鸡泽县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

鸡泽县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（
）
A ．（，1，1）
B ．（﹣1，﹣3，2）
C ．（﹣，，﹣1）
D ．（，﹣3，﹣2
）
2． 已知函数与轴的交点为，且图像上两对称轴之间的最
()2sin()f x x ωϕ=+(0)2
π
ϕ<<y (0,1)小距离为，则使成立的的最小值为（
）1111]
2
π
()()0f x t f x t +--+=t A ．
B ．
C ．
D ．6
π
3
π
2
π
23
π3． △ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量
，
，若
，则角B 的大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 复数Z=
（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（
）
A ．（1，3）
B ．（﹣1，3）
C ．（3，﹣1）
D ．（2，4）
5． 设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（
）
{}n a A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
6． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）
A ．80
B ．40
C ．60
D ．20
7． 在平面直角坐标系中，直线y=x 与圆x 2+y 2﹣8x+4=0交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（
）
A ．4
B ．4
C ．2
D ．2
8． 若函数()()22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象关于直线12x π=对称，且当
12172123x x π
π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（
）
A
B
D
9． 已知直线x ﹣y+a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x ﹣4y+7=0相交于A ，B 两点，且•=4，则实数a 的
值为（ ）
A ．
或﹣
B ．
或3
C ．或5
D ．3
或5
10．已知抛物线：的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，
C 2
8y x =F P C P
是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）
Q PF C PQ =
PF A ． B ．
C ．
D ．20x y --=20x y +-=20x y -+=20
x y ++=11．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（
）
A ．45
B ．90
C ．120
D ．360
12．（+
）2n （n ∈N *）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（
）
A ．120
B ．210
C ．252
D ．45
二、填空题
13．已知向量若，则（ ）
(1,),(1,1),a x b x ==- (2)a b a -⊥ |2|a b -=
A ．
B ．
C ．2
D 23【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
14．函数1
()lg(1)1f x x x
=++-的定义域是 ▲ ．
15．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且
2AB BC CA ===，则
球表面积是_________.
16．已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M ，N ，F 三点不共线，则△MNF 的重心到准线距离为 ．　17．曲线
在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．
18．一船以每小时12海里的速度向东航行，在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4小时后，到达C 处，看到这个灯塔B 在北偏东15°，这时船与灯塔相距为 海里．
三、解答题
19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．
（1）若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求m 的取值范围；（2）对于x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，求m 的取值范围．　
20．（本小题满分12分）△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知k sin B ＝sin A ＋sin C （k 为正常数），a ＝4c .
（1）当k ＝时，求cos B ；
54
（2）若△ABC 面积为，B ＝60°，求k 的值．
321．设F 是抛物线G ：x 2=4y 的焦点．
（1）过点P （0，﹣4）作抛物线G 的切线，求切线方程；
（2）设A ，B 为抛物线上异于原点的两点，且满足FA ⊥FB ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．
22．（本小题12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=.111]
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求数列{
}n
n
a b 的前项和n S .23．已知定义域为R 的函数是奇函数．
（1）求f （x ）；
（2）判断函数f （x ）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f （|x|+1）+f （x ）＜0．
24．已知函数f （x ）=1+（﹣2＜x ≤2）．
（1）用分段函数的形式表示函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域．
鸡泽县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，
因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
2．【答案】A
【解析】
考点：三角函数的图象性质．
3．【答案】B
【解析】解：若，
则（a+b）（sinB﹣sinA）﹣sinC（a+c）=0，
由正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）﹣c（a+c）=0，
化为a2+c2﹣b2=﹣ac，
∴cosB==﹣，
∵B∈（0，π），
∴B=，
故选：B．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．
4．【答案】A
【解析】解：复数Z===（1+2i）（1﹣i）=3+i在复平面内对应点的坐标是（3，1）．
故选：A ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．　
5． 【答案】B 【解析】
试题分析：设的前三项为，则由等差数列的性质，可得，所以，{}n a 123,,a a a 1322a a a +=12323a a a a ++=解得，由题意得，解得或，因为是递增的等差数列，所以
24a =1313
812a a a a +=⎧⎨
=⎩1326a a =⎧⎨=⎩136
2a a =⎧⎨=⎩{}n a ，故选B ．
132,6a a ==考点：等差数列的性质．6． 【答案】B
【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，∴三年级要抽取的学生是×200=40，
故选：B ．
【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．
7． 【答案】A
【解析】解：圆x 2+y 2﹣8x+4=0，即圆（x ﹣4）2+y 2 =12，圆心（4，0）、半径等于2．
由于弦心距
d==2，∴弦长为2
=4
，故选：A ．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．　
8． 【答案】C 【
解
析
】
考
点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得
()2122k k ππϕπ⨯
+=
+∈Z ，解得3π
ϕ=
，从而()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再次利用数形结合思想和转化化归思想
可得()()()()1122x f x x f x ，，，关于直线1112x π=-对称，可得12116
x x π
+=-，从而
()12113
3f x x ππ⎛⎫
+=-+=
⎪⎝⎭．9． 【答案】C 【解析】解：圆x 2+y 2+2x ﹣4
y+7=0，可化为（x+
）2+（y ﹣2
）2=8．
∵
•
=4，∴2
•2
cos ∠ACB=4
∴cos ∠ACB=，∴∠ACB=60°
∴圆心到直线的距离为，∴=
，∴a=
或5
．
故选：C ．
10．【答案】B 【
解
析
】
考点：抛物线的定义及性质．
【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．
11．【答案】B
【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，
所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．
12．【答案】
B
【解析】
【专题】二项式定理．
【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项．【解答】解：由已知（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数为最大，
所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，
又展开式的通项为=，
令5﹣
=0解得k=6，
所以展开式的常数项为=210；
故选：B
【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n ，利用通项求特征项．
二、填空题
13．【答案】A 【
解
析
】
14．【答案】()()
1,11,-⋃+∞
考点：定义域15．【答案】649
π【解析】111]
考点：球的体积和表面积.
【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键.16．【答案】 ．
【解析】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点，
∴F（1，0），准线方程x=﹣1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，
解得x1+x2=4，
∴△MNF的重心的横坐标为，
∴△MNF的重心到准线距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
17．【答案】　（，0）　．
【解析】解：y′=﹣，
∴斜率k=y′|x=3=﹣2，
∴切线方程是：y﹣3=﹣2（x﹣3），
整理得：y=﹣2x+9，
令y=0，解得：x=，
故答案为：．
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．
18．【答案】　24　
【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，
在△ABC中，根据正弦定理得：BC==24海里，
则这时船与灯塔的距离为24海里．
故答案为：24．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）当m=0时，f （x ）=﹣1＜0恒成立，
当m ≠0时，若f （x ）＜0恒成立，则
解得﹣4＜m ＜0
综上所述m 的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）要x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，即
恒成立．令
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当 m ＞0时，g （x ）是增函数，
所以g （x ）max =g （3）=7m ﹣6＜0，解得．所以当m=0时，﹣6＜0恒成立．
当m ＜0时，g （x ）是减函数．
所以g （x ）max =g （1）=m ﹣6＜0，
解得m ＜6．
所以m ＜0．综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理得b ＝a ＋c ，5454
又a ＝4c ，∴b ＝5c ，即b ＝4c ，54由余弦定理得cos B ＝＝＝.a 2＋c 2－b 22ac （4c ）2＋c 2－（4c ）22×4c ·c 18（2）∵S △ABC ＝，B ＝60°.
3∴ac sin B ＝.即ac ＝4.123又a ＝4c ，∴a ＝4，c ＝1.
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝42＋12－2×4×1×＝13.12
∴b ＝，
13∵k sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理得k ＝＝＝，a ＋c b 51351313即k 的值为.5131321．【答案】
【解析】解：（1）设切点．由，知抛物线在Q 点处的切线斜率为
，故所求切线方程为
．即y=x 0x ﹣x 02．
因为点P （0，﹣4）在切线上．
所以，，解得x 0=±4．
所求切线方程为y=±2x ﹣4．
（2）设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）．
由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设k ＞0．
因直线AC 过焦点F （0，1），所以直线AC 的方程为y=kx+1．
点A ，C 的坐标满足方程组
，
得x 2﹣4kx ﹣4=0，
由根与系数的关系知，
|AC|==4（1+k 2），
因为AC ⊥BD ，所以BD 的斜率为﹣，从而BD 的方程为y=﹣x+1．
同理可求得|BD|=4（1+
），
S ABCD =|AC||BD|=
=8（2+k 2+）≥32．当k=1时，等号成立．
所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线相切的条件，以及直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．
22．【答案】（1）2,2==q d ；（2）12
326-+-
=n n n S .【解析】
（2）
12
12--=n n n n b a ，………………6分12212
1223225231---+-++++=n n n n n S ，①n
n n n n S 212232252321211321-+-++++=- .②……………8分①-②得n n n n n S 2122222222212`1221--+++++=-- 23112222211222222n n n n S --=++++-，…………10分
所以1
2326-+-=n n n S .………………12分考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.
【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d 和，进而可得}{n a ，}{n b 的通项公式；
（2）数列}a {n
n b 的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和n S .23．【答案】
【解析】解：（1）因为f （x ）是R 上的奇函数，
所以f （0）=0，即
=0，解得b=1；从而有
；…
经检验，符合题意；…
（2）由（1）知，f （x ）==﹣+；由y=2x 的单调性可推知f （x ）在R 上为减函数； …
（3）因为f （x ）在R 上为减函数且是奇函数，从而不等式
f （1+|x|）+f （x ）＜0等价于f （1+|x|）＜﹣f （x ），
即f （1+|x|）＜f （﹣x ）； …
又因f （x ）是R 上的减函数，
由上式推得1+|x|＞﹣x ，…
解得x ∈R ．…
24．【答案】
【解析】解：（1）函数f （x ）=1+=，
（2）函数的图象如图：。