上海静安区高中教学质量检测高三数学

静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测
高三数学试卷
本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每
个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．“0<x ”是“a x <”的充分非必要条件，则a 的取值范围是 ． 2．函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
-=4sin 31)(2πx x f 的最小正周期为 ． 3．若复数z 为纯虚数， 且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ．
4．二项式5
21⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+x x 的展开式中，x 的系数为 ．
5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 立方米． 6．已知α为锐角，且3
cos()4
5
π
α+
=
，则sin α=________ ． 7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0r x p p e =⋅（r 为常数）.
若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．(精确到小时) 8．已知奇函数)(x f 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足
0)()(87=+x f x f ，则2017x 的值为 ．
9．直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任
意一点，则AB AM ⋅
的最大值为________．
10．已知b a x f x -=)( 0(>a 且1≠a ，R ∈b )，1)(+=x x g ，若对任意实数x 均有
0)()(≤⋅x g x f ，则
b
a 4
1+的最小值为________． 二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确
的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11．若空间三条直线a 、b 、c 满足c b b a ⊥⊥,，则直线a 与c 【 】
A ．一定平行；
B ．一定相交；
C ．一定是异面直线；
D ．平行、相交、是异面直线都有可能．
12．在无穷等比数列{}n a 中，2
1
)(lim 21=+⋅⋅⋅++∞
→n n a a a ，则1a 的取值范围是【 】 A ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛210，；
B ．⎪⎭
⎫
⎝⎛121，；
C ．()10，；
D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛
210，⎪⎭
⎫ ⎝⎛121，．
13．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，
那么不同的发言顺序有 【 】 A ．336种； B ．320种； C ．192种； D ．144种. 14．已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的
中心和2C 顶点均为原点O ，从每条曲线上各取 两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到
2C 的准线之间的距离为 【 】
A ．12-；
B
1；
C ．1；
D ．2．
15．已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，且当0>x 时，
⎩⎨⎧>-≤<=.
1),1(,10,)(2x x g x x x g ，x k x h 2log )(=（0>x ），若)()(x h x g y -=恰有4个零
点，则正实数k 的取值范围是 【 】
A ．]1,21[；
B ．]1,21
(；
C ．]2log ,21(3；
D ．]2log ,2
1
[3．
三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 16．（本题满分11分，第1小题6分，第2小题5分）
已知正四棱柱1111ABCD A BC D -，a AA a AB 2,1==,,E F 分别是棱,AD CD 的中点． (1) 求异面直线1BC EF 与所成角的大小； (2) 求四面体EF CA 1的体积．
17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
设双曲线C ：
22
123
x y -=， 12,F F 为其左右两个焦点． (1) 设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求M F OM 1⋅的取值范围； (2) 若动点P 与双曲线C 的两个焦点12,F F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为1
9
-，求动点P 的轨迹方程．
18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ
角方向cos θ⎛
=
⎝⎭
，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．
(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2) 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？
19．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设集合|)({x f M a =存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+．
(1) 若2
2)(x x f x -=，试判断)(x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；
(2) 若34
1
)(3
+-
=x x x g ，且a M x g ∈)(，求a 的取值范围； (3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x x
k
x x h （R ∈k ），且2)(M x h ∈，求)(x h 的最小值．
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）
由)2(≥n n 个不同的数构成的数列12,,n a a a 中，若1i j n ≤<≤时，i j a a <（即后面的项j a 小于前面项i a ），则称i a 与j a 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为3012=++；同理，等比数列8
1
,41,21,1--
的逆序数为4． (1) 计算数列*219(1100,N )n a n n n =-+≤≤∈的逆序数；
(2) 计算数列1,3
,1
n
n n a n n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数（*1,N n k n ≤≤∈）的逆序数；
(3) 已知数列12,,n a a a 的逆序数为a ，求11,,n n a a a - 的逆序数．
静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测
高三数学试卷答案与评分标准
一、
1．()∞+，0; 2．π; 3．
21; 4．10; 5．24
3π
; 6．
10
2
; 7．8; 8．4019; 9．12; 10．4 二、
11. D; 12. D; 13. A; 14.B; 15.C. 16．解：（1）连接11C A ，……………………………….1分
则B C A 11∠为异面直线1BC EF 与所成角 …………….1分 在B C A 11∆中，可求得a B A B C 511==，a C A 211=
11
cos 10
10AC B ∠==∴异面直线所成角的大小arccos …………………….4分 （2）113
112322212
C A EF A EFC
a a a V V a --==⋅⋅⋅⋅= ……………………………….5分 17．（1）设(),M x y
，x ≥
1(F ，
1
(,)()OM FM x y x y ⋅=⋅
2
2
2
2
332
x x y x =+=+-……………………………4分
2532x =
+-
（x ≥
5
x =-≤
)12OM F M ⎡⋅∈+∞
⎣
……………………………3分
（2）由椭圆定义得：P 点轨迹为椭圆22
221x y a b
+=
，12F F =122PF PF a +=
2
2
212121212
12
204220
cos 22PF PF a PF PF F PF PF PF PF PF +--⋅-∠=
=
⋅⋅
212
42012a PF PF -=-⋅
……………………………4分
由基本不等式得122a PF PF =+≥
当且仅当
12PF PF =时等号成立
2
12PF PF a ⋅≤22122
4201
cos 1929
a F PF a a -⇒∠≥-=-⇒=，24
b = 所求动点P 的轨迹方程为22
194
x y +=
……………………………3分 18．解：（1）如图建立直角坐标系，
……………………………1分
则城市()0,0A ，当前台风中心(
P -，
设t
小时后台风中心P 的坐标为()
,x y
，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为
6010t +，
10小时后，4.184PA ≈km ，台风的半径为=r 160km,
PA <r , ……………………………5分
故，10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . ………
1分 （2
）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以
()
P -为圆心，6010t +为半径的圆，
若城市A 受到台风侵袭，则
210800864000300t t -+≤⇒，即2362880t t -+≤，……………………………5分
解得1224t ≤≤ ……………………………1分 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. ……………………………1分
19．解：（1）∵1)0()1(==f f ， ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分
（2）由04
1
3341)(41)()()(3223
3>-++=+
+--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)4
1
(1293
4<-
-=∆a a a a ， ……………………………3分 故 1>a . ……………………………1分
（3）由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-++
+=-+x
k
x x k x x h x h , ………………1分 即：)(log ]2)2[(log 33x
k x x k x +>++
+ ∴ 022>+>++
+x
k
x x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立 ∴ 3113
)2(2
<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩
⎨⎧->+<k k k x k x x k ……………………………3分 当01≤<-k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当10<<k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当31<≤k 时，)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分 综上：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.
31),2(log ,
11),1(log )(33min
k k k k x h ……………………………1分 20．（1）因为{}n a 为单调递减数列，所以逆序数为
(991)99
9998149502
+⨯+++=
= ； ……………………………4分
（2）当n 为奇数时，13210n a a a ->>>> ．……………………………1分 当n 为偶数时，
222(4)11
21
20(1)(1)
n n n n a a n n n n n n ---=-
+≥+--=
--=<+-
所以2420n a a a >>>> ． ……………………………2分 当k 为奇数时，逆序数为
235341
(1)(3)21228
k k k k k k ---+-+-++++++= ……………2分
当k 为偶数时，逆序数为
22432(1)(3)11228
k k k k
k k ----+-++++++= …………………2分
（3）在数列12,,n a a a 中，若1a 与后面1n -个数构成1p 个逆序对，
则有1(1)n p --不构成逆序对，所以在数列11,,n n a a a - 中， 逆序数为12(1)
(1)(2)()2
n n n n p n p n n p a ---+--++--=- ．…7分。