待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）
【学习目标】
1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．
【要点梳理】
要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：2
y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2
()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；
(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2
y ax bx c =++或2
()y a x h k =-+，
或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2
y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．
【典型例题】
类型一、用待定系数法求二次函数解析式
1．（2019秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．
【答案与解析】
解：设二次函数的解析式为y=ax 2
+bx+c ， 把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得
解得，
∴抛物线解析式为y=2x 2
+x ；
∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．
【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2
+bx+c (a ≠0). 举一反三：
【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式
高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例1】
【变式】已知：抛物线2y ax bx c =++经过A （0，5-），B （1，3-），C （1-，11-）三点，求它的顶点
坐标及对称轴．
【答案】设52
-+=bx ax y (a ≠0)，据题意列⎩⎨⎧--=--+=-51153b a b a ，解得⎩
⎨⎧=-=42b a ，
所得函数为5422
-+-=x x y 对称轴方程：1=x ，顶点()31-,.
2.（2019•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的
解析式．
【答案与解析】
解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），
设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2
﹣2， 把点（2，3）代入解析式，得： a ﹣2=3，即a=5，
∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2
﹣2． 【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 举一反三：
【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式
高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例2】
【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，
. （1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移
后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.
【答案】（1）2
23y x x =--．
（2）令0y =，得2
230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．
∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，
和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，
.
3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．
【答案与解析】
解法一：设二次函数解析式为2
y ax bx c =++(a ≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．
则有930,3,1,
2a b c c b
a
⎧
⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴ 抛物线解析式为2
23y x x =-++．
解法二：设抛物线解析式为12()()y a x x x x =--(a ≠0)． 由图象知，抛物线与x 轴两交点为(-1，0)，(3，0)． 则有(1)(3)y a x x =+-，即2
23y ax ax a =--． 又33a -=，∴ 1a =-．
∴ 抛抛物物解析式为2
23y x x =-++．
解法三：设二次函数解析式为2
()y a x h k =-+(a ≠0)． 则有2
(1)y a x k =-+，将点(3，0)，(0，3)代入得
40,3,a k a k +=⎧⎨
+=⎩ 解得1,
4.a k =-⎧⎨=⎩
∴ 二次函数解析式为2
(1)4y x =--+，即2
23y x x =-++．
【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解．
类型二、用待定系数法解题
4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ．
(1)求二次函数解析式； (2)求△ABC 的面积． 【答案与解析】
(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+-，
∴ 1a =-．
∴ (2)(4)y x x =-+-． 即2
28y x x =-++．
(2)由(1)知C(0，8)， ∴ 1
(42)8242
ABC S =
+⨯=△． 【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题 1．有理数﹣1
2
的倒数是（ ） A ．
12
B ．﹣2
C ．2
D ．1
2．如图，直线y ＝kx+b 交坐标轴于A 、B 两点，则不等式kx+4＜0的解集是（ ）
A.x ＜﹣3
B.x ＞﹣3
C.x ＜﹣6
D.x ＞﹣6
3．二次函数y ＝3（x ﹣1）2
+2，下列说法正确的是（ ） A ．图象的开口向下
B ．图象的顶点坐标是（1，2）
C ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小
D ．图象与y 轴的交点坐标为（0，2）
4．关于x 的一元二次方程2
(23)210a x x ---=有实数根，则a 满足( ) A ．a≥1
B ．a>1且a≠
32
C ．a≥1且a≠
32
D ．a≠
32
5．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示。

对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（ ）
A ．中位数是90
B ．众数是90
C ．极差是15
D ．平均数是90
6．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，对角线AC ，BD 交于点O ，过点O 作OG ⊥AB 于点G ．延长AB 至E ，使BE=
1
4
AB ，连接OE 交BC 于点F ，则BF 的长为（ ）
A ．
45
B ．1
C ．
32
D ．2
7．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步
骤正确的顺序是( )
已知：如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE //BC ，DF//AC ， 求证：ADE ∽DBF ． 证明：①又
DF//AC ，DE //BC ②，A BDF ∠∠∴=③，ADE B ∠∠∴=④，ADE ∴∽
DBF ．
A.③②④①
B.②④①③
C.③①④②
D.②③④①
8．小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（ ） ①小亮测试成绩的平均数比小明的高；②小亮测试成绩比小明的稳定；③小亮测试成绩的中位数比小明的高；④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
9．下列算式运算结果正确的是（ ） A ．（2x 5）2＝2x 10 B ．（﹣3）﹣2＝
1
9
C ．（a+1）2＝a 2+1
D ．a ﹣（a ﹣b ）＝﹣b
10．如图，四边形ABCD 中，AC 平∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，若AD ＝4，AB ＝6，则AC AF
的值为（ ）
A ．2
B ．
74
C ．
32
D ．
2
11．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，3），C （4，1），如果将Rt △ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°得到Rt △A′B′C′，那么点A 的对应点A'的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（3，4）C．（4，3）D．（4，4）
12．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°．其中正确的结论是（）
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
二、填空题
13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点,A B均在格点上，12,l l是一条小河平行的两岸. (Ⅰ)AB的距离等于_____；
(Ⅱ)现要在小河上修一座垂直于两岸的桥MN(点M在1l上，点N在2l上，桥的宽度忽略)，使
AM MN NB
++最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出MN，并简要说明点M，N的位置是如何找到的(不要求证明)_________________________________.
14．已知x满足（x+3）3＝64，则x等于_____．
15．如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在射线OB上有一点P，从点P点射出的一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是___________
16．已知反比例函数y
24
k
x
+
=（k是常数，且k≠﹣2）的图象有一支在第二象限，则k的取值范围是____．
17．要了解全市中考生的数学成绩在某一范围内的学生所占比例的大小，需知道相应样本的______（填“平
均数”或“频数分布”）
18的平方根为_____．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB，A（0，﹣3），B（﹣2，0）．将△OAB先绕点B 逆时针旋转90°得到△BO1A1，再把所得三角形向上平移2个单位得到△B1A2O2；
（1）在图中画出上述变换的图形，并涂黑；
（2）求△OAB在上述变换过程所扫过的面积．
20．如图1，正△ABC中，点D为BC边的中点，将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，点P为线段A′C上的一点，连接PD与B′C、AC分别交点点E、F，且∠PAC=∠EDC．
（1）求证：AP=2ED；
（2）猜想PA和PC的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接AD交B'C于点G，若AP=2，PC=4，求AG的长．
21．为减少雾霾对人体的伤害，某企业计划购进一批防霾口罩免费发放给市民使用，现甲、乙两个口罩厂有相同的防霾口罩可供选择，其具体销售方案如下表.
设购买防霾口罩x个，到两家口罩厂购买所需费用分别为y甲(元)，y乙(元)．
（1）该企业发现若从两厂分别购买防霾口罩各2500个共花费9750元，若从两厂分别购买防霾口罩各3000个共花费11600元，请求出m，n的值；
（2）请直接写出y甲，y乙与x之间的函数关系式；
（3）如果你是该企业的负责人，你认为到哪家口罩厂购买防霾口罩才合算，为什么？
22．如图，在△ABC 中，BE 是它的角平分线，∠C ＝90°，D 在AB 边上，以DB 为直径的半圆O 经过点E ，交BC 于点F ．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）已知sinA ＝
1
2
，⊙O 的半径为4，求图中阴影部分的面积．
23．（10(3)tan 45π︒--. （2）化简：2
(2)(1)x x x ---.
24．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 及以点C 为圆心，1为半径的⊙C ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为⊙C 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M 到⊙C 的“圆距离”，记作d （M ﹣C ）． （1）点C 在原点O 时.
①记点A （4，3）为图形M ，则d （M ﹣O ）＝ ；
②点B 与点A 关于x 轴对称，记线段AB 为图形M ，则d （M ﹣O ）＝ ；
③记函数y ＝kx+4（k ＞0）的图象为图形M ，且d （M ﹣O ）≤1，直接写出k 的取值范围；
（2）点C 坐标为（t ，0）时，点A ，B 与（1）中相同，记∠AOB 为图形M ，且d （M ﹣C ）＝1，直接写出t 的值．
25．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是______． （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，那么小明顺利通关的概率是______．
【参考答案】*** 一、选择题
二、填空题
13取格点C ，连接AC ，(使1AC l ⊥)，取格点E 、F ，连接EF (使1EF l )，与AC 交于点
A'；同理作点B'；连接AB'与1l 交于点M ，连接A'B 与2l 交于点N ，连接MN ，即为所求
14．
15．80°16．k＜﹣2．17．频数分布18．±2
三、解答题
19．（1）详见解析；（2）13
9 4
π+
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质，结合网格结构找出点A、O的对应点A1、O1，再与点B顺次连接即可得到△BO1A1；再根据平移的性质，结合网格结构找出点B、A1、O1的对应点B1、A2、O2，然后顺次连接即可得解；
（2）结合图形不难看出，变换过程所扫过的面积为扇形BAA1，与梯形A1A2O2B的面积的和，然后根据扇形的面积公式与梯形的面积公式列式进行计算即可求解．
【详解】
（1）如图所示；
（2）在Rt△AOB中，AB==
∴扇形BAA1的面积＝
2
9013
3604
π
π⋅⨯
=，
梯形A1A2O2B的面积＝1
2
×（2+4）×3＝9，
∴变换过程所扫过的面积＝扇形BAA1的面积+梯形A1A2O2B的面积＝13
4
π+9．
【点睛】
本题考查了利用旋转变换与平移变换作图，以及扇形的面积计算，熟悉网格结构找出对应点的位置是解题的关键．
20．（1）详见解析；（2）PA⊥PC.（3
【解析】
【分析】
（1）易证得△CDE∽△CAP，得到
1
2
DE CD
AP AC
==，即可证得结论；
（2）先证得A、D、C、P四点共圆，即可证得AC是共圆的直径，根据圆周角定理看证得∠APC=90°；（3）根据勾股定理求得等边三角形ABC的边长，由（1）的结论求得DE=1，根据勾股定理求得EC，然后
通过证得△EDG∽△ECD，得到DG DE
CD EC
，进而即可求得AG的长．
【详解】
（1）证明：∵将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，∴∠DCE=∠ACP，
∵∠PAC=∠EDC，
∴△CDE∽△CAP，
∴DE
AP
=
CD
AC
，
∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC，
∴点D为BC边的中点，
∴CD=1
2
BC=
1
2
AC，
∴DE
AP
=
CD
AC
=
1
2
，
∴AP=2ED；
（2）解：PA⊥PC，
理由：连接AD，如图1，
∵△ABC是等边三角形，BD=CD，∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠PAC=∠EDC，
∴A、D、C、P四点共圆，
∵∠ADC=90°，
∴AC是共圆的直径，
∴∠APC=90°，
∴PA⊥PC；
（3）解：如图2，
∵AP=2，PC=4，∠APC=90°，
∴
∴DC=
12∵AP=2ED ， ∴ED=1， ∵△CDE ∽△CAP ， ∴∠CED=∠APC=90°，
∴，
∵∠EDG+∠EDC=90°∠EDC+∠ECD=90°， ∴∠EDG=∠ECD ， ∵∠CED=∠DEG=90°， ∴△EDG ∽△ECD ， ∴
DG CD =DE EC
，
∴GD=
CD DE EC ⋅
∴ 【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，证得A 、D 、C 、P 四点共圆是解题的关键．
21．（1）m 的值是1.9，n 的值是1.8；（2）y 甲＝2(01000)1.9100(1000)x x x x ≤≤⎧⎨+>⎩，y 乙＝2(02000)
1.8400(2000)x x x x ≤≤⎧⎨+>⎩
；
（3）当0≤x≤1000时，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，当1000＜x ＜3000时，在甲口罩厂购买防霾口罩才合算，当x ＝3000时，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，当x ＞3000时，在乙口罩厂购买防霾口罩才合算． 【解析】 【分析】
（1）根据题目中的数据和表格中的数据可以列出关于m、n的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；（2）根据（1）中的m、n的值和题意，可以分别求出y甲，y乙与x之间的函数关系式；（3）设y甲与y乙的差为y，可分段得出y与x的关系式，先求出y甲=y乙时x的值，再根据一次函数的性质解答即可.
【详解】
（1）由题意可得，
10002(25001000)20002(25002000)9750 10002(30001000)20002(30002000)1160
m n
m n
⨯+-+⨯+-=
⎧
⎨
⨯+-+⨯+-=
⎩
，
解得，
1.9
1.8
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，即m的值是1.9，n的值是1.8；
（2）由题意可得，y甲与x之间的函数关系式是：当0≤x≤1000时，y甲＝2x，当x＞1000时，y甲＝1000×2+ （x﹣1000）×1.9＝1.9x+100，
y乙与x之间的函数关系式是：当0≤x≤2000时，y乙＝2x，当x＞2000 时，y乙＝2000×2+ （x﹣2000）×1.8＝1.8x+400，
由上可得，y甲与x之间的函数关系式是：y甲＝
2(01000)
1.9100(1000)
x x
x x
≤≤
⎧
⎨
+>
⎩
，
y乙与x之间的函数关系式是：y乙＝
2(02000)
1.8400(2000) x x
x x
≤≤
⎧
⎨
+>
⎩
；
（3）设y甲与y乙的差为y，
当0≤x≤1000时，y=2x-2x=0，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，
当1000＜x≤2000时，y=1.9x+100-2x=-0.1x+100<0，在甲口罩厂购买防霾口罩合算，
当x>2000时，y=1.9x+100-1.8x-400=0.1x-300,
令0.1x-300=0解得，x＝3000，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，
∵0.1>0，
∴y随x的增大而增大，
∴2000<x<3000时，y<0，在甲口罩厂购买防霾口罩合算，x>3000时，y>0，在乙口罩厂购买防霾口罩合算．综上所述：当0≤x≤1000时，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，当1000＜x＜3000时，在甲口罩厂购买防霾口罩合算，当x＝3000时，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，当x＞3000时，在乙口罩厂购买防霾口罩合算．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用方程的思想、函数的性质解答．
22．（1）详见解析；（2）8 3π
【解析】
【分析】
（1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线．
（2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF求解即可．
【详解】
解：（1）连接OE ． ∵OB ＝OE
∴∠OBE ＝∠OEB ∵BE 是∠ABC 的角平分线 ∴∠OBE ＝∠EBC ∴∠OEB ＝∠EBC
∴OE ∥BC ∵∠C ＝90°
∴∠AEO ＝∠C ＝90° ∴AC 是⊙O 的切线； （2）连接OF ． ∵sinA ＝
1
2
，∴∠A ＝30° ∵⊙O 的半径为4，∴AO ＝2OE ＝8，
∴AE ＝AOE ＝60°，∴AB ＝12，
∴BC ＝
1
2
AB ＝6，AC ＝
∴CE ＝AC ﹣AE ＝ ∵OB ＝OF ，∠ABC ＝60°， ∴△OBF 是正三角形．
∴∠FOB ＝60°，CF ＝6﹣4＝2，∴∠EOF ＝60°．
∴S 梯形OECF ＝
1
2
（2+4＝． S 扇形EOF ＝26048
3603
ππ⨯=，
∴S 阴影部分＝S 梯形OECF ﹣S 扇形EOF ＝8
3
π．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线． 23．（1）5；（2）-3x+4 【解析】 【分析】
(1)第一项计算算术平方根，第二项计算零指数幂，第三项计算特殊角的三角函数值，最后计算有理数运算.
（2）利用完全平方公式和去括号法则进行计算，再进行合并同类项运算. 【详解】
（1）解：原式5115=+-=
（2）解：原式224434x x x x x =-+-+=-+ 【点睛】
本题考查实数的混合运算和整式运算，解题关键是熟练运用完全平方公式和熟记特殊角的三角函数值.
24．（1）① 4，② 3，③k ≥（2）t ＝2或10
3
． 【解析】 【分析】
（1）①点A （4，3），则OA ＝5，d （M ﹣O ）＝AQ ，即可求解；②由题意得：d （M ﹣O ）＝PQ ；③P′Q′＝2为临界点的情况，OD ＝4，则∠P′DO＝30°，即可求解,
（2）①分点为角的顶点O （P ）、点P 在射线OA 两种情况，分别求解即可． 【详解】
解：（1）①如图1，点A （4，3），则OA ＝5，
d （M ﹣O ）＝AQ ＝5﹣1＝4， 故答案为4,
②如图1，由题意得：d （M ﹣O ）＝PQ ＝4﹣1＝3，
③如图1，过点O 作OP′⊥直线l 于点P′，直线l 与y 轴交于点D ， 则d （M ﹣O ）＝P′Q′，
当P′Q′＝2为临界点的情况，OD ＝4， ∴∠P′DO＝30°，
∴k
故
（2）①如图2，当点为角的顶点O （P ）时，
则PQ＝1，则OC＝2，
即：t＝2，
②如图3，当点P在射线OA时，
tan∠AOC＝3
4
，则sin∠AOC＝
3
5
，
CP＝CQ+PQ＝1+1＝2，
t＝OC＝
sin CP
AOC
＝
10
3
，
故：t＝2或10
3
．
【点睛】
本题为新定义类型的题目，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，通常按照题设的顺序，逐次求解即可．
25．1
3
1
9
【解析】
【分析】
（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
（1）∵第一道单选题有3个选项，
∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：1
3
；
故答案为：1
3
；
（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为：1
9
．
故答案为：1
9
．
【点睛】
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m
n
．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CBA ＝30°，AE 平分∠CAB 交BC 于D ，BE ⊥AE 于E ，给出下列结论：①BD ＝2CD ；②AE ＝3DE ；③AB ＝AC+BE ；④整个图形（不计图中字母）不是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2．不等式组12
24x x -<⎧⎨≥⎩
的解集为（ ）
A.2≤x＜3
B.2＜x ＜3
C.x ＜3
D.x≥2
3．如图，点A ，B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，点C ，D 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上，AC ∥BD ∥y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1；2，△OAC 与△CBD 的面积之和为，则k 的值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.
4．下列运算正确的是（ ） A.624a a a -=
B.235
(a )a =
C.235a a a ⋅=
D.623a a a ÷=
5．已知△ABC ∼△DEF ，且△ABC 的面积为2cm 2
，△DEF 的面积为8m 2
，则△ABC 与△DEF 的相似比是（ ） A ．1：4
B ．4：1
C ．1：2
D ．2：1
6．如图，//AB CD ，150∠=°，245∠=︒，则CAD ∠的大小是（ ）
A ．75︒
B ．80︒
C ．85︒
D ．90︒
7．不等式组220
1
x x +>⎧⎨
-≥-⎩的解在数轴上表示为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，设一枚5角硬币的半径为1个单位长度，将这枚硬币放置在平面内一条数轴上，使硬币边缘上一点P 与原点O 重合，让这枚硬币沿数轴正方向无滑动滚动，转动一周时，点P 到达数轴上点P '的位置，则点P '所对应的数是（ ）
A ．2π
B ．6.28
C ．π
D ．3.14
9．合肥市统计局资料显示，2016年全市生产总值为6274.3亿元，2018年全市生产总值为7822.9亿元，假设2017年与2018年这两年的年平均增长率均为x ，则下列方程正确的是（ ） A.()6274.3127822.9x += B.()2
6274.3127822.9x += C.()2
6274.317822.9x +=
D.()()6274.31127822.9x x ++=
10．如图，抛物线y ＝ax 2﹣6ax+5a （a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C 点．以C 点为圆心，半径为2画圆，点P 在⊙C 上，连接OP ，若OP 的最小值为3，则C 点坐标是（ ）
A ．(
22
- B ．（4，﹣5） C ．（3，﹣5） D ．（3，﹣4）
11．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）
A.6
B.5
C.4
D.7
12．已知y ＝0是关于y 的一元二次方程（m ﹣1）y 2+my+4m 2﹣4＝0的一个根，那么m 的值是（ ） A ．0 B ．±1
C ．1
D ．﹣1
二、填空题
13．写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示）_____． 14．若点M(3，a ﹣2)，N(b ，a)关于原点对称，则a+b ＝_____．
15．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳的平均距离，即149600000千米，用科学记数法表示1个天文单位是_____千米．
16．如图，已知菱形OABC 的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的顶点B 的坐标为______．
17．启明中学周末有20人去万达看电影，20张票分别为A 区第6排1号到20号，分票采取随机抽取的办法，小亮第一个抽取，他抽取的座位号是10号，接着小颖从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小亮邻座的概率是______．
18．将32363x x x -+分解因式，其结果为_________. 三、解答题
19．如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，∠EDF ＝30°将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q
（1）如图2，当
1CE
EA = 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明． （2）如图3，当2CE
FA
=时 ①EP 与EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由．
②在旋转过程中，连接PQ ，若AC ＝30cm ，设EQ 的长为xcm ，△EPQ 的面积为S （cm 2），求 S 关于x 的函数关系，并求出x 的取值范围．
20．某公司可投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品，公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为8元/件，此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y ＝﹣x+28．
（1）求这种产品第一年的利润W 1（万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为6元/件，为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过14万件，请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
21．已知x1、x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x1、x2满足x1x2-x1=4+ x2，求实数a的值．
22．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为2，CF＝1，求BD的长（结果保留π）．
23．如图1，E为半圆O直径AB上一动点，C为半圆上一定点，连接AC和BC，AD平分∠CAB交BC于点D，连接CE和DE．如果AB=6cm，AC=2.5cm，设A，E两点间的距离为xcm，C，E两点间的距离为y1cm，D，E 两点间的距离为y2cm．
小明根据学习函数经验，分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请将它补充完整：
（1）按表中自变量x值进行取点、画图、测量，得到了y1和y2与x几组对应值：
问题：上表中的m=______cm；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中（见图2），描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y2）和（x，y1），并画出函数y1和y2的图象；
（3）结合函数的图象，解决问题：当△ACE 为等腰三角形时，AE 的长度约为______cm （结果精确到0.01）．
24．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m ，EF=0.2m ，测得边DF 离地面的高度AC=1.5m ，CD=8m ，求树高。

25．111(9)(9)339
x x x x ⎡⎤-
--=-⎢⎥⎣⎦
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
1314．﹣2.
15．496×108
16．（-2，-2）
17．219
18．23(1)x x -
三、解答题
19．(1)EP ＝EQ ，理由见解析；（2）①EQ ＝2EP
，理由见解析；②214
S x x =
. 【解析】
【分析】 （1）连接BE ，根据已知条件得到E 是AC 的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE ，∠PBE=∠C ，根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ ，即可得到全等三角形，从而证明结论；
（2）①作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥BC 于点N ，证明△MEP ∽△NEQ ，发现EP ：EQ=ME-NE=AE ：CE ，继而得出结果；
②设EQ=x ，根据上述结论，可用x 表示出S ，确定EQ 的最大值，及最小值后，可得出x 的取值范围．
【详解】
（1）连接BE ，如图2：
证明：∵点E 是AC 的中点，△ABC 是等腰直角三角形，
∴BE ＝EC ＝AE ，∠PBE ＝∠C ＝45°，
∵∠PEB+∠BEQ ＝∠QEC+∠BEQ ＝90°，
∴∠PEB ＝∠QEC ，
在△BEP 和△CEQ 中，
BEP CEQ BE CE
PBE C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△BEP ≌△CEQ （ASA ），
∴EP ＝EQ ．
（2）①作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥BC 于点N ，如图3：
∵∠A ＝∠C ＝45°，
∴EM ＝AM ，EN ＝CN ，
∵∠MEP+∠PEN ＝∠NEQ+∠PEN ＝90°，
∴∠MEP ＝∠NEQ ，
又∵∠EMP ＝∠ENQ ＝90°，
∴△MEP ∽△NEQ ，
∴EP ：EQ ＝ME ：NE ＝ME ：CN ＝AE ：CE ＝1：2，
故EQ ＝2EP ；
②设EQ ＝x ，由①得，EP ＝
12x ， ∴S △EPQ ＝12EP×EQ＝14
x 2，
当EQ ＝EF 时，EQ 取得最大，此时EQ ＝DE×tan30°＝30×3
＝
当EQ ⊥BC 时，EQ 取得最小，此时EQ ＝EC×sin45°＝20×
2＝，
即x ≤
综上可得：S ＝
14
x 2（． 【点睛】
本题考查了几何变换综合题，涉及了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，对于此类综合性较强的题目，关键还是需要同学们有扎实的基本功，注意培养自己的融会贯通能力．
20．（1）W 1＝﹣x 2+36x ﹣304．（2）该产品第一年的售价是18元．（3）该公司第二年的利润W 2至少为92万元．
【解析】
【分析】
(1)根据总利润＝每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
(2)构建方程即可解决问题；
(3)根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数的性质即可解决问题.
【详解】
(1)W 1＝(x ﹣8)(﹣x+28)﹣80＝﹣x 2+36x ﹣304；
(2)由题意：20＝﹣x 2+36x ﹣304．
解得：x ＝18，
答：该产品第一年的售价是18元；
(3)∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过14万件． ∴14≤x≤18，
W 2＝(x ﹣6)(﹣x+28)﹣20＝﹣x 2+34x ﹣188，
∵抛物线的对称轴x ＝17，又14≤x≤18，
∴x ＝14时，W 2有最小值，最小值＝92(万元)，
答：该公司第二年的利润W 2至少为92万元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题．
21．（1）a≥0且a≠6；（2）a=24．
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）∵一元二次方程（a-6）x 2+2ax+a=0有两个实数根，
∴（2a ）2-4（a-6）×a≥0，a-6≠0，
解得，a≥0且a≠6；
（2）∵x 1、x 2是一元二次方程（a-6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，
∴x 1+x 2=26a a -， x 1•x 2=6
a a -， ∵x 1x 2-x 1=4+x 2， ∴x 1x 2=4+x 2+x 1，即
6a a -=4+26a a -， 解得，a=24．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=－b a ，x 1x 2=c a
，反过来也成立． 22．（1）详见解析；（2）
23
π 【解析】
【分析】 （1）连接OD ，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD ，OA=OB 可得出OD 是△ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出DF ⊥AC ；
（2）根据圆周角定理得出BE ⊥AC ，证得BE ∥DF ，即可根据三角形相似求得EC=2，根据三角形中位线的性质得出AC=4，即可得出AE=EC ，进一步证得△ABC 是等边三角形，即可得出∠BOD=60°，根据弧长公式即可得出结论．
【详解】
（1）证明：连接OD ，如图所示．
∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点，
∴OD ⊥DF ，
∴∠ODF ＝90°．
∵BD ＝CD ，OA ＝OB ，
∴OD 是△ABC 的中位线，
∴OD ∥AC ，
∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC．
（2）连接BE，
∵AB是直径，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴FC CD1 EC BC2
==，
∵FC＝1，∴EC＝2，
∵OD＝1
2
AC＝2，
∴AC＝4，
∴AE＝EC＝2，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC＝4，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，
∵OD∥AC，
∴∠BOD＝∠BAC＝60°，
∴BD的长：6022 1803
π
π
⨯
=．
【点睛】
本题考查了切线的性质、弧长公式、平行线的性质、三角形中位线定理以及等边三角形的判断，解题的关键是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（2）找出△ABC是等边三角形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过角的计算找出90°的角是关键．
23．（1）3；（2）见解析；（3）①2.5；②0；③3.
【解析】
【分析】
（1）当x=3时，点E与点O重合，故CE即为CO，即可求解；
（2）根据表格数据，描点后图象如下图2；
（3）分AE=AC、AC=CE、AE=CE三种情况，求解即可．
【详解】
解：（1）当x=3时，点E与点O重合，故CE即为CO=3，
故：答案为3；
（2）根据表格数据，描点后图象如下图2；
（3）△ACE为等腰三角形，有以下三种情况：
①当AE=AC时，
AE=AC=2.5；
②AC=CE时，
即y1=CE=2.5，从图象可以看出，x=0；
即：AE=0（舍去），
③当AE=CE时，
即：x=y1，从图中可以看出：x=3，
即：AE=3；
故：答案为2.50或3.00．
【点睛】
本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到作函数图象，此类题目通常在作图的基础上，依据图象确定特殊点坐标情况求解．
24．树高为 5.5 米
【解析】
【分析】
根据两角相等的两个三角形相似，可得△DEF∽△DCB ，利用相似三角形的对边成比例，可得DE EF DC CB
=，
代入数据计算即得BC的长，由 AB＝AC+BC ，即可求出树高. 【详解】
∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴DE EF DC CB
=，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴0.40.2
8CB
=，
∴CB＝4（m），。