格子玻尔兹曼方法及其在大气湍流研究中的应用_图文(精)

第22卷第3期2007年3月
地球科学进展
A DVAN CE S I N E AR T H S C I E N C E
V o l.22N o.3
M a r.,2007
文章编号:1001-8166(200703--12
格子玻尔兹曼方法及其在大气湍流研究中的应用*
程雪玲,胡非,赵松年,姜金华
(中国科学院大气物理研究所大气边界层物理和大气化学国家重点实验室,北京100029
摘要:文章的目的是对格子玻尔兹曼方法进行系统的介绍,格子玻尔兹曼方法(L a tti ce B o lt z m a nn M e t hod的出现直接来源于20世纪60年代的元胞自动机(C e ll u l a r A u t om a t a思想,而这一方法用于解决流动现象时,又可以追溯到19世纪的分子运动论,求解的是B o lt z m a nn提出的玻尔兹曼输运方程,因此将这一方法称为格子玻尔兹曼方法,之前也被称为格子气自动机(L a tti c e G a s A u t om a-t o n。

该方法多用于研究复杂现象,如材料晶体凝聚时的生长过程、城市土地利用的演化等方面。

在20世纪70年代由H a r dy、P om e au和P a zz i s建立了第一个用于研究流体运动的格子气自动机,此后,这一方法被广泛用来模拟各种流动问题,诸如二相流、孔隙介质中的渗流等,并根据这一方法开发了相应的商业软件P ow e r F l o w。

同时,格子玻尔兹曼方法由于其在微观水平描述运动的特点,成为研究湍流的一个很好的数值计算工具,特别是用其进行直接数值模拟(D N S计算,成为继传统的差分法、有限体积法和谱方法之后的又一有力的手段。

而作为大气运动的一个主要现象的大气
湍流,比普通湍流更加复杂,在这里着重介绍了大气湍流的特点和应用格子玻尔兹曼方法模拟湍流的发展过程。

关键词:格子玻尔兹曼;元胞自动机;格子气;直接数值模拟;大气湍流
中图分类号:P425.2文献标识码:A
1引言
元胞自动机是空间和时间都离散、物理参量只取有限数值集的物理系统的理想化模型。

元胞自动机的思想首先是由J o hn v o n N eum ann提出的,尽管由于他在20世纪40年代末参与了第一台数字计算机的设计,而使他的名字与当代串行计算机联系起来,但他通过模仿人脑的并行化特点而提出的元胞自动机思想,第一次人工构造出动力演化系统,为解决复杂问题开创了新的方向。

在20世纪60年代他和S.U l a m构造了一个自复制系统,这个系统中元胞的活动是同时进行的,所有元胞的演化规则是相同的,随邻近元胞的状态而变化,这一系统用来模拟生物的自复制过程。

尽管这一结果连极原始的生命形式也算不上,但却具有非常重大的意义。

因为通常认为,机器只能构造比自身简单的结构,而采用自复制元胞自动机,却可以获得一种能产生新的、具有同样复杂性和功能的“机器”。

继V on N e um ann的研究之后,另一些学者也遵循同样的研究路线,继续研究这个问题。

在1970年,这方面的工作被C o nw-ay等加以发展,提出了著名的“生命游戏”(G am e of L if e模型,这是一个二维元胞自动机的实例。

结果表明,生命游戏机有出乎意料的丰富行为。

而元胞自动机真正被系统地作为动力系统来研究和应用当推S.W o lf r am,他于1983年在《现代物理评论》杂志上发表了奠基性的论文“元胞自动机的统计力学”,
*收稿日期:2006-11-27;修回日期:2007-01-11.
*基金项目:国家自然科学基金项目“大气湍流能量级串机理及其格子气数值模拟的研究”(编号:40405004;国家自然科学基金重点项目“非均匀地表通量与大气边界层过程的研究”(编号:40233030;国家自然科学基金项目“非均匀下垫面上中尺度通量
参数化的研究”(编号:40605006资助.
作者简介:程雪玲(1971-,女,辽宁大连人,副研,主要从事大气边界层湍流理论以及湍流扩散的数值模拟等方面的研究.
E- m a i l:c hengxl@m a i l. l apc. a c. c n
掀起了元胞自动机研究的新高潮[1]。

一般公认,H a r dy等[2]于20世纪70年代建立的所谓H P P格子气模型实际上是元胞自动机,这个模型是由简单、具有全离散动力特性的粒子构成,粒子以保持动量守恒和粒子数守恒的方式,在二维方形网格上运动和碰撞。

然而,出乎最初的预想结果,格子气模型并不优于流体力学的传统数值方法。

虽然这种方法在计算流体运动时,由于其布尔(B o o l e性质,可以不做什么近似,如对于多体碰撞项中的多体相关函数可以直接表达出来,而不用将其分解成单粒子密度函数之积,因此在计算机上能够精确地进行模型的演化。

但是也正是由于其处理的是布尔量和碰撞规则的布尔性质,使得一方面在对布尔量求统计平均时产生噪音,另一方面用布尔性质对模拟的物理系统的参数的调节欠灵活,如用碰撞规则来确定的粘滞性通常都很高,且不可调节,因此造成实际研究的困难。

20世纪80年代末,M c N am a r a等[3]、H i gue r a s i等[4]证明了把自动机的布尔动力学扩展到直接处理实数(表示元胞具有指定状态概率的优点。

且M c N a-m a r a等[3]在他们的工作中首先研究了将元胞自动机思想应用于求解玻尔兹曼方程的数值模拟,这也就是现在广泛用来模拟各种流动的格子玻尔兹曼方法。

早在18~19世纪,随着欧洲的工业革命带动了热机的发展,建立了热力学第一定律、热力学第二定律,而对于后者的研究更是由于玻尔兹曼等人致力于探究热力学底下的微观层次中的分子机制,而促使统计物理学的蓬勃发展[5]。

1857年克劳修斯发表了题为《论热运动形式》一文,首次引进了统计概念.他指出单系统的宏观性质只是大量分子运动的平均效果。

1860年麦克斯韦在《气体动力论的说明》一文中,首先认识到分子的速度各不相同而得到了速度分布律———麦克斯韦速度分布律。

奥地利物理学家玻尔兹曼把分子运动论理论的研究推向了高峰。

玻尔兹曼在接受了麦克斯韦速度分布律的规律后,进而考虑到麦克斯韦的分布律,只反映了气体平衡态
下的情况,其中没有时间因子,他试图建立起非平衡态分布的运动方程,在1872年,他得出了速度分布函数必须满足的非线性积分微分方程,即著名的玻尔兹曼(B o lt z m a nn方程。

而玻尔兹曼基于分子运动的统计特性研究宏观现象的思想,随着计算机技术的发展,新的计算方法的出现,更是从热力学研究领域向流体力学等更广阔的物理学科扩展,
我们这里所介绍的格子玻尔兹曼方法即是用于研究流动现象的一例。

2格子玻尔兹曼方法
2.1玻尔兹曼方程
假设所考虑的系统是稀薄气体,可忽略三体及三体以上的碰撞,而只考虑二体碰撞,且假设是弹性碰撞。

再假定气体是单一成分的单原子分子,即没有源项,则粒子在相空间(珒r,珒v附近的小体积元d珒r d珒v
中的粒子数f d珒r d珒v,它随时间的变化率55t(f d珒r d珒v由以下部分组成:
(1粒子在坐标空间中运动造成的变化率[55t
(f d珒r d珒v]1,由于速度在珒v附近d珒v范围内分子的运动所造成d珒r体积元中粒子数的增加率为:-d v∮
σ
f珒v・dσ,其中σ表示小体积的表面,dσ是小面积元,方向沿表面外法向。

利用G au s s定理有:
-d珒v o∮
σ
f珒v・dσ=-d v∫55r(f珒vd珒r
由于珒v和珒r都是独立变量55r(f珒v=珒v・55r又考虑到整个体积就是d珒r,便有:
[55t(f d珒r d珒v]1=d珒v d珒r・珒v・55珒r(1
(2粒子在速度空间中迁移造成的变化率[55t
(f d珒r d珒v]2,这是因为在相空间中,坐标中包含有速度坐标珒v,所以才有这一项,和上一项同样方法可以简化为,
[55t(f d珒r d珒v]2=d珒v d珒r55珒v・(f珗F m(2其中珗F是作用于粒子的外力,m是粒子质量。

如果5
5v珗F,则有,
[55t(f d珒r d珒v]2=d珒v d珒r珗F m・5f5v(3 (3粒子间相互碰撞造成的变化率5f5t c d珒r d珒v,设珒v与
珒v
2是碰撞前两分子的速度,碰撞后速度分别为
珒v′,
珒v′
2,则碰撞项可以写成:
(5f5tc=∫dΩσ(|g|,θ|g|
[f(珒v′f(珒v′2-f(珒vf(珒v2d珒v2(4
3地球科学进展
第22卷
其中,f (珒r ,珒v ,t 称为单粒子分布函数,g 是两个分子的相对速度,θ为g 与质点系中心线的夹角,σ为微分散射截面,Ω为固体角。

由于有:
55t
(f d 珒r d 珒v =[55t
(f d 珒r d 珒v ]1+[55
t (f d 珒r d 珒v ]2
+(5f
5t
c d 珒
r d 珒v (5
将式(1、(3和(4代入到式(5中,
得到:
5f 5
t +珒v ・5f 5珒r +珗F
m ・5f 5珒v
=∫
d Ωσ(| g |,θ| g |( f ′ f ′2
-f f
2
d 珒v 2
(6
这就是稀薄气体的输运方程,也称为玻尔兹曼输运方程[6,7]。

考虑系统不受外力作用的简单情形,此时玻尔兹曼方程简化为:
5f
5t
+珒v ・èf =(5f
5t
c
(7但该方程当时无法求解,直到40年后(1916
—1917
S . C h a pm a n 和 D . E n s k o g 才第一次得出在一般情况下求解的一种方法。

这是一种将分布函数展
开成努森(
K nud s e n 数的幂级数的逐级近似方法。

他们假设系统虽未达到平衡,但在每一小局域的体积中已离局部平衡不远。

所谓局部平衡,是指分子
的速度服从
M ax w e l l - B o lt z m a nn 分布:f 0(珒r ,珒v ,t =n (珒r ,t
m
2πk B T (珒r ,t (
3/2
e x p -
m v
2
2k B T (珒r ,t (
(8
其中n (珒r ,珒v ,t =ρ(珒r ,t /m 。

假设f 可在f
0附近展开, f = f 0+K nf 1+K n 2
f 2+…
(9
K n =τD f/D t
f
n
1,为努森( K nud s e n 数,表示2个基
本的时间尺度(当以平均自由程和流体空间尺度表示时为长度尺度之比,也就是说:分子碰撞时间尺度τ(或者与湍流涡的相互作用相关的特征碰撞时间尺度τ t u r b ,和由于平均流的非均匀性形成的偏离
当地值的对流时间尺度之比,
D / D t 是实导数。

根据其一级近似所得的流体动力学方程,就是
通常适用于连续介质的 N av i e r - S t o k e s (N S 流体动力
学方程组。

但是这之后,玻尔兹曼方程并未能象N S 方程那样,随着计算机技术的发展,在数值模拟方面
得到广泛的应用,直到20世纪60年代元胞自动机理论的出现,在此基础上,科学家们成功地进行了首批流体力学格子气模拟,为玻尔兹曼方程的格子化提供了数学手段。

2.2格子玻尔兹曼方法
H a r dy 等所建立的 H PP 格子气模型的物理过程
实际上与玻尔兹曼方程所反映的物理过程相似,其基本要素是:①空间离散,将流体存在的空间划分成间距为1的正方形网格(图1a ;②流体离散,将流体想象成由许多只有质量(单位质量,没有体积的微小粒子组成,每个粒子可向4个方向之一运动;③时间离散,有了流体及其存在的空间,它们的相互作用就称为时间作用步,分为粒子在每个节点上的相互碰撞和从一点到邻近点的移动(图1b ;④碰撞规则,当且仅当只有两个粒子沿相反的方向到达某节点时(对头碰撞,它们沿另外的两个方向离开该节
点,其他情形则直接穿透(图1c ;⑤
P a u l i 不相容原理,在同一时刻同一网格点上,每一个速度方向最多
只允许有一个粒子,它为 B o o l e 型表示法提供了可能,可以用“1”表示有粒子,“0”表示没有粒子。

有了以上5条要素,若再给定边界上的碰撞规
则和初始状态,系统就变成了一个离散化
B oo l e 化(a H PP 模型网格(b 时间步作用过程
(c 碰撞规则
图1
H P P 模型 F i g.1 H P P m o d el
1
3第3期程雪玲等:格子玻尔兹曼方法及其在大气湍流研究中的应用
动力系统———格子气自动机[7](L a tti ce G as A u t o m a-t a,L G A;它可以随着分离的时间步而运行。

如前所述,如果我们考虑系统不受外力作用,简化的玻尔兹曼方程为:
5f
5t+珒v・èf=(5f
5tc(10
考虑我们所讨论的格子气模型,可以知道有2个因素导致f随时间变化:①粒子从一个节点到另一个节点的运动;②在网格节点上粒子间的相互碰撞。

实际上粒子间不断发生的碰撞,对f的影响非常复杂,我们只引入一个简单的碰撞项Ω,得到格子玻尔兹曼方程:
f1(x+e i,t+1-f i(x,t=Ωi(11下标i表示粒子的某个运动方向。

在格子玻尔兹曼方程中,如果直接计算碰撞项,计算量相当巨大,对这个问题的解决是由H i gue r a 及其合作者[4,8]提出来的。

早在1954年,B h a t n a ger 等[9,10]曾假设,那些描述涡与涡之间相互作用的真实的(也是未知的碰撞作用的具体细节并不重要,他们提出了一个简化的碰撞模式,将玻尔兹曼方程简化为:
5f
5t+珒v・5f
5x=-
1
τ
(f-f e q(12
在这种形式的玻尔兹曼方程中,碰撞表达式中包含了在特征时间尺度τ内达到局地平衡分布τ这一松弛项,该模式被称为B G K模式。

它描述了分子相互作用的物理本质,τ为分子碰撞时间,又可称为松弛时间。

尽管B G K模式似乎只适用于局地近平衡态,但人们认识到只要松弛时间的长短能包含相关的物理特点,这样一种近似将超越其理论局限得到应用。

在湍流的B G K模式中,τ可用一个典型的湍流松弛时间τt u r b代替。

H i gue r a等人根据B G K模式将格子玻尔兹曼方程写为如下形式:
f i(x+e i,t+1-f i(x,t=
1
τt u r b
[f e q i(x,t-f i(x,t]
(13
其中,局部平衡解f e q i是密度∑f i和动量∑f i v i的给定函数。

可以选择函数f e q i,以便产生相应的物理现象,更一般意义上f e q i可以包括其他物理性质,例如局部温度等。

此方程被称为L B G K方程,也有人将格子玻尔兹曼方法称作L B G K 模式。

3格子玻尔兹曼方法的应用
格子玻尔兹曼方法是基于元胞自动机的并行思想得以实现的,一方面具有元胞自动机的由简单演化规则显现复杂动力特性的特点,在研究动力系统时得到丰富的物理图象,从而带来对物理问题深刻的认识;另一方面由于以玻尔兹曼方程为基础,使其在模拟流动现象时比元胞自动机更符合实际情况。

格子玻尔兹曼方法被广泛用来模拟各种流体流动,并被确信是胜过计算流体动力学传统数值技术的极好方法,其微观水平描述给出数值方法的自然解释,使之推广到复杂的流动问题,诸如二相流、磁流体动力学、孔隙介质中的渗流或热流体动力学,以及湍流运动的数值模拟等等。

3.1格子玻尔兹曼方法在各种物理领域的应用
元胞自动机最初是被用来模拟非生物过程的自繁殖系统[11,12],由元胞自动机规则显现出非常复杂且意想不到的行为。

而这之后,又有许许多多的规则被提出来[1],如模拟表面生长过程的规则,模拟森林火灾的概率元胞自动机规则,以及模拟像砂粒一样的颗粒的基本堆积和倒塌现象的砂堆规则。

S. W o lf r am更是将规则按动力学分类,进行了系统的研究[13-14]。

而这些规则也从单纯的理论研究到应用于实际问题中,如V i c hn i ac在20世纪80年代提出的相变统计模型(I s i ng模型的自旋动力Q2 R规则[15,16]。

元胞自动机的应用范围越来越广泛,比如扩散现象、材料晶体凝聚时的生长过程、岩石等非均质材料的弹、脆、塑性等性质的解释,城市土地利用的演化、道路交通流的模拟、对地震的模拟、林火的蔓延、流行病毒的传播、甚至舆论传播等等方面。

扩散现象在物理学、化学和生物学等许多领域中起着重要作用,其中有些过程非常复杂,难以用扩散方程的解来描述,而元胞自动机方法非常自然、很好地适合于进行数值模拟。

如产生两种介质接触间的粗糙界面,对扩散前锋的性质进行研究。

生长也是一种扩散现象,一般是在远离平衡态的时候形成的分形结构,比如由于曲率
原因驱动扩散进行进而引起晶粒长大的现象、过冷介质中的树枝状凝固现象等(图2。

现在,这一方法在研究金属材料的再结晶[17]、金属凝固过程的枝晶生长[18]等方面得到了广泛的应用。

由此,我们也可以看到,元胞自动机的优势在于能够通过规则对各种复杂的传播过程进行模拟,除了前面介绍的扩散、生长现象之外,还有象岩石的破裂[19](图3、地震波传播过程的模拟[20,21]。

2
3地球科学进展
第22卷
图2二维元胞自动机模拟枝晶的生长(黑色[1]
灰色点代表尚未凝聚的扩散粒子
F i g.2 N u m er i cal s i m u l a t i on o f d e nd r i t e d e ve l o p m e n t (
b l ack b y t h e 2 D
c e ll u l ar a u t om a t on [1]
I n f i g u re , g rays a r e u n- a gg l om e ra t i on g r a i n s
除此之外,利用元胞自动机具有模拟复杂系统的优势,人们还进行了各种社会现象的研究,如通过分析在人群集中的地方人员的自适应流动,找到出现瓶径现象的规律,从而为指导城市交通建设提供理论依据
[22]
(图4;对舆论传播这一社会复杂系统
的演化过程进行模拟,利用不同元胞给定值代表对舆论持不同态度的人,通过一定规则演化之后,得到给定值接近的元胞聚集在一起,与人们常说的“物以类聚,人以群分”的社会现象完全吻合
[23]
(图5。

在另一方面,元胞自动机的元胞空间与基于几何定位的地理空间概念有类似的意义,用元胞状态
的改变就可反映出地理特征的改变情况,在土地状况日益受到关注的今天,利用元胞自动机研究土地覆盖的变化
[24]
、人地关系
[25~27 ]
、城市发展规划
[28]
等问题取得了众多有价值的成果。

图3用模型获得的岩石裂隙的不同形式
F i g.3 N u m er i cal s i m u l a t i on o f t h e d i ff er e n t f orm s of t h e rock c ra nn y
图4人员流动过程中的成拱现象
[
22]
F i g.4 T h e arc h i n g p h e n om e n on i n c row d
p e d e s t r i an f l ow
[22]
3.2格子玻尔兹曼方法在流体计算中的应用
20世纪70年代,基于元胞自动机思想提出的 H PP 模型是能够进行流体运动计算的第一个格子
气模型,但实际上它最初是用于研究气体交互作用粒子的基本统计性质的。

而随着元胞自动机理论的发展,到80年代末,人们已预计全离散计算模型将替代风洞试验,使人们看到这一前景的格子气模型
图5模拟得到“物以类聚,人以群分”
[23]
F i g.5 S i m u l a t i on r es u l t on t h i n gs o f o n e
k i n d c om e t oge t h er
[23]
则是1986
年由 U . F r i s c h 等[29]
以及
S . W o lf r a m [30]
几乎在同时提出的著名的 F H P 模型。

此后,利用格
子气模型进行了一系列的流动现象的数值模拟
[31]
,
比如,卡门涡阶和有台阶的回流区计算、自由边界问
题、格子气的 M H D (磁流体动力模型、表面张力问
题、多孔介质问题、悬浮体模型、传热问题以及湍流问题等。

进一步,为了消除格子气模型布尔量求统
3
3第3期程雪玲等:格子玻尔兹曼方法及其在大气湍流研究中的应用
计平均时产生噪音,以及调节模拟的物理系统的参
数欠灵活等问题,研究人员引入了 M ax w e l l - B o lt z - m a nn 速度分布函数代替格子气中的布尔量,这种格
子玻尔兹曼方法能够避免数值的不稳定性,并可以
模拟高 R ey n o l ds 数流体的流动,目前被广泛用来模
拟各种流动问题[32,33]
,如多相流
[34~36 ]
、孔隙介质中
的渗流
[37~40 ]
,模拟风传输雪的过程等(图6,格子
玻尔兹曼方法的微观水平描述在计算这种复杂流动现象方面具有传统计算方法不可比拟的优势。

除此之外,利用格子玻尔兹曼方法计算的流动
图6沟道中雪沉积的三个连续阶段[1
](风从左向右吹
F i g.6 T h ree c o n t i nu o u s s n ow a ggra d a t i on m om e n t s i n s t re e t c a n yon [1]
( W i n d b l ow s f rom l e f t
图7不同排列的双圆柱绕流涡线图
[
41]
F i g.7 V or t i c i t y co n t o u r s i n t h e w a k e f l ow f i e l d s of var i o u s array c y li nd ers
[41]
图8建筑物内外的流线[
44]
F i g.8 S t ream l i n e s a ro un d t h e bu il d i n g
[44]
图9
P ow er F l ow 计算汽车外部流线① F i g.9 S t r eam l i n e s a ro un d t h e c ar b y P ow er F l o w
*
问题也越来越广泛,比如,绕流运动[41~43 ]
、室内流动[44]
(图8、可压缩的高速流动[45]
、浅水涌浪在固
体表面的反射和绕射现象
[46]
等。

近年来,格子玻尔兹曼方法在数值计算领域越
来越受到重视,并被用于研发形成商业 C FD 软件, P o w e r F L O W ′就是由美国 E X A 公司开发的基于格子玻尔兹曼方法的 C F D 软件,在短短不到20年的时
间里,实现了人们的期望:用全离散计算模型将替代风洞试验(图9。

除了这些工程上的应用之外,在大气领域的计算也初步取得了成果,比如利用旋转坐标系计算
R o s s by 涡
[47]
、计算正压大气运动
[48,49]
以及模拟重
力波
[50]
等。

3.3格子玻尔兹曼方法研究湍流
湍流也是一种流动现象,即流体的紊乱流动,在各种不同的流动过程中都能见到,如汽车或飞机周围的空气流动,大气运动等,我们之所以将其作为一个单独的题目介绍,在于它的重要性和困难性。

所有的湍流运动可用一组非线性偏微分方程来
描述,这些方程大约200 年前由 N av i e r 和 S t o k e s 首先提出来。

N av i e r - S t o k e s 公式的数学求解非常复杂,一个多世纪来,人们无法得到方程的解,特别是湍流运动的解
[51~53 ]。

3.3.1格子玻尔兹曼方法封闭N S 方程[
54]
当湍流发生时,随着能量的级串,能量由外界传
43地球科学进展
第22卷
①
h tt p :∥
w w w. e x a. c o m /
给大尺度涡L,然后向小尺度(大约η≈R e-3/4L量级,η称为K o l m o g o r ov长度涡传递,并最终耗散掉。

采用直接数值模拟(D N S求解湍流问题时,必须对所有被激发的自由度同时求解。

但对于多数实际情况,这个计算量相当巨大,如计算经过汽车的流动,雷诺数大约是106,至少需要计算1014个自由度,远远超出现有的最快的计算机的计算能力;因此,对于高雷诺数流动必须建立模式。

B o u ss i n e s q提出可以将小尺度场u′对大尺度场U的平均作用以类似分子撞击大尺度流场的方式来描述;也就是说,湍流的小尺度是通过涡粘性系数v e对大尺度作用的。

按照这种思路,湍流流动的大尺度常用N a v i er-S t okes方程描述,不过这里v则用修正的有效粘性系数v t=v+v e所代替。

1941年,K o l m o g o r ov[55]提出当雷诺数很大时,湍流的统计特性具有普适性,也就是说,它们只依赖湍能的耗散率。

因此,在湍流运动中,湍能从大尺度(外部作用如加热,可认为是原动力向非常小的尺度传递,普适性意味着存在一个相当宽的尺度范围,其中能量传递的统计特性不依赖(或稍微依赖于大尺度流动特性。

因此,对于Δn L,人们可以将小
于Δ的尺度的动力学特性参数化,得到有效粘性系数v t(Δ,就可以正确反映能量向小尺度的传递;这简化了计算,对计算机的计算能力要求也降低了。

然而,对涡粘性系数的基本假设及修正,依赖于已存在的尺度分离,即可解的大尺度的运动与那些不可解的脉动涡的分离。

但是,由于缺乏尺度间的明确的划分,使得涡粘性模型的有效性受到质疑[56,57]。

格子玻尔兹曼方法为解决湍流问题提供了一个不同的途径,在此方法中,尽管大的湍流涡仍被看作存在于涡的海洋中,但却不再依赖于尺度分离的假设。

如前所述,N a v i e r-S t o k e s方程可通过L B G K方程以幂K n展开的低阶截断得到,当K n n1,在两个基本尺度间存在尺度分离,格子玻尔兹曼方程(式13包含了涡粘性模式,湍流涡粘性系数正比于τt u r b;当K n不很小且不存在尺度分离时,τt u r b表示各尺度湍流涡粘性的重整化求和,本质上优于N a v i er-S t okes方程中依赖于尺度分离的涡粘性系数。

下面,用此方程导出更普适的涡粘性模式,即确定湍流脉动的自松弛时间τt u r b[54]。

τt u r b应依赖于反映不同湍流机制的时间尺度,
τt u r b=τ0+Ψ(k/ε,S-1,…(14其中,τ0是基本的分子松弛时间,k是湍流动能,ε是湍流耗散率,S是当地速度梯度的度量。

这里,k/ε和S-1是湍流特征时间尺度。

由于存在其他的湍流作用,比如浮力和旋转,方程14中可能还要包括其他的固有时间。

因此,方程中Ψ的典型的函数形式应当是湍流时间尺度的谐波平均(也就是说是湍流频率的叠加。

通过推导得到有效松弛时间τt u r b,
τt u r b=τ0+C
μ
k2ε
T(1+η21/2
(15其中,Cμ=0.085,η=S k/ε,T是绝对温度。

在K n→0时,即两个基本尺度间存在尺度分离,可导出基于重整化群的k-ε涡粘性模型。

应用有效松弛时间τt u r b进行计算时,不必调整模式参数。

图9是应用此方法计算流动经过一个实际的小轿车。

3.3.2格子玻尔兹曼方法直接数值模拟
在上一节,我们介绍了K o l m o g o r ov[58]提出当雷诺数很大时,能量由外界输入给大尺度涡,然后向小尺度涡传递,并耗散掉。

由此可见,涡旋是流体运动的肌腱,它的生成、发展和演化,以及它与外部流动和物体之间的相互作用,影响了整个流场的特性。

涡旋研究的对象可以来自于解析解,如O ss e n涡、T ay l o r涡、B u r g e r s 涡等,这些具有解析解的涡结构都比较简单,对这些简单涡旋结构的研究是分析复杂涡旋流动的基础[59]。

而在20世纪50~60年代,人们在湍流场中又发现了拟序结构(C o h e r ent s t r uc-t u r e[60]。

拟序结构与涡旋有着极为密切的关系,一般认为拟序结构是存在于湍流场中的具有较大横向尺度的有规律的涡旋结构,但严格的说,只要是有规律的涡旋结构,不论尺度多大,都可以看成是拟序结构。

湍流就是由拟序结构和随机小涡背景流场共同构成的。

面对湍流这一复杂的现象,人们最早采用的是实验的方法,如雷诺实验,但这种流动显示实验很难进行定量的分析。

之后的热线风速仪以及超声风速仪,可以得到流场中单点速度的定量结果,但对流场有一定影响。

近年来激光多普勒测速技术可以对流场进行非接触性的测量,但成本较高。

20世纪80年代初,一种名为P I V(图像粒子测速的流场测量技术逐渐发展起来,它的原理是通过向流场中投放示踪粒子,然后测量和流体混合均匀的粒子的运动速度来间接测量粒子周围流体的速度。

P I V技术的特点是它不再是单点速度的测量,它可以测量一个平面内二维的流场,使人们可以得到流动的更多的信息。

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第3期程雪玲等:格子玻尔兹曼方法及其在大气湍流研究中的应用。