求PA 与CB 夹角的大小；
(3)试确定点P 的位置，使PO PA ⋅取得最小值，并求此最小值.
22.（本题满分12分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位：m 高度h =4m ，仰角∠ABE =α，∠ADE =β．
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20（2大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m ，试问d
A C
P
B O
x
y
（第21题图）
东莞市第五高级中学2020—2021学年度第二学期第一阶段考试
13．－8 14．1 15． 16． 12
【详解】 1
．A
【详解】△12z i =-，△12i z =+，则z 在复平面内对应的点(1,2)位于第一象限.故选：A. 2．C 【详解】(2,1),(1,0)a b ==，323(2,1)2(1,0)(8,3)a b ∴+=+=.故选C.
3．A
【详解】由点M 满足2BM MC =，可得2
3
BM BC =, 由图可知()
2212
+++3333
AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC ===-=+,故选：A 4．B
【详解】由105A =︒，45B =︒，可得30C =︒
由正弦定理得sin sin c b C B
=，2
122
c c =⇒=.故选：B 5．C
【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ， △OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同， △023052x y +=-+⎧⎨
+=+⎩，即1
7x y =⎧⎨=⎩
，△B 点对应是17i +．故选：C ．
6．D
【详解】由正弦定理，可得::sin :sin :sin 6:7:8a b c A B C ==， 设6(0)a k k =>，则7,8b k c k ==，
由余弦定理，可得cos C 22222222
3649642112267844
a b c k k k k ab k k k +-+-====⨯⨯.故选：D.
7．B
【详解】在△BCD 中，∠BDC ＝60°＋30°＝90°，∠BCD ＝45°，
所以∠CBD ＝90°－45°＝∠BCD ，所以BD ＝CD ＝40，BC ＝BD 2＋CD 2＝40 2.
在△ACD 中，∠ADC ＝30°，∠ACD ＝105°，则∠CAD ＝45°. 由正弦定理，得AC ＝CD sin 30°
sin 45°
＝20 2.
在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos ∠BCA
＝(402)2＋(202)2－2×402×202×cos 60°
＝2 400，所以AB ＝206，故A ，B 两点之间的距离为206米．
8．D
【详解】选取,AB AD 为基底，则1
3
AF AD DF AB AD =+=+， 又()
()122AF AC DE AB AD AB AD AB AD μλμλμλλμ⎛⎫⎛
⎫=+=+++-=++-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
将以上两式比较系数可得1λμ-=．故选D ． 9．BC
【详解】解：22(1)
11(1)(1)
i z i i i i --=
==---+-+--，||z ∴=A 错误； 22i z =，B 正确；0222=++z z ，C 正确；z 的虚部为1-，D 错误.故选：BC.
10．AD
【详解】AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确；若,a b b c ==，则a c =，故C 正确； 温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误.故选：AD 11．ABC
【详解】在ABC 中，由2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B >⇒>⇒>⇒>，故A 正确；
若2
2
2
0b c a +->，则222cos 02b c a A bc
+-=>，又因为0A π<<，所以A 为锐角，符合
ABC 为锐角三角形，故B 正确；
对选项C ，222
2cos
4
c a b ab π
=+-，整理得：2222c a b ab =+-.
因为22a c bc -=，所以220bc b ab +-=，即2b c a +=
所以sin sin
2sin 4
B A π
+=，即2sin 2sin()4
B B π+
=+， 2sin 2(sin cos cos sin )sin cos 244
B B B B B ππ
+
=+=+， 即2
cos 2
B =，又0B π<<，所以4B π=.
故44
2
A π
π
π
π=-
-
=
，则ABC 为等腰直角三角形，故C 正确.
对选项D ，113
sin 333222
S bc A c =
=⨯⨯⨯=，解得4c =. 2221
2cos 916234132
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯
=，所以13a =. 又因为
13239132sin 6033
R =⨯==，39
R =
，故D 错误.故选：ABC 12．ABD
【详解】因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心，
且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以1
2
GO HG =
， 对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，
又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确； 对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，
3AM GM =，因为12GO HG =
，所以2
3
HG HO =， ()
226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫
+===-=- ⎪⎝⎭
()
646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，
故选项B 正确；
对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确；
对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即OA OB OC ==，故选项D 正确；故选：ABD. 13．－8
【详解】()
2
2
33344cos12048b a b a b b ⋅+=⋅+=⨯⨯⨯︒+=-.故答案为： -8.
14．1
【详解】因为(
)2
1,ma b m m -=--，且()0a ma b ⋅-=，故10m -=，解得1m =.
15．
【详解】因为ABC 中，3
B π
=
，b =
2222cos b a c ac B =+-，
即()()()()()2
2
2
2
2
332344
a c a c a c ac ac a c ac a c ++=+--=+-≥+-=
，
当且仅当a c =时，等号成立，所以()2
12a c +≤，则a c +≤
又在三角形中，两边之和大于第三边，则a c b +>=a c <+≤
16．
7
12
【详解】因为AG mAB AC =+，所以()
2
222
2=2AG mAB AC m AB AC mAB AC =+++⋅
2
2
2
2
2
16264cos12043624163612123m m m m m ⎛
⎫=⋅+⨯⨯⨯+=-+=-+≥ ⎪⎝
⎭
所以23AG ≥
若AG BC ⊥，则0AG BC ⋅=，即()()
0m AC B AB A AC ⋅-=+，
整理得：()2
2
10mAB m AB AC AC -+-⋅+=，
所以()36121160m m ---+=，解得：7
12
m =.
17．【详解】（1）由已知，得••cos 2114
2
a b a b π
==⨯
=，…………2分 所以()
2
2
2
2
2a b
a b
a b a b +=+=++⋅2125=++=，所以5a b +=.………5分
（2）因为()
a b b +⊥，所以()
•0a b b +=.所以2•0a b b +=，…………6分 即2
•1a b b =-=-，所以•12
cos 2•a b a b
θ-=
==-.…………………………9分
又[]
0,θπ∈，所以34πθ=，即a 与b 的夹角为
34
π
.…………………………10分
18.解：（1）当z 为虚数时，有2
2150m m --≠， ……………………………2分
即0)3)(5(≠+-m m ， ……………………………3分 亦即5≠m 且3-≠m ， ……………………………6分
（2）
复数z 对应的点2
2
(56,215)p m m m m ++--在直线70x y ++=上，
225621570m m m m ∴+++--+=， ……………………………8分
即02322
=-+m m ， ……………………………9分
解得2-=m 或2
1
=
m ， …………………………11分 所以，复数z 对应的点在直线70x y ++=上时，2-=m 或2
1
=m . ……………12分
19．（1）∵b B a 3sin 2=
由正弦定理得B B A sin 3sin sin 2= ……………2分
∴ 2
3
sin =
A ……………4分 又ABC ∆为锐角三角形，∴3
π
=
A ……………5分
（2）∵10,8=+=c b a
由余弦定理得：A bc c b a cos 2-2
22+= ……………6分 )
1(cos 2-2bc 2
2
+++=A bc c b )13
(cos 2-2
++=π
bc c b ）（
即：23
2-10064•=bc
∴12=bc ……………10分
332
3
1221sin 21=•
•==∆A bc S ABC ……………12分
20.【详解】（1）由已知得11++
++21
2
2AE AD DE AD DC AD AB a b ====，……3分 ()
33++++443153++4284
AH AB BH AB B a b a a b
E AB BC CE ⎛⎫-= =⎪⎝⎭===，
………………………………………………7分（求出BH 也应给2分）
所以12+A a b E =
，53
+84
H a b A =；（可不写） （2）由（1）得53
+84
H a b A =，
所以22
2
2
2595349+5+2cos6064
16843+844a b b a A b H a ⎛⎫=⨯⨯⋅⨯=
=⎪⎝⎭，…………11分 所以线段AH 的长为
7
2
.………………………………12分
21.解:(1)因为半圆的直径4AB =，由题易知：(2,0)A -、(2,0)B ， …………1分
又3
2,2π
=
∠=BOC OC ,易得: )3,1(-C . …………2分
(2)由（1）知，(1,CA =-，(3,CB =， …………4分
所以313(,442PA CA CB =
-=-. …………5分 设PA 与CB 夹角为α，则=αcos 1
2||||3PA CB PA CB ⋅==-， …………6分
又因为],0[πα∈，所以32π
α=
，即PA 与CB 的夹角为23
π. …………7分
(3)设OP tOC =（01t ≤≤），由（1）知，
(()OP t t =-=-，(,)PO t =，
(2,)PA t =-+， …………9分
所以2
2
2
1
1
(2)3424()4
4
PA PO t t t t t t ⋅=-++=-=--
. …………10分 又因为01t ≤≤，所以当14
t =时，⋅有最小值为41
-，
此时点P 的坐标为)4
3,41(-
. …………12分
22. 【解析】（1）
tan tan H H
AD AD ββ
=⇒=，……………………1分 同理：tan H
AB α
=
，tan h BD β=． ……………………3分
AD —AB =DB ，故得
tan tan tan H H h βαβ
-=，……………………4分 解得tan 4 1.24
124tan tan 1.24 1.20
h H αβα⨯=
==--．
因此，算出的电视塔的高度H 是124m ．……………………5分 （2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h
d AD DB d αβ-=
===
，…………7分 2tan tan tan()()
1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d αβαβαβ--
--====
--+⋅+-+⋅+
……………………9分
()
H H h d d
-+
≥
（当且仅当d ==
取等号）故当d =tan()αβ-最大．……………………11分 因为02
π
βα<<<
，则02
π
αβ<-<
，
所以当d =α-β最大．
故所求的d
是．……………………12分。