【世纪金榜】2016届高考数学总复习 课时提升作业(九) 2.6幂函数与二次函数 文 新人教A版

课时提升作业(九) 幂函数与二次函数
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2015·某某模拟)已知幂函数f(x)=k ·x α
的图象过点12
(,
),22
则k+α=( ) A.
12
B.1
C.
32
D.2
【解析】选 C.因为f(x)=k ·x α
是幂函数,所以k=1.又f(x)的图象过点12
(,
),22
所以12(),22α=所以α=12,所以k+α=1+12=32
. 2.(2015·某某模拟)设y 1=0.,y 2=0.,y 3=0.
,则 ( )
A.y 3<y 2<y 1
B.y 1<y 2<y 3
C.y 2<y 3<y 1
D.y 1<y 3<y 2
【解析】选B.幂函数y=是定义域上的单调递增函数,所以0.
<0.
,指数函数y=0.5
x
是定义域上的单调递减函数,所以0.
<0.
,故y 1<y 2<y 3.
【加固训练】(2014·某某模拟)若a<0,则下列不等式成立的是( ) A.2a>a
1
()2
>(0.2)a
B.(0.2)a
>a
1()2
>2a
C.a
1()2
>(0.2)a
>2a
D.2a>(0.2)a
>a
1()2
【解析】选 B.若a<0,则幂函数y=x a
在(0,+∞)上是减函数,所以(0.2)a
>a
1()2
>0.所以(0.2)a
>a
1()2
>2a.
3.(2015·某某模拟)函数y=x-x 13
的图象大致为( )
【解析】选A.函数y=x-x 1
3为奇函数.当x>0时,由x-x
1
3>0,即x3>x可得x2>1,即x>1,结合选项,
选A.
4.(2015·某某模拟)抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限,与x轴的两个交点分别位于原点两侧,则a,b,c的取值X围是( )
A.a<0,b<0,c<0
B.a<0,b>0,c>0
C.a<0,b<0,c>0
D.a<0,b>0,c<0
【解析】选B.由题意,抛物线开口向下,故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧,
得ac<0,所以c>0.再由顶点在第一象限得-b
2a
>0,所以b>0.
5.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值X围是( )
A.[-3,0)
B.(-∞,-3]
C.[-2,0]
D.[-3,0]
【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,
当a≠0时,需
a0,
a3
1,
2a
<
⎧
⎪
-
⎨
-≤-
⎪⎩
解得-3≤a<0,
综上可得-3≤a≤0.
【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x的函数误认为是二次函数.
【加固训练】设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m 的取值X围是( )
A.(-∞,0]
B.[2,+∞)
C.(-∞,0]∪[2,+∞)
D.[0,2]
【解析】选D.二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,则a≠0,
f′(x)=2a(x-1)≤0,x∈[0,1],所以a>0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线x=1.所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2.
6.(2015·某某模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( )
A.f(m+1)≥0
B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0
D.f(m+1)<0
【解题提示】画出f(x)的大致图象,根据f(m)<0确定m的X围,从而确定m+1与0的关系,再根据f(x)的单调性判断.
【解析】选C.因为f(x)的对称轴为x=-1
2
,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0,得-1<m<0,
所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.
7.若x≥0,y≥0,且x+2y=1,那么2x+3y2的最小值为( )
A.2
B.3
4
C.
2
3
D.0
【解题提示】把2x+3y2转化为关于y的二次函数求解. 【解析】选B.由x≥0,y≥0,且x+2y=1得x=1-2y≥0,
所以0≤y≤1
2
,设t=2x+3y2,把x=1-2y代入,得t=2-4y+3y2=2
22
3(y),
33
-+
所以t=2x+3y2在
1
[0,]
2
上递减,
所以当y=1
2
时,t取到最小值,t min=
3
4
.
【误区警示】解答本题时易忽视“x≥0”,导致y的取值X围错误,从而得不到正确答案.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2015·某某模拟)已知函数f(x)=x 1
2,且f(2x-1)<f(3x),则x的取值X围是.
【解析】f(x)=x 1
2在[0,+∞)上为增函数,f(2x-1)<f(3x),则0≤2x-1<3x,
所以x≥1
2
.
答案:x≥1 2
【加固训练】若(a+1)
1
2
-
<(3-2a)
1
2
-
,则a的取值X围是.
【解析】因为函数y=x
12
-
在定义域(0,+∞)上递减,
所以a 10,
32a 0,a 132a,+>⎧⎪
->⎨⎪+>-⎩
即23a .3
2<<
答案:23(,)32
9.
()()3a a 6-+ (-6≤a ≤3)的最大值为.
【解析】因为
()()22381
3a a 6183a a (a ),24
-+=
--=-++
所以当a=-32
时,()()3a a 6-+的值最大,最大值为
92
. 答案:
92
10.(2014·某某高考)已知函数f(x)=x 2
+mx-1,若对于任意x ∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m 的取值X 围是. 【解析】由题意得
()()()()222
f m m m 10,f m 1m 1m m 110,
⎧=+-<⎪
⎨+=+++-<⎪⎩ 解得-
2
2<m<0. 答案:-
2
2
<m<0 (20分钟 40分)
1.(5分)已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2
,若当x ∈1[2,]2
--时,n ≤f(x)≤m 恒成
立,则m-n 的最小值为( ) A.
13
B.
12
C.
34
D.1
【解析】选D.当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2
, 因为x ∈1[2,]2
--,
所以f(x)min =f(-1)=0,f(x)max =f(-2)=1, 所以m ≥1,n ≤0,m-n ≥1,
所以m-n 的最小值是1.
2.(5分)(2015·某某模拟)已知幂函数f(x)
的图象经过点1(,84
P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:
①x 1f(x 1)>x 2f(x 2);②x 1f(x 2)<x 2f(x 1);③()()1212f x f x x x >;④()()
1212
f x f x x x <
. 其中正确结论的序号是( ) A.①②
B.①③
C.②④
D.②③
【解析】选D.设幂函数为y=x n
,
则有3
n 3n
21()228--==
=,得n=12
,则幂函数为
由其图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随x 增大而减小,即
()()
()()21122121
f x f x ,x f x x f x x x <<,所以②③正确. 3.(5分)(2015·某某模拟)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=x 2
+2x,若f(2-a 2
)>f(a),则实数a 的取值X 围是 ( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
【解析】选C.当x ≥0时,f(x)=x 2
+2x 为增函数,由于f(x)是奇函数,故f(x)在R 上为增函数.由f(2-a 2
)>f(a)得2-a 2
>a,解得-2<a<1.故实数a 的取值X 围是(-2,1).
4.(12分)(2015·某某模拟)指出函数f(x)=22x 4x 5x 4x 4
++++的单调区间,并比较f(-π)
与f(的大小.
【解析】f(x)=22x 4x 5x 4x 4++++=1+()
2
1x 2+=1+(x+2)-2,其图象可由幂函数y=x -2
向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.
所以该函数在(-2,+∞)上是减函数,在(-∞,-2)上是增函数,且其图象关于直线x=-2对称(如图).
又因为-2-(-π)=π22
,
所以f(-π)>f（2
）.
5.(13分)(能力挑战题)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={x|f(x)=x}.
(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值.
(2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.
【解析】(1)由f(0)=2可知c=2.又A={1,2},
故1,2是方程ax2+(b-1)x+2=0的两实根.
所以
1b
12,
a
2
2.
a
-
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
解得a=1,b=-2.
所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2].
当x=1时,f(x)min=f(1)=1,即m=1.
当x=-2时,f(x)max=f(-2)=10,即M=10.
(2)由题意知,方程ax2+(b-1)x+c=0有两相等实根x=1.
所以
1b
11,
a
c
1,
a
-
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
即
b12a,
c a.
=-
⎧
⎨
=
⎩
所以f(x)=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2],其对称轴方程为x=2a11
1. 2a2a
-
=-
又a≥1,故
11
1[,1).
2a2
-∈
所以M=f(-2)=9a-2.m=
2a11 f()1.
2a4a
-
=-
g(a)=M+m=9a-
1
4a
-1. 又g(a)在区间[1,+∞)上单调递增,所以当a=1时,g(a)min =
314
. 【加固训练】(2015·某某模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f(x)=x 2
+2x.现已画出函数f(x)在y 轴左侧的图象,如图所示,请根据图象:
(1)写出函数f(x)(x ∈R)的增区间. (2)写出函数f(x)(x ∈R)的解析式.
(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x ∈[1,2]),求函数g(x)的最小值. 【解析】(1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增.
(2)设x>0,则-x<0,函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f(x)=x 2
+2x, 所以f(x)=f(-x)=(-x)2
+2×(-x)=x 2
-2x(x>0),
所以f(x)=()2
2x 2x x 0,
x 2x(x 0).
⎧->⎪⎨+≤⎪⎩
(3)g(x)=x 2
-2x-2ax+2,对称轴方程为x=a+1, 当a+1≤1,即a ≤0时,g(1)=1-2a 为最小值;
当1<a+1≤2,即0<a ≤1时,g(a+1)=-a 2
-2a+1为最小值; 当a+1>2,即a>1时,g(2)=2-4a 为最小值.
综上,g(x)min =2
12a,a 0,a 2a 1,0a 1,24a,a 1.-≤⎧⎪--+<≤⎨⎪->⎩。