[首发]湖南省临武县第一中学2019届高三5月仿真模拟数学(理)试题

临武县第一中学2019届高考仿真模拟试卷
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集{
}
2
230U x Z x x =∈--≤，{0,1,2}A =，则U C A =
A ．{1,3}-
B ．{1,0}-
C ．{0,3}
D ．{1,0,3}- 2．若复数3i
z i
-=
，则z 的虚部为（ ） A ．3i B ．3- C ．3
D ．3i -
3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A ．8种
B ．10种
C ．9种
D ．12种
4、设实数,x y 满足不等式组210
2100x y x y y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则3z x y =-+的最大值为（ ）
A ．3
2-
B ．2-
C ．2
D ．3
5．已知1
sin(),6
πα-=则cos(2)3πα-=（ ）
A ．
79- B ．9 C ．79
D ．9-
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30
7
．已知双曲线221:
110x y C m m +=-与双曲线22
2:14
y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）
A ．
B ．5
C ．5
4
D 8．已知函数()2sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的图象的相邻两条对称轴之间的距离为
2π，将函数()3f x π
的图象向左平移个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ=（ ）
A ． 6π
B ．6π-
C ．3π
D ．3
π-
9．已知函数,0
()ln ,0
x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()0f x a +=有
两个不相等的实根，则a 的取值范围是( )
A ．1a >-
B ．11a -<<
C ．01a <≤
D ．1a < 10．已知直线1y kx =+与曲线ln y x =相切，则k =（ ）
A ．2
e B ．
1e C ．e D ． 21e
11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构
造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）
A ．
413 B C ．9
26
D 12．如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，平面α垂直于对角线AC ，且平面α截得正方
体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）
A ．S 为定值，l 不为定值
B ．S 不为定值，l 为定值
C ．S 与l 均为定值
D ．S ，l 均不为定值
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13．已知向量(1,2),(4,)a b k ==，若()()
23a b a b +-‖，则k = _. 14．在38
1()2x x
-
的展开式中，4x 的系数为 _. 15．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点，已知
,AB DE ==C 的焦点到准线的距离为 _.
16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为 ,,a b c .若cos cos 2cos b C c B b B += ,且3,2b c ==，则ABC ∆ 的面积是 _.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 已知数列2n n
a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是公差为2的等差数列，且121,6,a a +成等比数列，0().n a n N *
>∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
18. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是,AD CD 的中点. (Ⅰ)证明：BD ⊥平面PEF
(Ⅱ)若0
60BAD ∠=，求二面角B PD A --的余弦值
19. （本小题满分12分）
已知椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，,A B 为椭圆C 上位于x 轴同
侧的两点，12AF F ∆的周长为6，12F AF ∠的最大值为
3
π
. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若1221AF F BF F π∠+∠=，求四边形12AF F B 面积的取值范围.
20. （本小题满分12分）
2019年某饮料公司计划从,A B 两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对,A B 两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图.从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在[)060，的受访者中有20%会购买，评分在[)6080，的受访者中有60%会购买，评分在[]80100，的受访者中有90%会购买.
(Ⅰ)在受访的100万人中，求对A 款饮料评分在60分以下的人数（单位：万人）；
(Ⅱ)现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性的概率；
(Ⅲ)如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由.
21. （本小题满分12分） 已知函数()1
ln ()x f x e
x mx m R -=+-∈的导函数为()f x '.
(Ⅰ)当0m =时，求()f x '的最小值；
(Ⅱ)若函数()f x 存在极值，试比较,m
e
e m 的大小，并说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩(θ为参数).在以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 极坐标方程为24sin 3ρρθ=-.
(Ⅰ)写出曲线1C 和2C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)若P Q ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数()21f x x a x =++-，其中a R ∈. (Ⅰ)当3a =时,求不等式()6f x <的解集； (Ⅱ)若()()5f x f x +-≥，求a 的取值范围.
参考答案
一、选择题 ABDD, CCAB, CDAB 二、填空题 8，7
4
-，4
，2
三、解答题
17、解：（1）由
2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是公差为 2
的等差数列，得
1+1
112(1),2(1)222
n n n n n
a a n a a n -=+-=+-……1分 所以213128,432,a a a a =+=+……………2分
由121,6,a a +成等比数列，得11(1)(28)36a a ++=，……………3分 所以112,7.4a a ==-或分
因为0n a > 所以11112.
2(1)2(21)26n n n
n a a a n n -+==+-=-分
（2）23
123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+
+-
23412123252(21)27n n S n +=⨯+⨯+⨯+
+-分
两式相减，得
23
1
1
4(12)-12222222(21)2
2(21)21012
n n
n n n S n n ++-=⨯+⨯+⨯+
+⨯--=-+---分
所以n 112+41-2)(21)26(23)212n n n S n n ++=+-=+-（分
18、解：（1）连结AC.
,PA PD =且E 是AD 的中点，.1PE AD ∴⊥分
,PAD ABCD PAD ABCD AD ⊥=平面平面平面平面 .2PE ABCD ∴⊥平面分 ..3BD ABCD BD PE ⊂∴⊥平面分
又ABCD 为菱形,且E,F 为棱的中点,,EF AC BD AC ∴⊥ 4BD EF ∴⊥分
又,,,BD PE PE EF E PE EF ⊥=⊂平面PEF.
BD ∴⊥平面
.
6PEF 分
(2)四边形ABCD 为菱形，且60,BAD EB AD ∠=∴⊥,分别以EA,EB,EP 所在直线为x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz .……7分
设AD=1,则1,0,0,,2D B P ⎛
⎫⎛⎛⎫-
⎪ ⎪
⎪ ⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭ 设平面PBD 的一个法向量为(,,)n x y z =
由00n
DB n DP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩得00
x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,
令
x =得(3,1,1).9n =--分
.
取平面APD 的一个法向量为(0,1,0).
10m =分 cos ,11m n ∴==分
二面角B-PD-A 为锐二面角
∴二面角B-PD-A
的余弦值为
125
分
19. 解：()
I 12AF F ∆的周长为6，226a c ∴+=，即3
a c +=①
1分
当A 为椭圆C 的上下顶点时，12F AF ∠最大为
3
π
，此时12AF F ∆为等边三角形，2a c =②
3分
由①②及2
2
2
a b c =+,
解得2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=……4分 ()122112
II ,//AF F BF F AF BF π∠+∠=∴5分 延长1AF 交椭圆C 于点A ',由()I 知()121
,0,(1,0)F F -,设()1122,,(,)A x y A x y '， 直线AA '的方程为1x ty =-，联立方程22
143
1x y x ty ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 并整理得 ()2234690t y ty +--=6分 121222
69
,3434
t y y y y t t ∴+=
=-++7分 设1AF 与2BF 的距离为d ,则四边形12AF F B 面积
21211
(||||)(||)22
F AA S AF BF d AA d S '
∆'=+==8分
12121221||||||234
S F F y y y y t ∴=-=-==
+10分
令m ，则1m ≥，21212=1
313m S m m m
∴=
++ 函数()S m 在[1,)+∞上单调递减，(03]S ∴∈，
故四边形12AF F B 面积的取值范围是(03]
，12分
20解：()I 由对A 款饮料的评分饼状图，得对A 款饮料评分在60分以下的频率为
0.05+0.15=0.22分
∴对A 款饮料评分在60分以下的人数为1000.2=20⨯（万人）4分 ()II 设受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性为事件C 。

记购买A 款饮料的可能性为20%为事件1A ；购买A 款饮料的可能性为60%为事件2A ； 购买A 款饮料的可能性为90%为事件3A ；购买B 款饮料的可能性为20%为事件1B ； 购买B 款饮料的可能性为60%为事件2B ；购买B 款饮料的可能性为90%为事件3B ；
则()10.050.150.2,P A =+=2()0.10.20.3P A =+=3()0.150.350.5P A =+= 由用频率估计概率得：
1235515201540
()0.1,()0.35,()0.55100100100P B P B P B +++=
=====6分
事件i A 与j B 相互独立，其中,1,2,3.i j =
213132213132()()()()()()()()
0.30.10.50.10.50.350.255
P C P A B A B A B P A P B P A P B P A P B ∴=++=++=⨯+⨯+⨯=
∴该受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性的概率为0.2558分
()III 从受访者对,A B 两款饮料购买期望角度看：
A 款饮料购买期望X 的分布列为：
B 款饮料购买期望Y 的分布列为：
10分
()=0.20.2+0.60.3+0.90.5=0.67E(Y)=0.20.1+0.60.35+0.90.55=0.725
E X ∴⨯⨯⨯⨯⨯⨯，
根据上述期望可知()()E X E Y <,故新品推介应该主推B 款饮料12分
21.(本小题满分12分)
解：（1）法一：11
()x f x e m x
-'=+
-………………1分 令()()h x f x '=，则121
()x h x e x
-'=-………………2分
∵()h x '在()0,+∞上单调递增，且()10h '=，
∴当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>.
∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. …………3分
∴()()12h x h m ≥=-，当0m =时，即()2f x '≥，当且仅当1x =时取等号………4分 ∴()f x '的最小值为2…………5分 法二：令1
()x h x e
x -=-，则1()1x h x e -'=-………………1分
∴当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>. ∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ∴()()10h x h ≥=，即1
x e
x -≥…………3分 ∴当0m =时，()1
11
2x f x e
x x x
-'=+
≥+≥，当且仅当1x =时取等号…………4分 ∴()f x '的最小值为2…………5分
(2)∵函数()f x 存在极值，()0f x '∴=在(0,)+∞有实数解………………6分 由（1）知
()()min 12f x f m ''==-，又()
11111ln 0,()01ln m f m f e m m
-''+=>=>+……7分20m ∴-<；即2m >.……8分
比较m e 与e
m 的大小，即比较m 与ln e m 的大小. ……9分
考察函数()ln (2)g x x e x x =->，
()1e x e g x x x
-'=-
=……10分 ∴当2x e <<时，()0g x '<，当x e >时，()0g x '>，
()g x ∴在(2,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增. ……11分
()()0g x g e ∴≥=，即ln x e x ≥，m e e m ∴≥（当且仅当m e =时取等号）……12分
22.(本小题满分10分)
解：(Ⅰ)曲线1C 的直角坐标方程为2
214
x y +=，………………2分
曲线2C 的直角坐标方程为2243x y y +=-，即()2
221x y +-=.………………5分
(Ⅱ)设P 点的坐标为(2cos sin θθ，).
21PQ PC ≤+11=
当2
sin 3θ=-时，max PQ 1. ……………………10分 22.(本小题满分10分)
解：(1)当3a =时，()231f x x x =++-
当1x ≥时，()326f x x =+<，解得43x <
，即4
13
x ≤<……………1分 当312x -≤<时，()46f x x =+<，解得2x <，即3
12
x -≤<……………2分
当32x <-时，()326f x x =--<，解得83x >-，即83
32
x -<<-……………3分
综上所述，不等式()6f x <的解集为84
(,)33
-……………5分
（2）()()2121f x f x x a x x a x +-=++-+-++--
(22)(11)x a x a x x =++-+-++……………6分 22a ≥+……………7分
225a ∴+≥……………8分
解得3322a a ≤-≥或，即a 的取值范围为33,,22⎛
⎤⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝⎦⎣⎭
……………10分。