大连备战中考数学专题复习分类练习 平行四边形综合解答题
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一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.
(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明∠BMC=90°;
(2)如图2,当b>2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
【答案】(1)见解析;
(2)存在,理由见解析;
(3)不成立.理由如下见解析.
【解析】
试题分析:(1)由b=2a,点M是AD的中点,可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD 是矩形,即可求得∠AMB=∠DMC=45°,则可求得∠BMC=90°;
(2)由∠BMC=90°,易证得△ABM∽△DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例,即可得方程:x2﹣bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△>0,即可确定方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意;
(3)由(2),当b<2a,a>0,b>0,判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况,即可求得答案.
试题解析:(1)∵b=2a,点M是AD的中点,
∴AB=AM=MD=DC=a,
又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,
∴∠AMB=∠DMC=45°,
∴∠BMC=90°.
(2)存在,
理由:若∠BMC=90°,
则∠AMB+∠DMC=90°,
又∵∠AMB+∠ABM=90°,
∴∠ABM=∠DMC,
又∵∠A=∠D=90°,
∴△ABM∽△DMC,
∴AM AB
CD DM
=,
设AM=x,则x a
a b x =
-
,
整理得:x2﹣bx+a2=0,
∵b>2a,a>0,b>0,
∴△=b2﹣4a2>0,
∴方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意,
∴当b>2a时,存在∠BMC=90°,
(3)不成立.
理由:若∠BMC=90°,
由(2)可知x2﹣bx+a2=0,
∵b<2a,a>0,b>0,
∴△=b2﹣4a2<0,
∴方程没有实数根,
∴当b<2a时,不存在∠BMC=90°,即(2)中的结论不成立.
考点:1、相似三角形的判定与性质;2、根的判别式;3、矩形的性质
2.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)请问EG与CG存在怎样的数量关系,并证明你的结论;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(请直接写出结果,不必写出理由)
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)结论仍然成立
【解析】
【分析】
(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG.
(2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点;再证明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明
△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG.
(3)结论依然成立.
【详解】
(1)CG=EG.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCF=90°.在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴CG=1
FD,
2
同理.在Rt △DEF 中,EG =12
FD ,∴CG =EG . (2)(1)中结论仍然成立,即EG =CG . 证法一:连接AG ,过G 点作MN ⊥AD 于M ,与EF 的延长线交于N 点.
在△DAG 与△DCG 中,∵AD =CD ,∠ADG =∠CDG ,DG =DG ,∴△DAG ≌△DCG (SAS ),∴AG =CG ;
在△DMG 与△FNG 中,∵∠DGM =∠FGN ,FG =DG ,∠MDG =∠NFG ,∴△DMG ≌△FNG (ASA ),∴MG =NG .
∵∠EAM =∠AEN =∠AMN =90°,∴四边形AENM 是矩形,在矩形AENM 中,AM =EN .在△AMG 与△ENG 中,∵AM =EN ,∠AMG =∠ENG ,MG =NG ,∴△AMG ≌△ENG (SAS ),∴AG =EG ,∴EG =CG .
证法二:延长CG 至M ,使MG =CG ,连接MF ,ME ,EC .在△DCG 与△FMG 中,∵FG =DG ,∠MGF =∠CGD ,MG =CG ,∴△DCG ≌△FMG ,∴MF =CD ,∠FMG =∠DCG ,∴MF ∥CD ∥AB ,∴EF ⊥MF .
在Rt △MFE 与Rt △CBE 中,∵MF =CB ,∠MFE =∠EBC=90°,EF =BE ,∴△MFE ≌△CBE ∴∠MEF =∠CEB ,∴∠MEC =∠MEF +∠FEC =∠CEB +∠CEF =90°,∴△MEC 为直角三角形. ∵MG =CG ,∴EG =12
MC ,∴EG =CG . (3)(1)中的结论仍然成立.理由如下:
过F 作CD 的平行线并延长CG 交于M 点,连接EM 、EC ,过F 作FN 垂直于AB 于N . 由于G 为FD 中点,易证△CDG ≌△MFG ,得到CD =FM ,又因为BE =EF ,易证
∠EFM =∠EBC ,则△EFM ≌△EBC ,∠FEM =∠BEC ,EM =EC
∵∠FEC +∠BEC =90°,∴∠FEC +∠FEM =90°,即∠MEC =90°,∴△MEC 是等腰直角三角形. ∵G 为CM 中点,∴EG =CG ,EG ⊥CG
【点睛】
本题是四边形的综合题.(1)关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答;(2)关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答.
3.如图①,四边形ABCD 是知形,1,2AB BC ==,点E 是线段BC 上一动点(不与,B C
重合),点F 是线段BA 延长线上一动点,连接,,,DE EF DF EF 交AD 于点G .设,BE x AF y ==,已知y 与x 之间的函数关系如图②所示.
(1)求图②中y 与x 的函数表达式;
(2)求证:DE DF ⊥;
(3)是否存在x 的值,使得DEG △是等腰三角形?如果存在,求出x 的值;如果不存在,说明理由
【答案】(1)y =﹣2x +4(0<x <2);(2)见解析;(3)存在,x =
54或552-或32. 【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法可得y 与x 的函数表达式;
(2)证明△CDE ∽△ADF ,得∠ADF =∠CDE ,可得结论;
(3)分三种情况:
①若DE =DG ,则∠DGE =∠DEG ,
②若DE =EG ,如图①,作EH ∥CD ,交AD 于H ,
③若DG =EG ,则∠GDE =∠GED ,
分别列方程计算可得结论.
【详解】
(1)设y =kx +b ,
由图象得:当x =1时,y =2,当x =0时,y =4,
代入得:24k b b +=⎧⎨=⎩,得24
k b =-⎧⎨=⎩, ∴y =﹣2x +4(0<x <2);
(2)∵BE =x ,BC =2
∴CE =2﹣x , ∴
211,4222CE x CD AF x AD -===-, ∴CE CD AF AD
=, ∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠C =∠DAF =90°,
∴△CDE ∽△ADF ,
∴∠ADF =∠CDE ,
∴∠ADF +∠EDG =∠CDE +∠EDG =90°,
∴DE ⊥DF ;
(3)假设存在x 的值,使得△DEG 是等腰三角形,
①若DE =DG ,则∠DGE =∠DEG ,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD ∥BC ,∠B =90°,
∴∠DGE =∠GEB ,
∴∠DEG =∠BEG ,
在△DEF 和△BEF 中,
FDE B DEF BEF EF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
∴△DEF ≌△BEF (AAS ),
∴DE =BE =x ,CE =2﹣x ,
∴在Rt △CDE 中,由勾股定理得:1+(2﹣x )2=x 2,
x
=54
; ②若DE =EG ,如图①,作EH ∥CD ,交AD 于H ,
∵AD ∥BC ,EH ∥CD ,
∴四边形CDHE 是平行四边形,
∴∠C =90°,
∴四边形CDHE 是矩形,
∴EH =CD =1,DH =CE =2﹣x ,EH ⊥DG ,
∴HG =DH =2﹣x ,
∴AG =2x ﹣2,
∵EH ∥CD ,DC ∥AB ,
∴EH ∥AF ,
∴△EHG ∽△FAG ,
∴EH HG AF AG
=,
∴124222x x x -=--, ∴125555,22x x -+=
=(舍), ③若DG =EG ,则∠GDE =∠GED ,
∵AD ∥BC ,
∴∠GDE =∠DEC ,
∴∠GED =∠DEC ,
∵∠C =∠EDF =90°,
∴△CDE ∽△DFE ,
∴CE DE CD DF
=, ∵△CDE ∽△ADF , ∴12
DE CD DF AD ==, ∴12
CE CD =, ∴2﹣x =12,x =32
, 综上,x =
54或5-5或32. 【点睛】
本题是四边形的综合题,主要考查了待定系数法求一次函数的解析式,三角形相似和全等的性质和判定,矩形和平行四边形的性质和判定,勾股定理和逆定理等知识,运用相似三角形的性质是解决本题的关键.
4.如图1,已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上,连接AE ,GC .
(1)试猜想AE 与GC 有怎样的关系(直接写出结论即可);
(2)将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转,使点E 落在BC 边上,如图2,连接AE 和CG .你认为(1)中的结论是否还成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)在(2)中,若E 是BC 的中点,且BC =2,则C ,F 两点间的距离为 .
【答案】(1) AE =CG ,AE ⊥GC ;(2)成立,证明见解析;2 .
【解析】
【分析】
(1)观察图形,AE、CG的位置关系可能是垂直,下面着手证明.由于四边形ABCD、DEFG都是正方形,易证得△ADE≌△CDG,则∠1=∠2,由于∠2、∠3互余,所以∠1、∠3互余,由此可得AE⊥GC.
(2)题(1)的结论仍然成立,参照(1)题的解题方法,可证△ADE≌△CDG,得∠5=∠4,由于∠4、∠7互余,而∠5、∠6互余,那么∠6=∠7;由图知∠AEB=∠CEH=90°﹣∠6,即∠7+∠CEH=90°,由此得证.
(3)如图3中,作CM⊥DG于G,GN⊥CD于N,CH⊥FG于H,则四边形CMGH是矩形,可得CM=GH,CH=GM.想办法求出CH,HF,再利用勾股定理即可解决问题.【详解】
(1)AE=CG,AE⊥GC;
证明:延长GC交AE于点H,
在正方形ABCD与正方形DEFG中,
AD=DC,∠ADE=∠CDG=90°,
DE=DG,
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴AE,CG,∠1=∠2
∵∠2+∠3=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠AHG=180°﹣(∠1+∠3)=180°﹣90°=90°,
∴AE⊥GC.
(2)答:成立;
证明:延长AE和GC相交于点H,
在正方形ABCD和正方形DEFG中,
AD=DC,DE=DG,∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°,
∴∠1=∠2=90°﹣∠3;
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴AE =CG ,∠5=∠4;
又∵∠5+∠6=90°,∠4+∠7=180°﹣∠DCE =180°﹣90°=90°,
∴∠6=∠7,
又∵∠6+∠AEB =90°,∠AEB =∠CEH ,
∴∠CEH+∠7=90°,
∴∠EHC =90°,
∴AE ⊥GC .
(3)如图3中,作CM ⊥DG 于G ,GN ⊥CD 于N ,CH ⊥FG 于H ,则四边形CMGH 是矩形,可得CM =GH ,CH =GM .
∵BE =CE =1,AB =CD =2,
∴AE =DE =CG ═DG =FG 5
∵DE =DG ,∠DCE =∠GND ,∠EDC =∠DGN ,
∴△DCE ≌△GND(AAS),
∴GCD =2,
∵S △DCG =12•CD•NG =12
•DG•CM , ∴2×25, ∴CM =GH 45, ∴MG =CH 22CG CM -355, ∴FH =FG ﹣FG 5, ∴CF 22FH CH +22535(
)()55
+2. 2.
【点睛】 本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
5.在ABC 中,AD BC ⊥于点D ,点E 为AC 边的中点,过点A 作//AF BC ,交DE 的延长线于点F ,连接CF .
()1如图1,求证:四边形ADCF 是矩形;
()2如图2,当AB AC =时,取AB 的中点G ,连接DG 、EG ,在不添加任何辅助线和字母的条件下,请直接写出图中所有的平行四边形(不包括矩形ADCF ).
【答案】(1) 证明见解析;(2)四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是平行四边形.
【解析】
【分析】
(1)由△AEF ≌△CED ,推出EF=DE ,又AE=EC ,推出四边形ADCF 是平行四边形,只要证明∠ADC=90°,即可推出四边形ADCF 是矩形.
(2)四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是平行四边形.
【详解】
()1证明:∵//AF BC ,
∴AFE EDC ∠=∠,
∵E 是AC 中点,
∴AE EC =,
在AEF 和CED 中,
AFE CDE AEF CED AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
∴
AEF CED ≅,
∴EF DE =,∵AE EC =,
∴四边形ADCF 是平行四边形,
∵AD BC ⊥, ∴90ADC ∠=,
∴四边形ADCF 是矩形.
()2∵线段DG 、线段GE 、线段DE 都是ABC 的中位线,又//AF BC ,
∴//AB DE ,//DG AC ,//EG BC , ∴四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是
平行四边形.
【点睛】
考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识,正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键.
6.如图,点O是正方形ABCD两条对角线的交点,分别延长CO到点G,OC到点E,使OG=2OD、OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG.
(1)如图1,若正方形OEFG的对角线交点为M,求证:四边形CDME是平行四边形.(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转,得到正方形OE′F′G′,如图2,连接AG′,DE′,求证:AG′=DE′,AG′⊥DE′;
(3)在(2)的条件下,正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边相交于点N,如图3,设旋转角为α(0°<α<180°),若△AON是等腰三角形,请直接写出α的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°.
【解析】
【分析】
(1)由四边形OEFG是正方形,得到ME=1
2
GE,根据三角形的中位线的性质得到
CD∥GE,CD=1
2
GE,求得CD=GE,即可得到结论;
(2)如图2,延长E′D交AG′于H,由四边形ABCD是正方形,得到AO=OD,
∠AOD=∠COD=90°,由四边形OEFG是正方形,得到OG′=OE′,∠E′OG′=90°,由旋转的性质得到∠G′OD=∠E′OC,求得∠AOG′=∠COE′,根据全等三角形的性质得到AG′=DE′,
∠AG′O=∠DE′O,即可得到结论;
(3)分类讨论,根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.
【详解】
(1)证明:∵四边形OEFG是正方形,
∴ME=1
2
GE,
∵OG=2OD、OE=2OC,
∴CD∥GE,CD=1
2
GE,
∴CD=GE,
∴四边形CDME是平行四边形;
(2)证明:如图2,延长E′D 交AG′于H ,
∵四边形ABCD 是正方形,
∴AO=OD ,∠AOD=∠COD=90°,
∵四边形OEFG 是正方形,
∴OG′=OE′,∠E′OG′=90°,
∵将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转,得到正方形OE′F′G′,
∴∠G′OD=∠E′OC ,
∴∠AOG′=∠COE′,
在△AG′O 与△ODE′中,
OA OD AOG DOE OG OE ⎧⎪∠'∠'⎨⎪''⎩
===,
∴△AG′O ≌△ODE′
∴AG′=DE′,∠AG′O=∠DE′O ,
∵∠1=∠2,
∴∠G′HD=∠G′OE′=90°,
∴AG′⊥DE′;
(3)①正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边AD 相交于点N ,如图3,
Ⅰ、当AN=AO 时,
∵∠OAN=45°,
∴∠ANO=∠AON=67.5°,
∵∠ADO=45°,
∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°;
Ⅱ、当AN=ON 时,
∴∠NAO=∠AON=45°,
∴∠ANO=90°,
∴α=90°-45°=45°;
②正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边AB 相交于点N ,如图4,
Ⅰ、当AN=AO时,
∵∠OAN=45°,
∴∠ANO=∠AON=67.5°,
∵∠ADO=45°,
∴α=∠ANO+90°=112.5°;
Ⅱ、当AN=ON时,
∴∠NAO=∠AON=45°,
∴∠ANO=90°,
∴α=90°+45°=135°,
Ⅲ、当AN=AO时,旋转角a=∠ANO+90°=67.5+90=157.5°,
综上所述:若△AON是等腰三角形时,α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°.【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用,有一定的综合性,分类讨论当△AON是等腰三角形时,求α的度数是本题的难点.
7.(问题发现)
(1)如图(1)四边形ABCD中,若AB=AD,CB=CD,则线段BD,AC的位置关系
为;
(拓展探究)
(2)如图(2)在Rt△ABC中,点F为斜边BC的中点,分别以AB,AC为底边,在
Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,连接FD,FE,分别交AB,AC于点M,N.试猜想四边形FMAN的形状,并说明理由;
(解决问题)
(3)如图(3)在正方形ABCD中,AB=2,以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°,得到正方形AB'C'D',请直接写出BD'平方的值.
【答案】(1)AC垂直平分BD;(2)四边形FMAN是矩形,理由见解析;(3)16+8
或16﹣8
【解析】
【分析】
(1)依据点A在线段BD的垂直平分线上,点C在线段BD的垂直平分线上,即可得出AC 垂直平分BD;
(2)根据Rt△ABC中,点F为斜边BC的中点,可得AF=CF=BF,再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE,即可得到AD=DB,AE=CE,进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°,即可判定四边形AMFN是矩形;
(3)分两种情况:①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°,②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°,分别依据旋转的性质以及勾股定理,即可得到结论.
【详解】
(1)∵AB=AD,CB=CD,
∴点A在线段BD的垂直平分线上,点C在线段BD的垂直平分线上,
∴AC垂直平分BD,
故答案为:AC垂直平分BD;
(2)四边形FMAN是矩形.理由:
如图2,连接AF,
∵Rt△ABC中,点F为斜边BC的中点,
∴AF=CF=BF,
又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,
∴AD=DB,AE=CE,
∴由(1)可得,DF⊥AB,EF⊥AC,
又∵∠BAC=90°,
∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°,
∴四边形AMFN是矩形;
(3)BD′的平方为16+8或16﹣8.
分两种情况:
①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°,
如图所示:过D'作D'E⊥AB,交BA的延长线于E,
由旋转可得,∠DAD'=60°,
∴∠EAD'=30°,
∵AB=2=AD',
∴D'E=AD'=,AE=,
∴BE=2+,
∴Rt△BD'E中,BD'2=D'E2+BE2=()2+(2+)2=16+8
②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°,
如图所示:过B作BF⊥AD'于F,
旋转可得,∠DAD'=60°,
∴∠BAD'=30°,
∵AB=2=AD',
∴BF=AB=,AF=,
∴D'F=2﹣,
∴Rt△BD'F 中,BD'2=BF2+D'F2=()2+(2-)2=16﹣8
综上所述,BD′平方的长度为16+8或16﹣8.
【点睛】
本题属于四边形综合题,主要考查了正方形的性质,矩形的判定,旋转的性质,线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用,解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形,依据勾股定理进行计算求解.解题时注意:有三个角是直角的四边形是矩形.
8.已知边长为1的正方形ABCD中, P是对角线AC上的一个动点(与点A、C不重合),过点P作PE⊥PB ,PE交射线DC于点E,过点E作EF⊥AC,垂足为点F.
(1)当点E落在线段CD上时(如图),
①求证:PB=PE;
②在点P的运动过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,试求出这个不变的值,若变化,试说明理由;
(2)当点E落在线段DC的延长线上时,在备用图上画出符合要求的大致图形,并判断上述(1)中的结论是否仍然成立(只需写出结论,不需要证明);
(3)在点P的运动过程中,△PEC能否为等腰三角形?如果能,试求出AP的长,如果不能,试说明理由.
【答案】(1)①证明见解析;②点PP在运动过程中,PF的长度不变,值为
2
2
;(2)
画图见解析,成立;(3)能,1.
【解析】
分析:(1)①过点P作PG⊥BC于G,过点P作PH⊥DC于H,如图1.要证PB=PE,只需证到△PGB≌△PHE即可;②连接BD,如图2.易证△BOP≌△PFE,则有BO=PF,只需求出BO的长即可.
(2)根据条件即可画出符合要求的图形,同理可得(1)中的结论仍然成立.
(3)可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论,通过计算就可求出符合要求的AP的长.
详解:(1)①证明:过点P作PG⊥BC于G,过点P作PH⊥DC于H,如图1.
∵四边形ABCD是正方形,PG⊥BC,PH⊥DC,
∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°.
∴PG=PH,∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°.
∵PE⊥PB即∠BPE=90°,
∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH.
在△PGB和△PHE中,
PGB PHE PG PH
BPG EPH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
===, ∴△PGB ≌△PHE (ASA ),
∴PB=PE .
②连接BD ,如图2.
∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BOP=90°.
∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°,
∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF .
∵EF ⊥PC 即∠PFE=90°,
∴∠BOP=∠PFE .
在△BOP 和△PFE 中,
PBO EPF BOP PFE PB PE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
=== ∴△BOP ≌△PFE (AAS ),
∴BO=PF .
∵四边形ABCD 是正方形,
∴OB=OC ,∠BOC=90°,
∴2OB .
∵BC=1,∴OB=
22, ∴PF=22
. ∴点PP 在运动过程中,PF 2. (2)当点E 落在线段DC 的延长线上时,符合要求的图形如图3所示.
同理可得:PB=PE,PF=2
.
(3)①若点E在线段DC上,如图1.
∵∠BPE=∠BCE=90°,∴∠PBC+∠PEC=180°.
∵∠PBC<90°,∴∠PEC>90°.
若△PEC为等腰三角形,则EP=EC.
∴∠EPC=∠ECP=45°,
∴∠PEC=90°,与∠PEC>90°矛盾,
∴当点E在线段DC上时,△PEC不可能是等腰三角形.②若点E在线段DC的延长线上,如图4.
若△PEC是等腰三角形,
∵∠PCE=135°,
∴CP=CE,
∴∠CPE=∠CEP=22.5°.
∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°.
∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER,
∴∠PBR=∠CER=22.5°,
∴∠ABP=67.5°,
∴∠ABP=∠APB.
∴AP=AB=1.
∴AP的长为1.
点睛:本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识,有一定的综合性,而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键.
9.倡导研究性学习方式,着力教材研究,习题研究,是学生跳出题海,提高学习能力和创新能力的有效途径.下面是一案例,请同学们认真阅读、研究,完成“类比猜想”的问题.习题如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,说明理由.
解答:∵正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ADC=∠B=90°,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′,点F、D、E′在一条直线上.
∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF,又∵AE′=AE,AF=AF
∴△AE′F≌△AEF(SAS)∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF.
类比猜想:
(1)请同学们研究:如图(2),在菱形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当
∠BAD=120°,∠EAF=60°时,还有EF=BE+DF吗?请说明理由.
(2)在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当AB=AD,∠B+∠D=180°,
∠EAF=∠BAD时,EF=BE+DF吗?请说明理由.
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′,如图(2),连结E′F,根据菱形和旋转的性质得到AE=AE′,∠EAF=∠E′AF,利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F,得到EF=E′F;由于∠ADE′+∠ADC=120°,则点F、D、E′不共线,所以DE′+DF>EF,即由BE+DF>EF;(2)把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′,如图(3),根据旋转的性质得到AE′=AE,∠EAF=∠E′AF,然后利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F,得到EF=E′F,由于
∠ADE′+∠ADC=180°,知F、D、E′共线,因此有EF=DE′+DF=BE+DF;根据前面的条件和结论
可归纳出结论.
试题解析:(1)当∠BAD=120°,∠EAF=60°时,EF=BE+DF不成立,EF<BE+DF.理由如下:∵在菱形ABCD中,∠BAD=120°,∠EAF=60°,
∴AB=AD,∠1+∠2=60°,∠B=∠ADC=60°,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′,如图(2),连结E′F,
∴∠EAE′=120°,∠1=∠3,AE′=AE,DE′=BE,∠ADE′=∠B=60°,
∴∠2+∠3=60°,
∴∠EAF=∠E′AF,
在△AEF和△AE′F中
,
∴△AEF≌△AE′F(SAS),
∴EF=E′F,
∵∠ADE′+∠ADC=120°,即点F、D、E′不共线,
∴DE′+DF>EF
∴BE+DF>EF;
(2)当AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=∠BAD时,EF=BE+DF成立.
理由如下:如图(3),
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′,如图(3),
∴∠EAE′=∠BAD,∠1=∠3,AE′=AE,DE′=BE,∠ADE′=∠B,
∵∠B+∠D=180°,
∴∠ADE′+∠D=180°,
∴点F、D、E′共线,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠1+∠2=∠BAD,
∴∠2+∠3=∠BAD,
∴∠EAF=∠E′AF,
在△AEF和△AE′F中
,
∴△AEF≌△AE′F(SAS),
∴EF=E′F,
∴EF=DE′+DF=BE+DF;
归纳:在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当AB=AD,∠B+∠D=180°,
∠EAF=∠BAD时,EF=BE+DF.
考点:四边形综合题.
10.已知:如图,四边形ABCD和四边形AECF都是矩形,AE与BC交于点M,CF与AD交于点N.
(1)求证:△ABM≌△CDN;
(2)矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时,四边形 AMCN是菱形,证明你的结论.【答案】(1)证明见解析;(2)当AB=AF时,四边形AMCN是菱形.证明见解析;【解析】
试题分析:(1)由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形,从而可得AM=CN,再由AB=CD,∠B=∠D=90°,利用HL即可证明;
(2)若四边形AMCN为菱形,则有AM=AN,从已知可得∠BAM=∠FAN,又∠B=∠F=90°,所以有△ABM≌△AFN,从而得AB=AF,因此当AB=AF时,四边形AMCN是菱形.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=90°,AB=CD,AD∥BC.
∵四边形AECF是矩形,∴AE∥CF.∴四边形AMCN是平行四边形.∴AM=CN.在
Rt△ABM和Rt△CDN中,AB=CD,AM=CN,∴Rt△ABM≌Rt△CDN.
(2)当AB=AF时,四边形AMCN是菱形.
∵四边形ABCD、AECF是矩形,∴∠B=∠BAD=∠EAF=∠F=90°.∴∠BAD-∠NAM=∠EAF-∠NAM,即∠BAM=∠FAN.又∵AB=AF,∴△ABM≌△AFN.∴AM=AN.由(1)知四边形AMCN是平行四边形,∴平行四边形AMCN是菱形.
考点:1.矩形的性质;2.三角形全等的判定与性质;3.菱形的判定.。