力矩与力偶

也就是说力矩与矩心的位置有关。
1.2.2 力矩的性质 1.力F对O点这矩不仅取决于F的大小，同时还与矩心的位置即力臂d有关。 2.力在刚体上沿作用线移动时，力对点之矩不变。 3.力的大小等于零或力的作用线过矩心时，力矩等于零。 4.互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
§1.2 力对点之矩
1.2.3 合力矩定理 平面力系有一合力时，合力对平面内任一点之矩，等于各分力对同一点之 矩的代数和。
Ft
D 2
0
Fn
cos
D 2
1000 160 103 cos 20 75.2N m 2
计算力对点之矩的方法：1.利用力对点之矩的定义式计算。 2.利用合力矩定理计算。
§1.3 力偶
生活实例：
1.3.1 力偶的概念 1．力偶的定义：一对大小相等、指向相反的平行力组成的特殊力系称为力
偶。记作F , F 。
§1.3 力偶
性质1 力偶在任一轴上的投影的代数和为零。 力偶无合力，力偶对刚体的移动不产生任何影 响，即力偶不能与一个力等效，也不能简化为 一个力。
性质2 力偶对于其作用面内任意一点之矩与该 点（矩心）的位置无关，它恒等于力偶矩。
1.3.2 力偶的基本性质
§1.3 力偶
推论1 力偶可在其作用面内 任意移而不会改变它对刚体 的转动效应。
思考题：如图所示的圆盘，在力偶M=Fr和力F的作用
下保持静止，能否说力偶和力保持平衡？为什么？
§1-4 力的平移定理
力的平移定理 力可以等效的平移到刚体上的任一点，
但必须附加一个力偶，其力偶矩的大小等 于原力对该点之矩。
§1.4 力的平移定理
力的平移定理换句话说，就是平移前的一个力与平移后的一个力和一个附 加力偶等效。即一个力可以分解成为同平面内另一点的一个力和一个力偶。反 之共面的一个力和一个力偶也可以合成为同平面内的一个力，这便是力的平移 定理的逆定理。
（1．10）
式中，符号“ ”表示力偶的转向，一般规定，力偶逆时针转动时取正号，顺 时针转动时取负号。
力偶矩的单位为N·m或kN·m。 7．力偶的三要素 由实践可知，力偶对刚体的转动效应取决于力偶的三要素： 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶作用面的方位。
8．力偶的等效条件：力偶的三个要素相同。
1.3.2 力偶的基本性质
F1
M1 d
，
F2
M2 d
，…，
Fn
Mn d
（2）将作用于A、B处的共线力系合成
FR FR F1 F2 Fn Fi
§1.3 力偶
（3）合力偶矩计算 FR 与 FR 为一对等值、反向、不共线的平行力，它们组成的力偶即为合力偶， 则合力偶矩为
M FRd F1 F2 Fn d M1 M 2 M n Mi
力偶使丝锥转动，而力 F却使丝锥弯曲，从而影响攻丝精度，甚至使丝锥折
断。
§1.4 力的平移定理
实例（2）削乒乓球 当球拍击球的作用力没有通过球心时，按照力的平
移定理，将力F平移至球心，平移力F 使球产生移动，附加力偶M使球产生绕
球心的转动，于是形成旋转球。
§1.4 力的平移定理 实例（3）齿轮的啮合力对齿轮轴的作用效应 啮合力分解的圆周力F作用
2．力偶系：物体上有两个或两个以上力偶作用时，这些力偶组成力偶系。
§1.3 力偶
3．力偶的作用面：力偶的两力作用线所决定的平面。
4．力偶臂：两力作用线间的垂直距离。
5．力偶的作用效应：使刚体的转动状态发生改变。
6．力偶矩：力偶在其作用面内使物体产生转动效应的度量。记作：M F , F
或M，即
M F , F M Fd
点，要撬动地球，恐怕撬棍的动力臂长的你
无法相象，比阻力臂要长1000万万亿倍，要
把地球撬起1厘米，如果按每秒移动1米计算，要花3万亿年的时间，这比地球 的历史还要长。——来自中国科普网
§1.2 力对点之矩
力对点之矩是度量力使刚体绕某点转动
效应的物理量。 O为刚体内或外的任意点 ——力矩中心
简称矩心； 力臂：矩心到力作用线的垂直距离。
20.00 N·
图(c) MO F Fd m200 200103
40.00 N·m
§1.2 力对点之矩 例1.2 一齿轮受到与它相啮合的另一齿轮的作用力 Fn =1000N，齿轮节
圆直径D=0.16m，压力角（啮合力与齿轮节圆切线间的夹角） 20，求啮合
力Fn对轮心O之矩。
解：解法一 利用定义式计算
1.2.1 力矩的概念
§1.2 力对点之矩
谁曾经想过用杠杆来移动地球？
古希腊科学家阿基米德曾说过“如果给我一个支点，我就能撬起地球”。 这句名言从理论上讲是完全正确的，因为杠
杆能使力变大，只要杠杆足够长，就能产生
足够大的力来“搬动”地球。 动力臂越长，施力的一方经过的距离越
长，力省了，可费了距离。如果真有一个支
MO F
Fn r0
Fn
D 2
cos
1000 160 103 cos 20 2
75.2N m
§1.2 力对点之矩 解法二 利用合力矩定理计算
将合力Fn在齿轮啮合点处分解为圆周力Ft和Fr，则
Ft Fn cos Fr Fn sin
由合力矩定理得：
MO Fn MO Ft MO Fr
§1.3 力偶 例题：用多轴钻床在一工件上同时钻出四个直径相 同的孔。每一钻头作用于工件的钻削力偶，其矩估值 为M=15N·m。求作用于工件的总的钻削力偶矩。 解：作用于工件上的四个力偶，各力偶矩的大小相 等、转向相同且在同一平面内，根据式（1.11）可求出 合力偶矩（总的钻削力偶矩）为
M M1 M2 M3 M4 60N·m
推论2 只要保持力偶矩不变，可以 任意改变力和力偶臂的大小而不会改 变力偶对刚体的转动效应。
§1.3 力偶 1.3.3 平面力偶系的合成
平面力偶系合成的结果为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即
M M1 M 2 M n Mi
（1.11）
§1.3 力偶
证明：（1）将n个力偶等效变换，表示成力偶臂均为d，作用在A、B两点的 反向平行力，则有
于齿轮上，将力F平移至轴心点O，平移力F 作用于轴上，引起两轴承产生阻止
轴移动的力，附加力偶M使齿轮绕轴转动。
=
r
F’
F
M ＋
§1.4 力的平移定理 例题：有一圆盘受三力F1 、F2 、F3作用，已知F1= F2=1000N,F3 =2000N。F1 与F2 组成一力偶，则与水平线成 45角；圆盘的直径为100mm。试求此三力 之合力的大小和方向及合力作用线到O点的距离。
§1.5 约束与约束反力 平面问题中一般用下图（a）所示简图符号表示，约束作用如图(b)所示，
两个正交约束力 FAx、FAy 表示限制构件的移动的约束作用，一个约束力偶MA
表示限制构件转动的约束作用。
第1章 静力学的基本概念 小结
一、理解“力”时注意事项:
1．力是物体间相互的机械作用：“力”不能脱离周围物体而单独存 在，只要有“力”就要想到“施力物体”与“受力物体”，且两物体相 互作用，即“作用力”与“反作用力”关系。
解：根据力的平移定理的逆定理知：F1与F2组成的力偶与F3 可以合成为一合力，合力的大小为
FＲ 2000N
方向与F3的方向一致，作用位置为
d M F1×100 50 mm FR 2000
§1.5 约束与约束反力 1.5.4 固定端约束 工程实际中把使物体的一端既不能移动，又不能转动的这类约束称为固定端。 例如一端紧固地插入刚性墙内的阳台挑梁、摇臂钻在图示平面内紧固于立柱 上的摇臂、夹紧在卡盘上的工件等，就是物体受到固定端约束的三个实例。
解：图示的三种情况下，虽然力的大小、作 用点和矩心均相同，但力的作用线各异，致使力 臂均不相同，因而三种情况下，力对点O之矩不 同。根据力矩的定义式（1.8）可求出力对点O之 矩分别为：
图(a) MO F Fd 200 200103 cos30
34.64 N·m
图(b) MO F Fd 200 200103 sin 30
表达式为：
MO FR MO F1 MO F2 MO Fn MO Fi
（1.9）
在计算力矩时，若力臂不易求出，常将力分解为两个易确定力臂的分力 （通常是正交分解），然后应用合力矩定理计算力矩。
§1.2 力对点之矩
例1.1 如图所示，数值相同的三个力三种不同情况下力对点O之矩。
力矩的表示符号：
M O F
力矩的表达式为：
MO F F d
(1.8)
符号“ ” 表示力矩的转向，确定在平面问
题中，逆时针转向的力矩取正号，顺时针转向
的力矩取负号。故平面上力对点之矩为代数量。
§1.2 力对点之矩
应当注意：一般来说，同一个力对不同点产生的力矩是不同的，因此不 指明矩心而求力矩是无任何意义的。在表示力矩时，必须标明矩心。
第1章 静力学的基本概念 小结
四、力矩的表达式为：
MO F F d
五、 合力矩定理
MO FR MO F1 MO F2 MO Fn MO Fi
六、平面力偶系合成的结果为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。 即
M M1 M 2 M n Mi
七、力的平移定理不仅是力系向一点简化的理论依据，而且可以用来分析力 对刚体的作用效应——力对刚体产生移动和转动两种运动效应。
2．力的作用效应就是使物体运动状态或形状发生改变.即外效应和 内效应。
3．力的三要素 。
二、 静力学公理是研究静力学问题的理论基础，其实质是说明了力 的基本性质：
1．刚体平衡的最简单性质； 2．平衡力系的加减性质； 3．力的可传性； 4．力的作用与反作用相等的性质。
三、 二力构件是最简单的受力物体，是二力平衡合理的演绎，工程 实际中经常用到，必须会判断。