厦门市2010～2011学年(上)高二质量检测

厦门市2010～2011学年（上）高一质量检测
数学试题参考答案
A 卷（共100分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1.A 【解析】通过数轴易得答案．
2.C 【解析】A+B 表示“朝上一面的数有2，4，5，6”，所以选择C ．
3.C 【解析】样本数据落在区间（10，40]的频数有52，所以选择C ．
4.C 【解析】运行7次即得答案．
5.D 【解析】分类求零点，累加即得零点个数3．
6.A 【解析】去掉一个最高分，一个最低分，从小到到大排序，容易得选项A ．
7.D 【解析】几何概型
8.D 【解析】画散点图，或逆推验证选择D ．
9.C 【解析】循环运算3次，输出4n =．
10.B 【解析】122011()8f x x x = ，即122011log ()8a x x x = ，
∴222122011()()()f x f x f x +++ =222122011log ()a x x x =1220112log ()16a x x x = ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
11．52 【解析】由214m -=，得52
m =． 12．785 667 199 507 175 【解析】第8行第7列的数是7，第一个三位数是785 13．2 【解析】由图(3)1,(1)2f f ==，所以[(3)]2f f =．
14．5 【解析】画出函数()f x 的图象，可求得函数的最大值是2，最小值是3-．
三、解答题：本大题共3小题，共34分．
15．（本题满分10分）
解：（Ⅰ）依题意，得101110
x x x +>⎧⇔-<<⎨->⎩， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
所以，函数()f x 的定义域为{}11x x -<<．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分
（Ⅱ）∵函数()f x 的定义域为{}
11x x -<<， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分
又∵()log (1)log (1)()a a f x x x f x -=-++=，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11分
∴函数()f x 为偶函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分
16．（本题满分12分）
解：（I ）一共有8种不同的结果，列举如下：
（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、
（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）．┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分
（Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A ，
事件A 包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红），
事件A 包含的基本事件数为3， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分
由（I ）可知，基本事件总数为8，所以事件A 的概率为3()8P A =
．┈12分 17．（本题满分12分）
解：（I ）∵x
x f 11)(-= ， 其定义域为}{0≠x x ， ∴)(x f 的增区间为)0,(-∞和),0(+∞． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈４分
（Ⅱ）2)1()(--=x x g ．（不唯一） ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分 （Ⅲ）1
211122)12(+-=+=+x x x x
f ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分 ∵11121x -<+， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分 ∴ (21)1
x f +< ， ∵)12(+x f 31m <-对任意x R ∈恒成立，∴ 311m -≥，┈┈┈┈11分 解得23
m ≥， ∴实数m 的取值集合是23m m ⎧
⎫≥⎨⎬⎩⎭
．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分
B 卷（共50分）
甲 卷
四、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
18．12
【解析】分别求平均数3,5x y ==，代入回归方程即得． 19．14π-
【解析】用几何概型公式易求得答案． 20．12 【解析】由偶函数条件得0b =，由112
a a a -=-⇒=． 21．908a <<【解析】由99808a a ∆=->⇒<，又0a >，所以908
a <<． 五、解答题：本大题共3小题，共34分．
22．（本题满分10分）
解：（Ⅰ）当00.1t ≤≤时， y kt =，图像过点（0.1，1），┈┈┈┈┈┈┈1分
∴10.110k k =⇒=， ∴10y t =； ┈┈┈┈┈┈┈2分
当0.1t ≥时，1(
)16t a y -=，图像过点（0.1，1），∴0.111()0.116a a -=⇒=， ∴0.11()16
t y -=； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 综上，从药物投放开始，每立方米空气中含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式
为0.110,00.11(),0.116
t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）药物释放完毕后，且达到一定标准，学生才能回到教室．
当0.1t >，有0.11()16t y -=，由0.25y <得0.111()0.6164
t t -<⇔>，┈┈9分 答：从药物投放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室． ┈10分
23．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）茎叶图如图：
┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
甲种树苗高度的中位数为
2529272
+=， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 平均数为40101001202710
+++=； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 乙种树苗高度的中位数为273028.52
+=， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 平均数为403040301603010++++=． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知27x =，记事件A 为“从10株乙种树苗中抽取1株，抽到的树苗高度超过x ”，则事件A 的结果有30，44，46，46，47共5种，┈┈┈┈┈┈6分 ∴51()102
P A =
=， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分 答：从10株乙种树苗中抽取1株，抽到的树苗高度超过x 的概率为12．┈┈8分 （Ⅲ）由框图可知：
222221[(3727)(2127)(3127)(2027)(2927)10
S =-+-+-+-+- 22222(1927)(3227)(2327)(2527)(3327)]+-+-+-+-+-
1(1003616494642516436)10
=+++++++++35=，┈┈┈┈┈10分 输出的S 大小为35， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11分
S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，S 值越小，表示长得越整齐；S 值越大，表示长得越参差不齐． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分
24．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为1x =时，()f x 有最大值，所以12b a
-=，即2b a =-， ┈1分 因为函数()()g x f x x =-只有一个零点，所以2(21)0ax a x -+=有等根．
所以2(21)0a ∆=+=， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 即1,12a b =-=．所以21()2
f x x x =-+． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 （Ⅱ）①当1m n <<时，)(x f 在[, ]m n 上单调递增，所以()3,()3,f m m f n n ==
所以,m n 是方程2132
x x x -+=的两根． 解得4,0m n =-= ； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分
②当1m n ≤≤时，132n =，解得16
n =， 不符合题意；┈┈┈┈┈9分 ③当1m n <<时，)(x f 在[, ]m n 上单调递减，所以()3,()3,f m n f n m == 即22113,322
m m n n n m -
+=-+=， 相减得221()()3()2
m n m n n m --+-=-， 因为m n ≠，所以1()132
m n -++=-，即8m n +=， ┈┈┈┈┈┈11分 将8n m =-代入213,2
m m n -+= 得213(8),2m m m -+=- 但此方程无解， 所以4,0m n =-=时，)(x f 的定义域为[, ]m n ，值域是[3, 3]m n ．┈┈12分
乙 卷
四、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
18．7 【解析】分别求平均数3,5x y ==，代入回归方程即得．
19．1【解析】用几何概型公式易求得答案． 20．2010 【解析】取1,1a b ==，代入条件得(2)4f =，以此类推分别求(3),(4),f f ，
发现规律，也可以构造函数()2x f x =．
21．2
10<<a 【解析】由条件知,对任意的实数b ,方程()0212=--+b x b ax 总有两个相异的实数根.∴()0812>+-=∆ab b 恒成立 ，
即对任意实数b , ()01282
>+-+b a b 恒成立.
从而()04282<--=∆'a , 解得2
10<<a ．
五、解答题：本大题共3小题，共34分．
22．（本题满分10分）
解：（Ⅰ）当00.1t ≤≤时，y 与t 成正比，可设y kt =， ┈┈┈┈┈┈┈1分
由图可知，当0.1x =时，1y =，∴10.110k k =⇒=，∴10y t =；┈2分
当0.1t ≥时，1(
)16t a y -=，图像过点（0.1，1），∴0.111()0.116a a -=⇒=， ∴0.11()16
t y -=； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 综上，从药物投放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为0.110,00.11(),0.116
t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）药物投放后，当00.1t ≤≤时，10y t =，
由0.25y ≥得100.25t ≥，∴0.025t ≥； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分
当0.1t >，有0.11(
)16t y -=， 由0.25y ≥得0.111()0.6164
t t -≥⇔≤， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分 答：从药物投放开始，0.025小时至0.6小时这段时间，学生必须离开教室．┈10分
23．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）茎叶图如图；
┈┈┈┈┈2分
统计结论： ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
（1）甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；
（2）甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；
（3）甲种树苗高度的中位数为27，乙种树苗高度的中位数为28.5；
（4）甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散． （Ⅱ）40101001202710
x +++==，由框图可知： 222221[(3727)(2127)(3127)(2027)(2927)10
S =-+-+-+-+- 22222(1927)(3227)(2327)(2527)(3327)]+-+-+-+-+-
1(1003616494642516436)10
=+++++++++35=， ┈┈┈┈┈7分 输出的S 大小为35，
S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，S 值越小，表示长得越整齐；S 值越大，表示长得越参差不齐． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分
（Ⅲ）从甲、乙两种树苗高度在30厘米以上（含30厘米）中各抽取1株的所有可能结果为： （37，30），（37，47），（37，46），（37，44），（37，46），
（31，30），（31，47），（31，46），（31，44），（31，46），
（32，30），（32，47），（32，46），（32，44），（32，46），
（33，30），（33，47），（33，46），（33，44），（33，46），
可能结果数为20种， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分
记事件A 为“样本平均数不小于40”，事件A 包含的结果有：
（37，47），（37，46），（37，44），（37，46），（33，47）共5种结果，┈┈10分 ∴51()204
P A ==； 答：各样本平均数不小于40的概率为
14． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分
24．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）当0=a 时，4
4)(2+=x x x f ， 对任意),(+∞-∞∈x ，)(4
44)()(4)(22x f x x x x x f -=+-=+--=-， )(x f ∴为奇函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
当0≠a 时，4
)(4)(2+-=
x a x x f ， 取1±=x ，得058)1()1(≠-=+-a f f ，058)1()1(≠-=--f f ， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，
∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）证明：4)(4)(2+-=
x a x x f ,任取],[,21n m x x ∈且21x x <，┈┈┈┈┈6分 则1212121212222212124()4()4()[()4]()()44(4)(4)x a x a x x a x x x x f x f x x x x x ---+-+-=-=++++ ┈┈┈┈┈7分
设12)(2
--=ax x x g ，则,0)(,0)(21≤≤x g x g
即221122210,210x ax x ax --≤--≤， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分 02)(2212
221≤-+-+∴x x a x x ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分
又∵12x x ≠∴212()0x x -> 2212122x x x x ∴+> 02)(222121<-+-∴x x a x x ，即01)(2121<-+-x x a x x ┈┈┈┈┈┈10分
又0,01)(4)(2121212121<->+-+>+-+x x x x x x a x x x x a ，
0)()(21<-∴x f x f ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11分
即12()()f x f x <,故)(x f 在区间],[n m 上是增函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈12分。