新教材高中数学课后素养落实三十二第八章直线与平面垂直的定义及判定定理含解析新人教A版必修第二册

新教材高中数学新人教A版必修第二册：
课后素养落实(三十二) 直线与平面垂直的定义及判定定理
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A．平行B．垂直
C．相交不垂直D．不确定
B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．] 2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()
A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β
B[A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B．]
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是()
A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1
C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB
B[由几何体ABCD-A1B1C1D1为正方体，可知AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，A1B1∩A1D＝A1，故AD1⊥平面A1DCB1．]
4．已知直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于()
A．40°B．50°C．90°D．150°
B[根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°．]
5．(多选题)如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是()
A．BC⊥平面P AB
B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC
D．PB⊥平面ADC
ABC[∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC．又AB⊥BC，
∴BC⊥平面P AB，故A判断正确；由BC⊥平面P AB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵P A＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确．]
二、填空题
6．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则P A，PB，PC的关系是________．
P A＝PB＝PC[因为H为AC中点，∠ABC＝90°，所以AH＝BH＝CH，又PH⊥平面ABC，由勾股定理知P A＝PB＝PC．]
7．已知圆锥的底面半径为 1 cm，侧面积为2π cm2，则母线与底面所成角的大小为________．
π
3[由圆锥侧面积公式S＝πrl＝π·1·l＝2π，解得l＝2，设母线与底面所成角为θ，则cos θ
＝r
l＝
1
2，所以θ＝
π
3．]
8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱
DD1，D1C1的中点，则平面AB1C，平面ACC1A1，平面OCN，平面A1C1D中，与直线OM垂直的是________．
平面AB1C，平面A1C1D[因为AC⊥平面BDD1，所以AC⊥OM，同理可证B1C⊥OM，
AC ∩B 1C ＝C ，所以OM ⊥平面AB 1C ；同理，OM ⊥平面A 1C 1D ．]
三、解答题
9．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AA 1，AB 1∩A 1B ＝M ．求证：A 1B ⊥平面MAC ．
[证明] 因为在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AA 1，A 1B ∩AB 1＝M ，所以A 1B ⊥AM ，AC ⊥AA 1．因为AB ∩AA 1＝A ，所以AC ⊥平面ABB 1A 1，所以AC ⊥A 1B ，因为AM ∩AC ＝A ，所以A 1B ⊥平面MAC ．
10．如图，ABCD 是圆柱的一个轴截面，点E 是上底面圆周上的一点，已知AB ＝BC ＝5，AE ＝3．
(1)求证：DE ⊥平面ABE ；
(2)求直线BE 与平面ADE 所成角的正切值．
[解] (1)证明：ABCD 是圆柱的一个轴截面，AB ⊥平面ADE ，因为ED ⊂平面ADE ， 所以AB ⊥ED ，又E 在底面圆上，AD 为直径，所以AE ⊥DE ，又AE ∩AB ＝A ，所以DE ⊥平面ABE ．
(2)因为AB ⊥平面ADE ，所以∠AEB 为直线BE 与平面ADE 所成角， 在Rt △ABE 中，AB ＝5，AE ＝3， 所以ta n ∠AEB ＝AB AE ＝5
3
．
1．如图，点A ∈α，点B ∈α，点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面α内所组成的集合是( )
A ．一条线段，但要去掉两个点
B．一个圆，但要去掉两个点
C．两条平行直线
D．半圆，但要去掉两个点
B[连接BC，AB(图略)，由于PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．]
2．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()
A．内心B．重心C．外心D．垂心
C[如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC．
∵三棱锥的三条侧棱两两相等，
∴P A＝PB＝PC．
∵PO⊥底面ABC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴OA＝OB＝OC，
故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．]
3．如图，已知△ABC是等腰三角形，且∠ACB＝120°，AC＝2，点D是AB的中点．将△ACD沿CD折起，使得AC⊥BC，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为()
A．
6
3B．
3
3C．
2
3D．
1
3
A[如图，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE．
∵AD⊥CD，BD⊥CD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ADB．∵BE⊂平面ADB，∴CD⊥BE，又BE⊥AD，AD∩CD＝D，∴BE⊥平面ACD，∴∠BCE为直线BC与平面ACD所成的角．由题意，可知AD＝BD＝3，AB＝AC2＋BC2＝22．设△ADB中，AB边上的高为h，则h＝
(3)2－(2)2＝1．由AD ·BE ＝AB ·h ，得BE ＝26
3，
∴si n ∠BCE ＝BE BC ＝6
3
，故选A ．]
4．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 在棱AB 上运动，点F 在对角线BD 1上运动，设直线EF 与平面ABCD 所成的角为θ，直线EF 与平面BDD 1所成的角为β，则( )
A ．θ≥β
B ．θ≤β
C ．存在直线EF ，使得θ＝50°
D ．存在直线EF ，使得β＝50°
D [过F 作DD 1的平行线，交BD 于点G ，连接EG ，则∠FEG ＝θ，如图1所示．
图1 图2
则ta n θ＝FG
EG ，显然当GE ⊥AB 时，ta n θ最大，此时θ＝∠D 1AD ＝45°，故C 错误．过E
作BD 的垂线，垂足为M ，连接MF ，取BD 的中点O ，过O 作OT ⊥D 1B ，则∠EFM ＝β，如图2所示，则ta n β＝EM
MF ，显然当FM ⊥D 1B 时，ta n β最大，此时β＝∠ATO ，易得ta n ∠ATO
＝
AO
OT
＝3，所以βma x ＝60°，故D 正确．当点E 在点B 时，θ＞0，β＝0；当点F 在点B 时，θ＝0，β＞0，故A ，B 不正确．故选D ．]
如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点．若AB ＝BC ＝BB 1，∠ABC ＝π
2，求
CC 1与平面BC 1D 所成角的余弦值．
[解] 如图，过点C作CH⊥C1D于点H．
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD．
∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC．
又CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1．
∵CH⊂平面ACC1，∴BD⊥CH．
又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，∴CH⊥平面BC1D，
∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角．
设AB＝2a，则CD＝2a，C1D＝6a，
∴si n∠CC1D＝CD
C1D＝
2a
6a
＝
3
3．。