高中数学 必修四 1.3.1诱导公式二、三、四课时作业 新人教A版必修4

高中数学 1.3.1诱导公式二、三、四课时作业
基础巩固
一、选择题
1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( ) A ．α一定是锐角 B ．0≤α<2π
C ．α一定是正角
D ．α是使公式有意义的任意角
[答案] D
2．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β) [答案] B
3．cos(－20π
3)等于( )
A.12 B ．
32 C ．－12
D ．－
32 [答案] C
[解析] cos(－20π3)＝cos 20π3＝cos(6π＋2π3)＝cos 2π3＝cos(π－π3)＝－cos π
3＝
－1
2
. 4．tan300°＝( ) A. 3 B ．－ 3 C.33
D ．－
33 [答案] B
[解析] tan300°＝tan(360°－60°)＝tan(－60°) ＝－tan60°＝－ 3.
5．sin600°＋tan240°的值是( ) A ．－
32
B ．
32
C ．－1
2＋ 3
D ．1
2
＋ 3 [答案] B
[解析] sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－
32＋3＝32
. 6．已知tan5°＝t ，则tan(－365°)＝( ) A ．t B ．360°＋t C ．－t D ．与t 无关
[答案] C
[解析] tan(－365°)＝－tan365°＝－tan(360°＋5°)＝－tan5°＝－t . 二、填空题
7．若sin(π＋α)＝12，α∈(－π
2，0)，则tan α＝________.
[答案] －
33
[解析] ∵sin(π＋α)＝－sin α＝1
2，
∴sin α＝－12，又α∈(－π
2，0)，
∴α＝－π6，tan α＝tan(－π6)＝－3
3
.
8．已知α∈(0，π2)，tan(π－α)＝－3
4，则sin α＝______.
[答案] 3
5
[解析] 由于tan(π－α)＝－tan α＝－34，则tan α＝3
4，
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
sin αcos α＝34，
sin 2α＋cos 2α＝1，
得sin α＝±35，又α∈(0，π
2)，所以sin α>0.
所以sin α＝3
5.
三、解答题
9．求值：(1)sin1 320°；(2)cos(－31π
6
)．
[解析] (1)sin1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－
32
. (2)cos(－31π6)＝cos(－6π＋5π6)＝cos 5π
6
＝cos(π－π6)＝－cos π6＝－3
2.
10．已知
＋α
α＋36
＋α
－α－
－180°－α
＝lg
13
10，求
π＋αcos α
π－α
－1]＋
α－2πcos α
π－α＋α－2π
的值．
[解析] ∵＋αα＋
＋α
－α－
－180°－α
＝－cos αα＋α
－80°＋α＋α
＝
－cos α
α－sin α
sin α
－cos α
＝－sin α＝lg
13
10
，
∴sin α＝－lg
1
3
10
＝lg 3
10＝13.
∴π＋α
cos α
π－α
－1]＋
α－2πcos απ－α＋α－2π
＝－cos αcos α－cos α－
＋
cos αcos α
－cos α
＋cos α
＝1cos α＋1＋1
1－cos α＝
－cos α＋＋cos α
1－cos 2
α
＝
2
sin 2
α
＝18. 能力提升
一、选择题
1．设tan(5π＋α)＝m (α≠k π＋π
2，k ∈Z )，则
α－3π＋π－α－α－
π＋α
的
值为( )
A.
m ＋1
m －1
B ．
m －1
m ＋1
C ．－1
D ．1
[答案] A
[解析] ∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m ，原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1
－tan α＋1
＝
－m －1－m ＋1＝m ＋1
m －1
，故选A. 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin(α－5π)·cos(3π－α)等于( )
A.34 B ．310 C ．±310
D ．－310
[答案] B
[解析] 由sin α＋cos α
sin α－cos α＝2，得tan α＝3.
则sin(α－5π)·cos(3π－α) ＝－sin(5π－α)·cos(2π＋π－α) ＝－sin(π－α)·[cos(π－α)] ＝－sin α·(－cos α) ＝sin α·cos α ＝sin αcos α
sin 2α＋cos 2
α ＝
tan α
tan 2
α＋1
＝310
3．已知n 为整数，化简n π＋αn π＋α
所得结果是( ) A ．tan(n α) B ．－tan(n α) C ．tan α D ．－tan α
[答案] C
[解析] 若n ＝2k (k ∈Z )，则n π＋αn π＋α
＝
k π＋αk π＋α
＝sin αcos α＝tan α；若n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则n π＋αn π＋α＝
k π＋π＋αk π＋π＋α
＝
π＋απ＋α
＝
－sin α
－cos α
＝
tan α.
4．若α∈(－π2，0)，且sin(π－α)＝log 81
4，则tan(2π－α)等于( )
A ．－
52
B ．
52
C ．－255
D ．255
[答案] D
[解析] 依题意，得sin α＝log 814＝log 2
14log 28＝－2
3.
∵α∈(－π
2，0)，
∴cos α＝1－sin 2
α＝
1－－
2
3
2
＝
53
. ∴tan(2π－α)＝－tan α＝－sin α
cos α＝－－
235
3＝255.
二、填空题
5．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2014)＝－1，则f (2015)等于________．
[答案] 1
[解析] ∵f (2015)＝a sin(2015π＋α)＋b cos(2015π＋β)＝a sin(π＋2014π＋α)＋b cos(π＋2014π＋β)＝－a sin(2014π＋α)－b cos(2014π＋β)＝－f (2014)，又
f (2014)＝－1，∴f (2015)＝1.
6．若cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π
6－θ)＝________.
[答案] －
33
[解析] cos(5π6－θ)＝cos[π－(π6＋θ)]＝－cos(π6＋θ)＝－3
3.
三、解答题
7．已知α是第四象限角，且
f (α)＝
π－α
π－α
－α＋2
π－α＋ππ－α
.
(1)化简f (α)；
(2)若sin α＝－3
5，求f (α)；
(3)若α＝－31π
3
，求f (α)．
[解析] (1)f (α)＝－sin αcos αtan α
－tan αsin α
＝cos α.
(2)∵sin α＝－3
5，且α是第四象限角，
∴f (α)＝cos α＝1－sin 2
α＝1－925＝45
. (3)f (－31π3)＝cos(－31π
3)
＝cos(－π3)＝cos π3＝1
2
.
8．已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2
－3＝0的两实根，且3π<α<7π2.求
cos(3π＋α)＋sin(π＋α)的值．
[解析] ∵tan α，1tan α
是方程x 2－kx ＋k 2
－3＝0的两根，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋1tan α
＝k ，
tan α·1tan α
＝k 2
－3，
Δ＝k 2
－k 2
－
即⎩⎪⎨⎪⎧
1
sin αcos α＝k ，k 2－3＝1，k 2
≤4.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1
k ＝sin αcos α，
k ＝±2，
3π<α<7π
2
，∴1
k
＝sin αcos α>0，故k ＝2.
即
1sin αcos α＝2，sin αcos α＝1
2
.
∴sin α＋cos α＝－α＋cos α
2
＝－1＋2sin αcos α＝－ 2.
∴cos(3π＋α)＋sin(π＋α)＝－(cos α＋sin α)＝ 2.。