2018届浙江教育绿色评价与衡量联盟适应性试卷(含解析汇报)

浙江教育绿色评价联盟适应性试卷
一、选择题
1.已知{
}
21x
M x y ==+，{
}
2
1N y y x ==+，那么M N =I （ ） A.N B.M C.∅ D.R 答案： A 解答：
∵[),1,M R N ==+∞,∴M N N =I .
2.已知双曲线2
2
12
y x -=，则（ ）
A.渐近线方程为y =
B.渐近线方程为2y x =±
C.渐近线方程为y =
D. 渐近线方程为2y x =± 答案： C 解答：
∵1,a b c ==
=y =，离心率为e =3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若359S a ==，则96S S -=（ ） A.6
B.9
C.15
D.45 答案： D 解答：
∵3123225393,9S a a a a a a =++==⇒==，∴52
23
a a d -=
=， ∴967898533(3)3(96)45S S a a a a a d -=++==+=⨯+=. 4.设函数2
()sin cos f x x a x b =++在[0,]2
π
上的最大值是M ,最小值是m ，则M m -（ ）
A.与a 有关，且与b 有关
B.与a 有关，但与b 无关
C.与a 无关，且与b 无关
D.与a 无关，但与b 有关 答案： B 解答：
2()cos cos 1f x x a x b =-+++,令[]cos ,0,1t x t =∈，则
[]2()1,0,1f t t at b t =-+++∈，
设最大值1()M f t =，最小值2()N f t =，其中[]12,0,1t t ∈，且12t t ≠，则
22
1212()()M N t t a t t -=--+-，显然M N -与b 无关，
对于a ，如取0a ≤时，(1),(0),1M f N f M N a ==-=-与a 有关. 故选B.
5.已知数列{}n a 是正项数列，若*
2,n n N ≥∈，则“{}n a 是等比数列”是“222112n n n a a a -++≥”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案： A 解答：
∵{}n a 是等比数列，∴222111122n n n n n a a a a a -+-++≥=，即222
112n n n a a a -++≥，满足充分性； 当n a n =时，222222211(1)(1)2222n n n a n n n n a -++=-++=+>=，满足222
112n n n a a a -++≥，
但{}n a 不是等比数列，所以不满足必要性； 故选A.
6.已知01m <<，随机变量ξ的分布如下，当m 增大时（ ）
A.()E ξ增大，()D ξ增大
B.()E ξ减小，()D ξ增大
C.()E ξ增大，()D ξ减小
D.()E ξ减小，()D ξ减小 答案： B 解答：
113()11()222222
m m E m ξ=-⨯
+⨯-+⨯=-+，
222 22
33131 ()(1)(1)()(2)
2222222 135
3(),
422
m m
D m m m
m m m
ξ=-+-⋅++-⋅-++-⋅=-++=--+
∵01
m
<<，∴当m增大时，()
Eξ减小，()
Dξ增大.
故选B.
7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A.22
3
B.16
3
C.20
3
D.1
答案：
C
解答：
该几何体是棱长为2的正方体截去两个三棱锥得到，如图所示：
所以31120
22221
323
V=-⨯⨯⨯⨯⨯=.
8.已知函数2
()ln()
f x ax bx c
=++的部分图象如图所示，则a b c
-+=（）
A.1-
B.1
C.5-
D.5
答案：
D
解答：
由图象可得
1
6
8
a b c
b
a
c
a
⎧
⎪++=
⎪
⎪
-=
⎨
⎪
⎪
=
⎪⎩
，解得
1
3
2
8
3
a
b
c
⎧
=
⎪
⎪
=-
⎨
⎪
⎪=
⎩
，所以5
a b c
-+=.
9.在锐角ABC
∆中，角,,
A B C所对的边分别为,,
a b c，若2,3
a c b
==，则BA BC
⋅
u u u r u u u r
的取值范围为（）A.16
(,16)
3
B.8(,8)
3
C.36
(,8)
5
D.18
(,4)
5
答案：
解答：
由锐角三角形可知：2222
(3)44(3)
b b b b ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得：2
2152b <<，222(3)41842(,4)25b b BA BC b +-⋅==+∈u u u r u u u r .
10.已知三角形ABC 所在平面与矩形BCEF 所在平面互相垂直AB AC ==
,BC =2BF =,点
D 在边EF 上，满足DAB DAC ∠=∠.若P 在矩形BCEF 内部（不含边界）运动，且满足4
DAP π
∠=
，
则二面角A PC B --的取值范围是（ ） A.(,)62
ππ
B.(,)42ππ
C.(,)32ππ
D.(
,)43
ππ
答案： A 解答：
点D 在边EF 上，满足DAB DAC ∠=∠，∴点D 在面ABC 上的射影为BC 的中点，D 为EF 的中点，点P 满足4
DAP π
∠=
，∴AP 在以AD 为轴，顶角为90︒的圆锥侧面上，平面BCEF 平行母线且截圆锥
侧面，故点P 的轨迹为抛物线.作AO ⊥面BCEF 于BC 中点，2AO =，连接PC ，过O 作HO PC ⊥，
连接AH ，AHO ∠为所求二面角的平面角，2
tan AO AHO HO HO
∠==
，当点P 在边EF 上且DP =
时，HO =2tan 3
AO AHO HO HO ∠=
==，当点P 无限接近O 时，HO 接近于0，AHO ∠接近90︒.
二、填空题
11.已知i 为虚数单位，若1()i
a R a i
+∈-为纯虚数，则a =_______；复数z a =的模等于_______. 答案：
1
解答： ∵
22
1(1)()(1)(1)11
i i a i a a i
a i a a +++-++==-++为纯虚数，∴10a -=，即1a =；
1z =+==12.若1()2n
x x
+展开式的二次项系数之和为64，则n =_______；其展开式的常数项等于_______.（用数字作答） 答案：
6 52
解答：
∵264n
=，∴6n =，二项式展开式通项为66216611(
)()22
r r
r r r r r T C x
C x x --+=⋅⋅=⋅， 令620r -=，得3r =，所以展开式的常数项为3
3
61
5()22
C =
. 13.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥为“阳马”，现有一“阳马”P ABCD -，已知其体积为8，2,3AB BC ==,则该“阳马”的最长侧棱长等于______；表面积等于______. 答案：
21+解答：
因为1
2383
V PA =
⨯⨯⨯=，所以4PA =，最长侧棱长为PC ==
2222
1111
2324342343242135
2222
S=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+=+.
14.已知实数,x y满足
21
2
22
x y
x y
x y
-≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪-≤
⎩
，则2x y+的最大值为_______；x y x
++的最小值为______.
答案：
4
1
3
解答：
画出可行域，如图所求，
当2,0
x y
==时，2x y+有最大值为4，
对于||
x y x
++分两种情况讨论，
当0
≥
+y
x时，x
y
z2
2
+
=，在)
3
1
,
3
1
(-
B处取到最小值；
当0
<
+y
x时，y
z-
=
2
，在)
3
1
,
3
1
(-
B处取到最小值，
所以|
|
2
x
y
x
z+
+
=的最小值为
3
1
.
15.已知实数,x y 满足2
2
1x y +=，则
22
41
21
x y +++的最小值为_______. 答案：
94
解答：
令[]2,0,1t x t =∈，则
2224141310
21224
t x y t t t -+=+=+++--， 令[]2
310
(),0,14
t f t t t -=
∈-，则22(32)(6)()(4)t t f t t --'=--， 所以()f t 在2
[0,]3上单调递减，在2[,1]3
上单调递增， 所以
2241
21x y +++的最小值为29()34
f =. 16.甲、乙两位高一学生进行新高考“七选三”选科（即在物、化、生、政、史、地、技术等七门科中任选择三门学科），已知学生甲必选政治，学生乙必不选物理，则甲、乙两位学生恰好有两门选课相同的选法有_______种.（用数字作答） 答案：
110
解答：
（1）甲选物理： 1
5420C ⨯=；
（2）甲不选物理：221
53390C C C ⨯⨯=；共有2090110+=种.
17.已知函数32
()6f x x x a =--，若存在0(,]x a ∈-∞，使得0()0f x ≥，则实数a 的取值范围是_______. 答案：
[2,0][3,)-+∞U
解答：
因为2
()32f x x x '=-，所以有()f x 在(,0)-∞与2(,)3+∞上递增，2(0,)3
上递增减；
（1）当0a ≤，32
max ()()60f x f a a a a ==--≥，得：20a -≤≤；
（2）当2
03
a <≤，max ()(0)60f x f a ==-<，所以不符合要求； （3）当2
3
a >
，max ()max{(0),()}0f x f f a =≥成立，而(0)60f a =-<，所以只有32()60f a a a a =--≥，于是得：3a ≥；
综上可知：[2,0][3,)a ∈-+∞U . 三、解答题
18.已知2
()cos cos f x x x x =+.
（1）求()f x 的最小正周期及其单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3
(),12
f C c ==，求角C 及AB 边上高的最大值. 答案： （1）见解析； （2）见解析. 解答：
（1）2
1cos 21()cos cos 2sin(2)2262
x f x x x x x x π+=+=
+=++， 所以()f x 的最小正周期是π.()f x 的单调递增区间为(,
),3
6
k k k Z π
π
ππ-++∈.
（2）由（1）13()sin(2)6
22f C C π
=+
+
=，得6
C π=.
由余弦定理22222
12cos (2c a b ab C a b ab ==+-=+≥. 所以2
ab ≤
=+且仅当a b =时取“=”.
所以三角形面积112sin 244S ab C ab +=
=≤ ,即当a b =时，S 取得最大值24
+. 又
11
22
S ch h ==，所以h 的最大值为22+.
19.在矩形ABCD 中，,E F 分别为AB 与BC 边的中点，现将AED ∆,BEF ∆分别沿,DE EF 折起，使,A B 两点重合于点P ，连接PC ，已知2,2AB BC =
=.
（1）求证：DF ⊥平面PEF ；
（2）求直线PC 与平面PEF 所成角θ的正弦值.
答案：
（1）见解析；
（210. 解答：
（1）∵,EP PF EP PD ⊥⊥，∴EP ⊥平面PFD ，∴EP FD ⊥. 又由题意可知：6323,22EF DF DE ===，则EF FD ⊥. ∴DF ⊥平面PEF .
（2）由（1）可知，面PEF ⊥底面CDEF ，EF 为交线，过P 作PG EF ⊥，则PG ⊥底面CDEF ，261,2PE PF EF ===363PG EG FG ===. 法一：过C 作CH EF ⊥，交EF 延长线于H ， CH ⊥面PEF ，则CPH ∠即为所求线面角. ∵22302,2,PD CD PC PG CG ==
=+=，3CH PG ==. ∴10sin 10
CH PC θ==. 法二：过C 作PG 的平行线CZ ，则CZ ⊥底面CDEF ，以C 为原点，,,CD CF CZ 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.
则25,0)33G ，25333P ，22,0)2E ，(0,1,0)F ，253,)33CP =u u u r . 取面PEF 法向量(2,1,0)n =-r . 2501033sin cos ,103033
CP n θ-+=<>==⋅u u u r r . 20.已知函数()2ln f x x x =-.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）求证：21
1ln 2()12x e f x x
-+≤<+. 答案：
（1）见解析；
（2）见解析. 解答：
（1）定义域为{}0x x >，21()x f x x -'=
. 令()0f x '=，得：12
x =. ∴()f x 的单调递增区间为1(,)2+∞，单调递减区间为1(0,]2
. （2）由（1）知min 1()()1ln 22
f x f ==+，所以1ln 2()f x +≤成立. 另一方面，要证21()12x e f x x -<+成立，只要证21
2ln 420x e x x x
-+-+>， 设函数21
()2ln 42x e g x x x x
-=+-+，
求导212122(21)2(2)(21)()4x x e x e x x g x x x x -----'=+-=. 令21()2,(0,)x t x e
x x -=-∈+∞， 则21()2(1)x t x e -'=-，由()0t x '=得12x =，所以1(0,)2
x ∈时()0t x '<，即()t x 为减函数， 1(,)2x ∈+∞时()0t x '>，即()t x 为增函数．则1()()02
t x t ≥=. 即212(2)(21)()0x e x x g x x ---'=>由得12x >， 所以1(0,)2x ∈时()0g x '<；1(,)2
x ∈+∞时()0g x '>，则min 1()()2ln 202
g x g ==->，从而有当(0,)x ∈+∞，212ln 420x e x x x -+-+>， 综上，21
1ln 2()12x e f x x
-+≤<+成立. 21.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为12
，其右顶点A 到上顶点的距离为7，过点A 的直线:()(0)l y k x a k =-<与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上一点.
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若ABC ∆是等边三角形，求直线l 的方程.
答案：
（1）22
143
x y +=； （2）33(2)4
y x =-. 解答： （1）由题意可知：12c e a ==227a b +.又因为：222a b c =+，所以得：2243
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，椭圆E 的方
程为：22
143
x y +=. （2）设00(,)M x y 为AB 的中点，连结CM ，则有由ABC ∆为等边三角形可知：MC AB ⊥，
且MC =.联立方程22(2)143
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：2222(43)1616120k x k x k +-+-=. 设11(,)B x y ，则1,2x 为方程的两根，且2128643
k x k -=+，210228243x k x k +==+， 由直线:()l y k x a =-可知：02643
k y k -=+，所以22286(,)4343k k M k k -++；
1212243
AB k =-=+.
2
02843
k MC k ==+.
由MC =
22281243243k k k =++，
解得：k =
，又因为0k <
，所以k = 所以直线l
的方程：2)y x =-. 22.已知正项数列{}n a 满足101a <<，*1sin ()1n n n a a n N a +=∈+. （1）求证：11n n a a +<<；
（2）设n S
是数列
的前n
项和，求证：1n S <.
答案：
（1）见解析；
（2）见解析.
解答：
（1）方法一：令()sin (0)f x x x x =->，()cos 10f x x '=-≤，∴()f x 在(0,)+∞单调递减， ∴()(0)0f x f <=，∴sin x x <，1sin 1
n n n n a a a a +-=
+. ∵{}n a 是正项数列，∴sin n n a a <，∴1sin 111n n n n n a a a a a +=<<++， ∴101n a +<<
∴1sin 011n n n n n n n n a a a a a a a a +-=-<-<++. ∴11n n a a +<<，
方法二：①当1n =时，101a <<成立.②假设*()n k k N =∈时，01k a <<成立，
那么1n k =+时，1sin 111k k k k k a a a a a +=<<++，∴101k a +<<. 由①和②可知，01n a <<对所有正整数都成立. 下同方法一.
（2）1sin 11n n n n n a a a a a +=<++Q ，1111+>∴+n n a a . ,11-1,2≥∴1->n n a a n 时-1-22111111,,1n n a a a a ->->L ， 累加得n a n a n a a n n >+>∴>1111-1,1-1-1，当n=1时，上式也成立. )1--(21-221,2≥∴n n n n n n n a n n =+<+=<时 )2--1-(2∴1-n n a n < )1-2(22<a Λ，又∵11<a ， 累加得1-21)1---2-1(2n n n S n =+++<Λ.。