中考数学《新定义型问题》专题复习

中考数学《新定义型问题》专项复习
考向1 数或函数类新定义
例：（2019•越秀区校级模拟）在平面直角坐标系中，当点(,)M x y 不在坐标轴上时，定义点M 的影子点为(y M x
，
)x
y ，已知点P 的坐标为(,)a b ，且a ．b 满足方程组|3|40(1416
a c c
b
c 为常数），若点P 的影子点是点P ，则点P 的坐标为 ． 【解析】方程组
|3|4
(1416
a
c
c b c 为常数），
40c ， 又由4160c ，4c ，3a ，1b ，
(3,1)P ，
由影子点的定义，1(3P ，3)，故答案为1
(3
，3)． 练习：
1．（2018•越秀区校级一模）定义[a ，
b ，]
c 为函数2y ax bx
c 的特征数，下面给出特征数为[1m ，
1m 2]m 的函数的一些结论：①当3m
时，函数图象的顶点坐标是(1,8)；②当1m 时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3；③当0m
时，函数在1
2
x
时，y 随x 的增大而减小；④不论m 取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【解析】因为函数2
y ax bx
c 的特征数为[1m ，1m ，2]m ； ①当3m
时，22
246
2(1)8y x x x ，顶点坐标是(1,8)；此结论正确；
②当1m 时，令0y ，有2
(1)(1)20m x m x m
，解得，1
1x ，2
21
m
x m ， 2
131||
31
m x x m ，所以当1m 时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3，此结论正确；
③当0m 时，2(1)(1)2y m x m x m 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：1
2(1)
m x
m ，在对
称轴的左边y 随x 的增大而增大， 因为当0m
时，
112111
2(1)2(1)2
12
m m m m m ，即对称轴在12x 右边，可能大于1
2
，所以在1
2
x
时，y 随x 的增大而减小，此结论错误， ④当1x 时，2(1)(1)20y m x m x m
即对任意m ，函数图象都经过点(1,0)那么同样的：当2
x
时，2
(1)(1)26y
m x m x m
，即对任意m ，函数图象都经过一个点(2,6)，此结论正确．
根据上面的分析，①②④是正确的． 故选：C ．
2．（2018•平定县二模）新定义：[a ，]b 为一次函数(0y
ax
b a
，a ，b 为实数）的“关联数””．若
“关联数”为[3，2]m 的一次函数是正比例函数，则点(1,1)m m 在第 象限． 【解析】 “关联数”为[3，2]m 的一次函数是正比例函数， 32y
x
m 是正比例函数，
20m ，
解得：2m ， 则11m
，13m
，
故点(1,1)m m 在第二象限． 故答案为：二．
3．（2019•电城区二模）对于实数a ，b ，我们定义符号{max a ，}b 的意义为：当a b 时，{max a ，}b a ；当a
b 时，{max a ，]
b b ；如：{4max ，2}
4，{3max ，3}
3，若关于x 的函数为{3y
max x
，
1}x ，则该函数的最小值是 ．
【解析】联立两函数解析式成方程组，得：
31
y x y
x ，
解得：1
2
x y
．
当1x
时，{3y max x
，1}
1
2x x ；当1x
时，{3y max x ，1}32x x ．
函数{3y max x
，1}x 最小值为2．
故答案为：2．
4．（2019•普宁育才实验学校二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点11(P x ，1)y 与22(P x ，2)y 的“非常距离”，给出如下定义： 若121
2||
||x x y y ，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x ； 若1
21
2||||x x y y ，则点1P 与点2P 的“非常距离”为1
2||y y ．
例如：点1(1,2)P ，点2(3,5)P ，因为|13||25|，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为|2
5|3，也就是图1中线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 交点）． （1）已知点1
(
2
A ，0)，
B 为y 轴上的一个动点，
①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）已知C 是直线334
y
x 上的一个动点，
①如图2，点D 的坐标是(0,1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；
②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标．
【解析】（1）①
B 为y 轴上的一个动点，
设点B 的坐标为(0,)y ．
11|0|
22
2
，
|0|2y ，
解得，2y 或2y ；
点B 的坐标是(0,2)或(0,2)；
②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12
（2）①如图2，取点C 与点D 的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若121
2||
||x x y y ，则
点1P 与点2P 的“非常距离”为1
2||x x ”解答，此时1
21
2||||x x y y ．即AC
AD ，
C 是直线334
y
x 上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，
设点C 的坐标为0(x ，0
33)4
x ，
0324
x x ，
此时，0
87
x ， 点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：08||7
x ， 此时8(
7C ，15)7
； ②当点E 在过原点且与直线3
34
y x 垂直的直线上时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设(,)E x y （点E
位于第二象限）．则2
2
431
y
x
x y
，解得，3545
x
y
，
故3(5E ，4)5． 0
033
4
3
5
4
5
x x ，解得，085x ，则点C 的坐标为8(5，9)5
，最小值为1． 考向 2 运算类新定义
例：（2019•兴宁市期末）定义新运算：a b
ab b ，例如：3
23228，则34 ．
【解析】a b ab b ，(3)4(3)441248．故答案为：8．
练习：
1．（2018•陆河二模）定义符号{min a ，}b 的含义为：当a b 时{min a ，}b b ；当a
b 时{min a ，}b a ．如：
{1min ，3}
3，{4min ，2}
4．则2
{1min x ，}x 的最大值是( )
A 51
B 51
2
C ．1
D ．0
【解析】在同一坐标系xOy 中，画出二次函数2
1y x 与正比例函数y
x 的图象，如图所示．设它们
交于点A ．B ． 令21x x ，即210x x ，解得：15
2
x
或
15
，
15(
2
A ，
51)，15(B ，15
)．
观察图象可知：
①当15
2x 时，2
{1min x
，2
}1x x ，函数值随x 51；
②15
15
x 时，2
{1min x ，}x x ，函数值随x 512
；
③当15
2x
时，2
{1min x ，2
}
1x x ，函数值随x 的增大而减小，最大值为1
5．
综上所示，2
{1min x
，}x 51．
故选：A ．
2．（2019•花都区期末）对于任意的实数m ，n ，定义运算“”，规定22()
()
m n m n mn
m n m n ，例如：
2323211，223231，计算(12)(2
1)的结果为( )
A ．4
B ．0
C ．6
D ．12
【解析】
22
()
()
m n m n mn
m n m n ，
(12)(21)22(12)(21)(1)52(1)5154，故选：A ．
3．（2019•紫金东江二中二模）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x 和y ，x ☆21(y a x ay a 为
常数），如：2☆22
3231
231a a a a ．若1☆2
3，则3☆6的值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．13
【解析】1☆2
3，2
213a a ，
2
22a a
，
3☆62361a a 2
3(2)1
a a 3217，故选：A ．
4．（2019•陆丰期末）对任意两个正实数a ，b ，定义新运算a ★b 为：若a b ，则a ★a
b b
；若a b ，
则a ★b
b a
．则下列说法中正确的有( ) ①a ★b
b ★a ②(a ★)(b b ★)1a ③a ★12b
a b
A ．①
B ．②
C ．①②
D ．①②③
【解析】①a b 时，a ★a
b b
，b ★a a b
，a ★b
b ★a ；
a
b 时，a ★b
b
a
，b ★b a a
，a ★b
b ★a ，
①符合题意．
②由①，可得：a ★b b ★a ，(a ★)(b b ★)(a a ★)(b a ★)b ，
(a ★)(b b ★)
1a 不一定成立，②不符合题意．
③由①，可得：a ★b
b ★a ，
a ★12b
a b
，
a ★12b
a b
不成立，③不符合题意，说法中正确的有1个：①．故选：A ．
5．（2019•仁化二模）定义一种新运算：1a n n
n b
n x dx a b ，例如：
2
22k h
xdx k h ，若
252m m
x dx
，
则m
．
【解析】由题意可得：21
152(5)m m
x dx m
m ，
则1125m
m
，解得：2
5m
．故答案为：25
． 考向3 图形类新定义
例：（2019•海珠区期末）定义：ABC 中，一个内角的度数为，另一个内角的度数为，若满足290，
则称这个三角形为“准直角三角形”．如图，在Rt ABC 中，90C
，8AC
，6BC ，D 是BC 上的
一个动点，连接AD ，若ABD 是“准直角三角形”，则CD 的长是( )
A ．
12
7
B ．
2413 C ．83
D ．
135
【解析】作DM AB 于M ．设BAD ，B ．
①设BAD
，B ，当2
90时， 90DAC
，
DAC
B ，
C C ，CA
D CBA ∽，2AC CD CB ，3263
CD
（舍去）；
②设BAD ，B ，当290时，90DAC ，DAC DAB ，
DM AB ，DC
AC ，
DM
DC ，
90DMA C
，DM DC ，AD AD ，
Rt ADC Rt ADM(HL)，8AM AC ，
90C
，8AC ，6BC
，
2
2
2
2
8610AB
AC BC ，
1082BM ，设BD
x ，则6CD DM x ， 在Rt BDM 中，则有2
2
2(6
)2x x ，解得103
x
．108
63
3
CD
．故选：C ．
练习：
1．（2019•高州市期末）我们定义：若两个角差的绝对值等于60，则称这两个角互为“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”．如：1110，250，|1
2|60，则1和2互为“正角”．如图，
已知120AOB
，射线OC 平分AOB ，EOF 在AOB 的内部，若60EOF ，则图中互为“正角”的
共有 对．
【解析】
120AOB
，射线OC 平分AOB ，
1
602
AOC
BOC
AOB ，
60AOB AOC ，60AOB
BOC ，
又60EOF ，60AOB EOF ， 60EOF
AOC
，
60AOF
AOE
，60AOF
COF
，
图中互为“正角”的共有AOB 与AOC ，AOB 与BOC ，AOB 与EOF ，AOF 与AOE ，AOF 与COF 共5对．故答案为：5
2．（2019•揭东县期末）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？（填“是”或不是）；
（2）若某三角形的三边长分别为12，则该三角形是不是奇异三角形，请做出判断并写出判断依据；（3）在Rt ABC中，两边长分别为a、c，且250
c，则这个三角形是不是奇异三角形？请做
a，2100
出判断并写出判断依据；
探究：在Rt ABC中，90
C，AB c，AC b，BC a，且b a，若Rt ABC是奇异三角形，求222
a b c．
::【解析】（1）设等边三角形的边长为a，
222
a a a，等边三角形一定是奇异三角形；
2
（2）2
22
1(7)22，该三角形一定是奇异三角形；
（3）当c为斜边时，22250
b c a，Rt ABC不是奇异三角形；
当b为斜边时，222150
b c a，
501502100，Rt ABC是奇异三角形；
222
2
a b c，Rt ABC是奇异三角形；
拓展：Rt ABC中，90
C，222
a b c，
c b a，222
2a b c，
2c b a，222
Rt ABC是奇异三角形，222
2b a c，
2222
c c，222
::1:2:3
a b c．
b a，22
3
2b a a b，22
2
3．（2019•云城区期末）定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．
（1）如图1，ABC中，AB AC，36
A，求证：ABC是倍角三角形；
（2）若ABC是倍角三角形，A B C，30
B，42
AC，求ABC面积；
（3）如图2，ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE AB，若AB AC BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．
【解析】（1）证明：AB AC，B C，
180
A B C，36
A，
72
B C，2
A C，即ABC是倍角三角形，（2）解：A
B C，30
B，
①当2
B C，得15
C，
过C作CH直线AB，垂足为H，
可得45
CAH，
2
4 AH CH AC．
43
BH，434
AB BH AH，
1
838
2
S AB CH．
②当2
A B或2
A C时，与A
B C矛盾，故不存在．
综上所述，ABC面积为8．
（3）AD平分BAE，
BAD EAD，
AB AE，AD AD，()
ABD AED SAS，
ADE ADB，BD DE．
又AB AC BD，AE AC BD，即CE BD．
CE DE．2
C BDE ADC．ADC是倍角三角形．
4．（2018•阳春市二模）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在ABC中，若222
AB AC AB AC BC，则ABC是“和谐三角形”．
（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是命题（填“真”或“假”)．
（2）若Rt ABC 中，90C
，AB
c ，AC b ，BC a ，且b a ，若ABC 是“和谐三角形”，求::a b c ．
（3）如图2，在等边三角形ABC 的边AC ，BC 上各取一点D ，E ，且AD CD ，AE ，BD 相交于点F ，
BG 是BEF 的高，若BGF 是“和谐三角形”，且BG
FG ．
①求证：AD CE ．
②连结CG ，若GCB
ABD ，那么线段AG ，FE ，CD 能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证
明：若不能，请说明理由．
【解析】（1）当ABC 为等边三角形时，AB AC BC ，
2
2
2
2
2AB AC AB AC
BC BC BC BC
BC ，
等边三角形一定是“和谐三角形”，故答案为：真； （2）90C
，AB
c ，AC b ，BC a ，
222a b c ，
当222a b ab c 时，则0ab （舍去）；
当2
2
2a c ac
b 时，则2
2
22a c ac c a ，
22ac
a ，2c a ．
::1:3:2a b c
；
当2
2
2b c bc
a 时，则2
222b c bc c b ，
22bc
b ，得2c
b ．
::3:1:2a b c
；（舍去），
综上可知，ABC 是“和谐三角形”时，::1:3:2a b c ；
（3）①
ABC 为等边三角形，
AB BC AC ，60ABC ACB BAC ， BG 是BEF 的高，BGF 是“和谐三角形”，::1:3:2FG BG BF
，
60BFG
，
60FAB FBA BFG ， 60FAB
EAC
BAC
，
FBA
EAC ，
在ABD 和CAE 中，BAD
ACE
BA
AC
DBA
EAC
，()ABD CAE ASA ，AD CE ；
②GCB ABD ，AB AC ，6060FAB ABD GCB ACG ，
在ABF 和CAG 中，FAB
GCA
AB
CA
ABF
CAG
，()ABF CAG ASA ，AG BF ，
AB BC ，AD CE ，BE CD ， 设FG x ，EG y ，则3BG
x ，2BF
x ， 2224AG BF x ，2
222()2EF x y x xy
y ，2
2
2
2
2(3)3CD x y x y ，
2
2
22
2
2
2422()
3AG EF AG EF
x x xy
y x x y x y ，
222AG EF AG EF CD ，
线段AG ，FE ，CD 能组成一个和谐三角形．
5．（2019•四会市二模）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知O 的两条弦AB
CD ，则AB 、CD 互为“十字弦”，
AB 是CD 的“十字弦”， CD 也是AB 的“十字弦”．
（1）若O 的半径为5，一条弦8AB ，则弦AB 的“十字弦” CD 的最大值为 ，最小值为 ．
（2）如图1，若O 的弦CD 恰好是O 的直径，弦AB 与CD 相交于H ，连接AC ，若12AC ，7DH
，
9CH
，求证：AB 、CD 互为“十字弦”；
（3）如图2，若O 的半径为5，一条弦8AB ，弦CD 是AB 的“十字弦”，连接AD ，若60ADC ，
求弦CD 的长．
【解析】（1）如图a ，当CD 是直径时，CD 的长最大，则CD 的最大值为10；
如图b，当点D与点A重合时，CD有最小值，
过点O作OE CD于E，OF AB于F，
4
AF BF，DE CE，2225163
OF AO AF，
OE CD，OF AB，90
CDB，四边形CEOF是矩形，
3
CE OF，6
CD，CD最小值为6，故答案为：10，6；（2）如图1，连接AD，
7
DH，9
CH，16
CD，
CD是直径，90
CAD，2225614447
AD CD AC，
47 AD
DH ，
47
47
DC
AD
，
AD DC
DH AD
，ADH ADC，
ADH CDA
∽，90
AHD CAD，AB CD，
AB、CD互为“十字弦”；
（3）如图2，过点O作OE CD于E，过点O作OF AB于点F，连接AO，CO，过点O作ON AC于N，
60
ADC，AB CD，3
AF DF，
OE
CD ，OF
AB ，AB CD ，
四边形OEHF 是矩形，4AF
BF
，CE
ED ，OF EH ，
2
2
2516
3OF
AO AF ，
3EH
，
3ED CE DH ，32CF DH ，
2120AOC ADC
，且5AO
CO
，ON
AC ，
30CAO
，AN CN ，5
2
NO
，53
AN ，53AC
，
2
2
2AH CH AC ，
2
275
3(32)DH DH ，
323
2
DH
， 322(3
23
)43
32
CD
CE
．。