高数数学必修一《5.5.2简单的三角恒等变换》教学课件

3
π
3
2π
，
3
∴－ 2 ≤sin (2x－ 3 )≤1，∴－ 2 ≤f(x)≤1，
π
3
即f(x)在[0， 2 ]上的值域为[－ 2 ，1].
3
cos
2
2x.
题型 4 三角恒等变换的实际应用
π
例4 (见教材5.5.2例10)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，
3
C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当
解析：∵sin θ＝5 ，
∴cos θ＝－ 1
5π θ 3π
θ
∵ 4 <2< 2 ，∴sin2＝－
cos
θ
＝－
2
1−cos θ
2 5
＝－
，
2
5
θ
1+cos θ
5
θ sin2
＝－
，tan
＝
＝2.
2
5
2 cosθ
2
题后师说
利用半角公式求值的步骤
跟踪训练1 已知π＜θ＜2π，且cos
A．－3
3
1
1
恒等变换．
(3)掌握三角恒等变换在三角函数中的应用．
题型 1 半角公式
【问题探究1】 (1)我们知道在倍角公式中，“倍角是相对的”，
对余弦的二倍角公式，若用α替换2α，则能得到什么结论？
α
α
α
(2)根据上述结果，试用cos α表示sin ，cos ，tan .
2
α
2
α
2
1+cos α
.
2
α
2
α
2
提示：(1)cosα＝2cos2 －1＝1－2sin2 ＝cos2 －sin2 .
(1)求f
π
12
π
(2x－ )＋cos
6
的值；
π
(2)求函数f(x)在区间[ ，π]上的单调区间．
2
π
(2x＋ )，x∈R.
6
学霸笔记
解此类问题首先利用两角和与差的正弦公式、二倍角公式、辅助角
公式化简已知函数式，转化为正弦(余弦)型函数，再研究三角函数的
性质．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝sin x cos x－
是5.故选B.
2π
2．函数y＝cos x＋sin x的最小正周期为______．
2
2
π
解析：y＝cos x＋sin x＝ 2 ( 2 cos x＋ 2 sin x)＝ 2sin (x＋ 4 )，所以最小正周期为2π.
共学案
【学习目标】
(1)能用二倍角公式推导出半角公式，并进行简单的应用．
(2)能运用两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的
角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
学霸笔记：(1)解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之
间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关
知识求解．
(2)在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数
量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影
(2)常见基本形式如下：
y＝sin
y＝sin
π
＋ )；
3
1
3
x－ 3cos x＝2( sin x－ cos
2
2
π
3
x＋cos (x＋ )＝sin x＋ cos
6
2
π
x)＝2sin (x－ )；
3
1
1
3
x－ sin x＝ sin x＋ cos
2
2
2
π
1
3
2
y＝cos (2x＋ )＋2sin x＝ cos2x－ sin
3
2
2
3
π
sin 2x＋1＝1－sin (2x＋ )．
2
6
2x＋1－cos
x＝sin (x
1
2x＝－ cos
2
2x－
【即时练习】
1．函数y＝3sin x＋4cos x的最大值是(
A． 5
B．5
C．4
D．3
)
答案：B
解析：因为y＝3sin x＋4cos x＝5sin (x＋φ)，又sin (x＋φ)∈[－1，1]，所以函数y＝3sin x＋4cos x的最大值
1−cos α
15
＝
.故选D.
2
5
2．函数f(x)＝sin
A．2π和 2
C．4π和 2
x
x
＋cos 的最小正周期和最大值分别是(
2
2
)
B．2π和2
D．4π和2
答案：C
x
x
x
π
2π
解析：∵f(x)＝sin 2＋cos 2＝ 2sin (2 + 4 )，∴f(x)的最小正周期为T＝ 1 ＝4π，最大值为 2.故选C.
α
1+cosα
α
，∴cos
＝±
2
2
(2)∵cos22＝
同理sin
α
＝±
2
α
1−cos α
α sin 2
，tan 2＝ α＝±
2
cos
2
1−cos α
.
1+cos α
2
2
例1 已知sin
4
5π
θ
θ
θ
θ＝ ，且 <θ<3π，求sin ，cos ，tan .
5
2
2
2
2
4
5π
<θ<3π，
2
3
− sin2 θ＝－5.
5.5.2 简单的三角恒等变换
预学案
共学案
预学案
一、半角公式❶
±
sin
1－cos
2
±
1+cos
2
±
1－cos
1+cos
α
α
α
＝____________，cos ＝__________，tan ＝_________．
2
2
2
【即时练习】
A．
6
3
C．±
6
3
1
α
若cos α＝ ，且α∈(0，π)，则cos ＝(
解析：原式
＝
α
2
α
cos
2
α 2
2
sin +cos
2
α
+
α 2
2
α
2
α
cos
2
sin −cos
α
.
− 2|sin | 2
+ 2|sin |
2
2
3π
π α 3π
α
α
∵π<α< 2 ，∴ 2 <2< 4 ，∴cos 2<0，sin 2>0，
α
∴原式＝
＝－
α 2
sin 2 +cos 2
− 2
α
2cos 2.
sin x
＝
所以原等式成立．
1+cos x
＝
.
sin x
题型 3 辅助角公式的应用
【问题探究2】 (1)请同学们根据两角和与差的正弦公式合并式子：
sin x±cos x，sin x± 3cos x，cos x± 3sin x．
(2)一般地，对于y＝a sin x＋b cos x，如何进行合并呢？
例3 已知函数f(x)＝2sin x cos x＋cos
响．
跟踪训练4 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应
怎样截取才能使△OAB的周长最大？
随堂练习
1
π
α
1.已知cos α＝－ ， ＜α＜π，则sin ＝(
A．－
C．－
5
10
5
15
5
2
B．
D．
2
10
5
15
5
)
答案：D
π
π
α
π
1
α
解析：∵ 2 ＜α＜π，∴ 4 ＜2＜ 2 ，∵cos α＝－5，∴sin 2＝
2
半角是相对而言的，描述的是两个角之间的数量关系．
二、辅助角公式❷
b
2 + 2 ·

sin
(x＋φ)
a sin x＋b cos x＝________________，其中tan φ＝ .
a
微点拨❷
(1)运用辅助角公式，必须满足三个条件：同角(均为x)；齐一次(均
为一次的)；正余全(一个是sin x，一个是cos x)．
凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一
为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升
幂、降幂、配方、开方等．
跟踪训练2 求证：
证明：左边
＝
x
x
2 sin x cos x
sin x+cos x−1 sin x−cos x+1
α
α
sin 2 +cos 2
α
+
α 2
sin 2 −cos 2
2
α
α
sin 2 −cos 2
α
α
sin 2 +cos 2
＝－
2
α
+
α
sin 2 −cos 2
2
+
1−sin α
.
1+cos α+ 1−cos α
学霸笔记：化简、证明问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系，通过拆、
3
2
6
B．－
3
3
D．±
3
答案：A
α
π
α
解析：因为α∈(0，π)，所以2∈(0， 2 ).所以cos 2＝
1+cos
＝
2
2
6
＝
.故选A.
3
3
)
微点拨❶
α
对“半角”的理解应是广义的，不能仅限于 是α的一半，其他如α
2
α α
3α
是2α的一半， 是 的一半， 是3α的一半等，这里面蕴含着换元思想，
4 2
C．－
D．
3
4
θ
θ＝－ ，则tan ＝(
5
2
3
答案：A
π θ
θ
解析：因为π＜θ＜2π，所以 2 <2<π，所以tan 2＝－
1−cos θ
＝－
1+cos θ
4
1− −5
4
1+ −5
＝－3.故选A.
)
题型 2 三角函数式的化简、证明
3π
1+sin α
例2 已知π<α< ，化简：
2
1+cos α− 1−cos α
2
3π
1
1
3．已知α∈(π， )，则
− cos α＝(
2
2
2
α
α
A．sin
B．cos
2
2
α
α
C．－sin
D．－cos
2
2
)
答案：A
解析：
1
1
−
cos α＝
2
2
1
1
−
cos α ＝
2
2
α
α
1
1
−
2
2
sin 2 ＝sin 2.故选A.
α
α
1 − 2 sin2 2 ＝ sin 2 ， α∈(π ，
3π
α
(1)求函数f(x)的最小正周期；
π
(2)求函数f(x)在[0， ]上的值域．
2
3
解析：(1)f(x)＝sin x cos x－ 2 cos 2x
1
3
π
＝2sin 2x－ 2 cos 2x＝sin (2x－ 3 )，
2π
∴f(x)的最小正周期T＝ 2 ＝π.
π
π
π
(2)当0≤x≤ 2 时，－ 3 ≤2x－ 3 ≤
π
3π
α
)
，
∈(
，
)
，
故
sin
>0 ， 故
2
2
2
4
2
5
4．若函数y＝2sin x＋ acos x的最大值为3，则a的值为________．
a
解析：因为y＝2sin x＋ acos x＝ 4 + asin (x＋φ)(tan φ＝ 2 )，即函数y＝2sin x＋ acos x的最大值为 4 + a，
2 sin x cos x
x
x
x
x
＝
2 sin2 cos2−2 sin22 2 sin2 cos2+2 sin2 2
2sinx cos x
4 sin2
sinx
＝
x
2
x
2 sin2 2
＝
x
2
x
cos
2
x
sin2
cos2 −sin2
x
2
＝
x
2 cos2 2
x
x
2 sin2 cos2
1+cos x
＝右边．
由已知有 4 + a＝3，即a＝9－4＝5.
课堂小结
1.半角公式的推导．
2．利用半角公式解决三角函数式的化简与三角恒等式的证明．
3．辅助角公式的推导．
4．利用辅助角公式研究三角函数的性质．
5．辅助角公式在实际问题中的应用．