让学生真正成为高中数学课堂的主人——以《函数的零点》教学为例

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让 学 生真 正 成 为 高 中数 学课 堂 的主 人
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以《 函数 的零 点》 教 学为例
敏
江 苏省 淮北 中学 （ ２ ５ ２ ７ ９ １ ） 姜
《 函数 的零 点》 是《 函数 与方程 》 一 节 的第一部 分 内 容， 它是学 生在相 对 比较 系统ຫໍສະໝຸດ 学 习了 函数 的概念 、 性
数 一 厂 （ ｚ ） 在 区问（ “ ， ６ ） 内有零点．
在理解零点 判断方 法 时 ， 我还 让学 生思 考 ： 图像 连 但零点 的个数能 判 质、 图像 的基础上 学 习的一个新 内容 ， 它承接 了前面 的 续是什 么意思 ？满足条件时有零 点 ， （ ｎ ）・ ． 厂 （ ６ ） ＞Ｏ ， 能判 断是否有 零点 吗？若 函数知识 ， 同时 也是 学 习后 面 “ 二 分 法” 的基础 ， 是 函数 断吗？如果 厂 一 定是 厂 （ 口 ）・－ 厂 （ ６ ） ＜ ０吗？这 么 多抽 象 与方程关 系的重要体现． 根据本节 内容 的特 点和学生 的 函数有零 点 ， 繁杂 的问题 怎么解决 呢？如 果光用 语 言解 释 ， 肯 定 现有认知水平 ， 我在备课 、 上课 等环节上做 了一些文 章 ， 的、 是越说 越糊涂 的 ， 我借助课本之前 已经熟悉 的一个 函数 通 过教学 实践 ， 不 论是教 师 的教还是 学生 的学 ， 都有 很 图像 ， 非 常直观地解释 了上述 问题． 大 的 收获 ． 三、 在选题 上做 文章 情景引入上做 文章 首先是 引入 时的选题 ， 充 分体现 了基础性 ， 低 起点 ， 在《 函数 的零点 》 的导入设 计 中， 虽然学 生 已经具 备 让所有学生能跟着动 手的特 点． 这样学 生能积极参 与进 了函数 的相关知识基础 ， 但 导人仍不 能起点太 高． 所 以， 有利 于新知识 的接受和理解． 我在导入 时先让学生 画下列 函数 图像 ： （ 厂 （ ｚ ） 一一２ ｘ 来， 其次是例题 的选 择． 如例题 ： １ ． 二次 函数 一２ 。 一 十３ ； （ ２ ） ｇ （ ｚ ） 一 一４ ～５ ； （ ３ ） （ ） ＝ ＝ ＝ ２ ． 在 学 生顺 利 完 ３ ｚ 一７ 有两个不 同的零 点 ； ２ ． 求证 ： 函数 厂 （ ｚ ） 一Ｅ Ｌ ＂ 。 ＋ 成 这几个 常见 的基本 函数 图像后 ， 又 出示一 组 问题 ： 解 ＋１ 在 区间上存 在零点 ； ３ ． 厂 （ ｚ ） 一ｌ ｇ ｘ ＋ 一３有几 个零 下列 方程 ： （ １ ） 一２ ｘ ＋３ —０ ； （ ２ ） 一４ ｘ一５ —０ ； （ ３ ） ２ 一 点？这三个例题 注重 了针对 性 、 层次性 、 联 系性 ， 体现通 ０ ． 对于第 三个 方程 ， 部 分学 生感到无 处下手 ， 但又 发现 解通法． 显然例 １ 很简单 ， 用 初 中知识 就可 以解决 ， 但我 其与刚才的图像有点关联 ， 这样很快发 现它 的结果应该 让学生考虑有几种方法 可 以解 决． 学 生一开 始处 理例 ２ 是无解． 在此基础上让学生思考上述 函数与对 应方程之 时感 觉无从 下手 ， 因为三次 方程不 好解 ， 但 通过 我引 导 间 的关 系 ， 从 而引 出 函数 的零点 的概念 ， 并 很好 地借助 想 到 了函数零点 的判断方 法 ， 很快 就知 道怎 么做 了． 但 上面 的两组题 目从两个方面给 出零点 的解 释． 我又 问： 可 以画图像 发现 吗？根据 函数 零点 的定 义 ， 求 二、 在设 问上做文章 ４ － ＋１ —０的解 ， 再将方程转化为 ＝ ＝ ＝ －Ｘ 一１ ， 这 样 本节课几个关键设问的地 方分别 是 ： 画函数 ｆ ｌ （ ． ｚ ） 一 ， （ ｚ ） ：一 ｚ 。 一１的 图像 ， 发 现交 点 １ ． 在零点概念 的引入过 程 中， 完成 了画 函数 图像 、 的横坐标就是原 函数 的零 点． 怎 么判 断它在 区间 （ 一２ ， 解方程之后 ， 问学 生 ： 这 两组 问题之 间有 什么 关联 ？学 １ ） 上 呢？先算 （ 一２ ） 一一８ ， ＿ 厂 ２ （ 一２ ） 一一５ ， 得出 ｆ ｌ （ 一 生很 清楚一 个是从 形上 表达 ， 一 个是从 数上表 达 ， 感受 ２ ） ＜厂 ２ （ 一２ ） ， 再算 － 厂 】 （ １ ） 一１ ， （ １ ） 一－ －２ ， 得 出 （ １ ） ＞ 了数形结合这 种重 要 的数学 思想 ， 同时我 也启 发学 生 ， 厂 ２ （ １ ） ， 这样得到函数 ， （ ｚ ） 一 ＋ｚ ＋１ 在 区间 （ 一２ ， １ ） 函数 图像 与 ， ３ ７ 轴的交点同对应方程 的解 之间 的统一 ， 一 上存在零点． 至 于例 ３ ， 在例 １ 、 例 ２的基础上很快得出 了 方面为零点概念 的理解打下伏 笔 ， 也为后 面学习 函数 与 解决 问题 的方法． 方程做好准备． 第三是练习 、 习题 的选择 ， 要 能够兼顾所 有学生 ， 还 ２ ． 为 了能让 学生顺 利理 解和接 受 函数零 点存 在 的 要 把所学 的知识 、 方 法 考查 出来 ， 达到 巩 固 、 提高 的 目 条件 ， 我 设 计 了下 列 问题 ． 的． 这样 除了课本上 的必做题 外 ， 我还加 了选做题 ： １ ． 函 观察下面 函数 ＿ 厂 （ ） 的图像 ： 数 —ｚ 。 十（ ２ 一１ ） Ｌ ｚ ＋１ ７ Ｚ 有两个 零点 ， 求 的取值 范 ①在 区 间 ［ ｎ ， ６ ］ 上 围； ２ ． 用不 同方法求一次 函数 一２ 一３与二次 函数 一 （ 有／ 无） 零点 ； 厂 （ ０ ）・ ， （ ６ ） ２ ｘ ＋１的图像 的交 点个数 ； ３ ． 思考题 ： 函数 ． 厂 （ ） 一 ０ （ ＞ 或＜ ） ． ｌ ｎ ｚ ｃ ＋２ ｚ 一６的零点在 区间［ ２ ， ３ ］ 内有零 点 ， 如何求 出这 Ｖ ②在区间［ ６ ， ｃ ］ 上 （ 有／ 个零点？设计 意图 ： 为下一节“ 二分法” 的学习做准备． 无） 零点 ； ， （ ６ ）・厂 （ ｃ ） ０ （ ＞ 通过对这节 课 的反思 再认识 ， 我 深刻 地体 会 到 ， 教 或＜） ． 师应该改变 原来 的教 学方式 ， 真正 体 现 出学 生 的 主体 ③在区间［ ｃ ， ］ 上 （ 有／ 无） 零点； 厂 （ ｃ ）・ 厂 （ ） 性， 让更多的学 生动起 来 ， 不仅 仅是 手 动 ， 还 要 嘴动 ， 更 重要 的是脑 动 ， 只有真 正在课 堂上让 学生 唱主 角， 才能 ０ （ ＞或＜ ） ． 才能真正实现学生 的能力提高． 从而得到 ： 如果 函数 一－ 厂 （ ｚ ） 在区间＿ ｎ ， ６ ］ 上 的图像 实现课堂真正的高效 ， （ 责任 编辑 黄 春 香 ） 是一条连续不断 的曲线 ， 并且满足 厂 （ ａ ）・ 厂 （ ６ ） ＜０ ， 则函