2019高考数学复习：对数与对数函数

第6节对数与对数函数
最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及
其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1
2的对数函数
的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数.
知识梳理
1.对数的概念
如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log a(MN)＝log a M＋log a N；
②log a M
N＝log a M－log a N；
③log a M n＝n log a M(n∈R)；
④log a m M n＝n
m log a M(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：log b N＝log a N
log a b(a，b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [常用结论与微点提醒] 1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b
a ；(2)log a m
b n ＝n
m log a b .
其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ，－1，
函数图象只在第一、四象限.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )
(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( )
(3)函数y ＝ln 1＋x
1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( )
(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错.
(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错. (4)当x ＞1时，log a x ＞log b x ，但a 与b 的大小不确定，故(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(必修1P73T3改编)已知a ＝2－
1
3，b ＝log 213，c ＝log 12
1
3，则( )
A.a >b >c
B.a >c >b
C.c >b >a
D.c >a >b
解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 12
1
3＝log 23>1. ∴c >a >b . 答案 D
3.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠
1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A.a >1，c >1
B.a >1，0<c <1
C.0<a <1，c >1
D.0<a <1，0<c <1
解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D
4.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减
C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称
D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称
解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C
5.计算：log 22
2＝________；2log 23＋log 43＝________.
解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－1
2； 2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 2
3
＝3 3.
答案 －1
2 3 3
考点一 对数的运算
【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 14－lg 25÷100－
1
2＝________.
(2)(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x
D.3y <2x <5z
解析 (1)原式＝(lg 2－2
－lg 52
)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫
122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10
＝－20.
(2)令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.
则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t
lg 5. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）
lg 2×lg 3
＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0，
∴2x >3y .
又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）
lg 2×lg 5
＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0，
∴2x <5z ，∴3y <2x <5z . 答案 (1)－20 (2)D
规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运
算中应注意互化.
【训练1】 (1)(2016·浙江卷)已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝5
2，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.
(2)(2018·日照调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x
，x ≥4，
f （x ＋1），x <4，
则f (2＋log 23)的值为( )
A.24
B.16
C.12
D.8
解析 (1)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝5
2， 所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b
＝b a
，所以b 2b
＝b b
2
， 即2b ＝b 2，解得b ＝2，a ＝4.
(2)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. 答案 (1)4 2 (2)A
考点二 对数函数的图象及应用
【例2】 (1)(2018·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )
(2)(2018·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，
3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0
有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.
(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图
象，其中a 表示直线在y 轴上截距.
由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点.
答案(1)B(2)(1，＋∞)
规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【训练2】(1)(2018·湛江模拟)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－
1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()
A.0<a－1<b<1
B.0<b<a－1<1
C.0<b－1<a<1
D.0<a－1<b－1<1
(2)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()
A.3
B.2
C.1
D.0
解析(1)由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，又y＝2x＋b－1在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，即log a a－1<log a b<log a1，所以，a－1<b<1.
综上有0<a－1<b<1.
(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示.
∵f(2)＝2ln 2>g(2)＝1，
∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.
答案(1)A(2)B
考点三对数函数的性质及应用(多维探究)
命题角度1比较对数值的大小
【例3－1】(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0，0<c<1，则()
A.log a c<log b c
B.log c a<log c b
C.a c <b c
D.c a >c b
解析 由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C ，D 不正确； ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确； log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg c
lg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.
又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负， ∴log a c 与log b c 的大小不能确定. 答案 B
命题角度2 解对数不等式
【例3－2】 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1
D.(0，1)∪(1，＋∞)
解析 由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1.
答案 C
命题角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).
(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，
x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <3
2.
又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，32.
(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.
∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，
∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎨⎧3－2a >0，
log a （3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.
故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.
2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
【训练3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >a
D.c >a >b
(2)(2018·长春模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )有最小值1
2，则实数a 的值等于________.
解析 (1)a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1， 又c ＝log 23>log 22＝1， 所以c 最大.
由1<log 23<log 25，得1log 23>1
log 25，即a >b ，
所以c >a >b .
(2)令g (x )＝x 2－26x ＋a ，则f (x )＝log a [g (x )]. ①若a >1，由于函数f (x )有最小值1
2， 则g (x )应有最小值a ，
而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6， 当x ＝6时，取最小值a －6， 因此有⎩⎨⎧a >1，a ＝a －6，解得a ＝9.
②若0<a <1，由于函数f (x )有最小值1
2， 则g (x )应有最大值a ，
而g (x )不存在最大值，不符合题意，综上，实数a ＝9. 答案 (1)D (2)9
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2018·濮阳检测)“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 log 2(2x －3)<1⇔32<x <52. 又4x >8⇔x >3
2， 所以⎝ ⎛⎭
⎪
⎫32，52⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，＋∞， 故“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件. 答案 A
2.设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1
b ＝2，则m 等于( )
A.10
B.10
C.20
D.100
解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1
log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.
解得m ＝10.
答案 A
3.(2018·成都诊断)函数f(x)＝x a满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log a(x＋1)|的图象大致为()
解析由f(2)＝2a＝4，得a＝2.所以g(x)＝|log2(x＋1)|，
则g(x)的图象由y＝|log2x|的图象向左平移一个单位得到，C满足.
答案 C
4.(2018·广东省际名校联考)已知f(x)满足对∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且当x≤0时，
f(x)＝1
e x＋k(k为常数)，则f(ln 5)的值为()
A.4
B.－4
C.6
D.－6
解析易知函数f(x)是奇函数，故f(0)＝e0＋k＝1＋k＝0，即k＝－1，所以f(ln 5)＝－f(－ln 5)＝－(e ln 5－1)＝－4.
答案 B
5.已知a，b>0且a≠1，b≠1，若log a b>1，则()
A.(a－1)(b－1)<0
B.(a－1)(a－b)>0
C.(b－1)(b－a)<0
D.(b－1)(b－a)>0
解析∵a>0，b>0且a≠1，b≠1.
由log a b>1得log a b a>0.
∴a>1，且b
a>1或0<a<1且0<
b
a<1，
则b>a>1或0<b<a<1.故(b－a)(b－1)>0.
答案 D
二、填空题
6.lg 5
2＋2lg 2－⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
－1
＝________.
解析lg 5
2＋2lg 2－⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
－1
＝lg
5
2＋lg 2
2－2
＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 答案 －1
7.(2018·山西康杰中学联考)设函数f (x )＝lg(x 2－x )－lg(x －1)，且f (x 0)＝2，则x 0＝________.
解析 易知x >1，且f (x )＝lg(x 2－x )－lg(x －1)＝lg x ，∴f (x 0)＝lg x 0＝2，则x 0＝100. 答案 100
8.若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.
解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，
又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，
所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).
答案 (0，＋∞)
三、解答题
9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.
(1)求a 的值及f (x )的定义域；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.
由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，
得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).
(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )
＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，
∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；
当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，
故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12
x . (1)求函数f (x )的解析式；
(2)解不等式f (x 2－1)>－2.
解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12
(－x ). 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12
(－x )， 所以函数f (x )的解析式为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lo
g 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12
（－x ），x <0.
(2)因为f (4)＝log 12
4＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4).
又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，
即不等式的解集为(－5，5).
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝ln(a x ＋b )(a >0且a ≠1)是R 上的奇函数，则不等式f (x )>a ln a 的解集是( )
A.(a ，＋∞)
B.(－∞，a )
C.当a >1时，解集是(a ，＋∞)，当0<a <1时，解集是(－∞，a )
D.当a >1时，解集是(－∞，a )，当0<a <1时，解集是(a ，＋∞)
解析 依题意，f (0)＝ln(1＋b )＝0，解得b ＝0，
于是f (x )＝ln a x ＝x ln a .
∴f (x )>a ln a ⇔x ln a >a ln a .
当a >1时，x >a ；当0<a <1时，x <a .
答案 C
12.(2018·九江七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________.
解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，
则a 2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，
解得实数a 的取值范围是[－4，4).
答案 [－4，4)
13.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1
. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；
(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）
恒成立，求实数m 的取值范围.
解 (1)由x ＋1x －1
>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x －1－1 ＝－ln x ＋1x －1
＝－f (x ). ∴f (x )＝ln
x ＋1x －1是奇函数. (2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）
恒成立， ∴x ＋1x －1>m （x －1）（7－x ）
>0，
∵x∈[2，6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立.
令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，
由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，
即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，
∴0<m<7.
故实数m的取值范围为(0，7).。