计数原理知识点

计数原理知识点
一、分类加法计数原理
1. 原理内容
- 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m + n种不同的方法。

- 推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m_1种不同的方法，在第2类方案中有m_2种不同的方法，……，在第n类方案中有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m_1 + m_2+·s+m_n种不同的方法。

2. 特点
- 各类办法之间相互独立，都能独立地完成这件事，且各类方法中的每种方法也相互独立。

3. 示例
- 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。

一天中，火车有3班，汽车有2班。

那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有3 + 2=5种不同的走法。

二、分步乘法计数原理
1. 原理内容
- 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m× n种不同的方法。

- 推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m_1种不同的方法，做第2步有m_2种不同的方法，……，做第n步有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m_1× m_2×·s× m_n种不同的方法。

2. 特点
- 各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。

3. 示例
- 从甲地到丙地，要先从甲地到乙地，再从乙地到丙地。

从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，那么从甲地到丙地共有3×2 = 6种不同的走法。

三、排列与组合的基本概念
1. 排列
- 定义：从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

- 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A_{n}^m。

- 排列数公式：A_{n}^m=(n!)/((n - m)!)=n(n - 1)(n - 2)·s(n - m+1)，其中n!=n×(n - 1)×(n - 2)×·s×2×1，规定0!=1。

2. 组合
- 定义：从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

- 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C_{n}^m。

- 组合数公式：C_{n}^m=(n!)/(m!(n - m)!)=frac{A_{n}^m}{m!}，规定
C_{n}^0 = 1。

- 组合数的性质
- C_{n}^m=C_{n}^n - m
- C_{n+1}^m=C_{n}^m+C_{n}^m - 1
四、二项式定理
1. 定理内容
- (a + b)^n=∑_{k = 0}^nC_{n}^ka^n - kb^k=C_{n}^0a^n+C_{n}^1a^n - 1b+·s+C_{n}^nb^n。

2. 二项展开式的通项公式
- T_{r+1}=C_{n}^ra^n - rb^r(r = 0,1,·s,n)，其中T_{r + 1}表示第r+1项。

3. 二项式系数的性质
- 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
C_{n}^k=C_{n}^n - k。

- 增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项（第(n)/(2)+1项）的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项）的二项式系数相等且最大。

- 各二项式系数的和：(1 + 1)^n=∑_{k = 0}^nC_{n}^k=2^n；(1-1)^n=∑_{k = 0}^nC_{n}^k(- 1)^k，当n为偶数时，∑_{k = 0}^nC_{n}^k(-1)^k = 0，当n为奇数时，∑_{k = 0}^nC_{n}^k(-1)^k=0。