高三数学 立体几何多选题测试及答案

高三数学 立体几何多选题测试及答案
一、立体几何多选题
1．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）
A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MAT
B ．当)
3,2x ∈
时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD
C ．若使点M 在平面ABC
D 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥
M HAB -6322
++【答案】BCD 【分析】
对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当)
3,2
x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21
233
V x x =
⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为
2
323
r =
++
【详解】
对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．
此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误； 对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．
若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当)
3,2x ∈
时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面
ABCD
故B 正确；
对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈，
所以()
2
2
22222
1223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当且仅当223x x =-，即6
x =
时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =
因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以
1R =，
由等体积法，可求得内接圆半径为2323
r =++，故6132
2R r +=，故D 正确．
故选：BCD ． 【点睛】
本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．
2．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A ．2
A BCO D S S
S ⋅=； B ．3
3
3
3
A B C D S S S S <++；
C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222
111sin sin sin 1αβγ++=；
D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则
22cos α+2222cos cos 1βγ+=．
【答案】ACD 【分析】
由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误. 【详解】
由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，
则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．
对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯ 又1
2
A S BC O D '=
⋅，1
2
BCO
S BC O O '=
⋅， 2
2
221124
D S BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭
所以2
A BCO
D S S
S ⋅=，故A 正确．
对B ：当1a b c ===时，333
18
B C D S S S ===
，则333
38B C D S S S ++=，
而3
3
2333322288A S ⎛⎫=⨯⨯=> ⎪ ⎪⎝⎭
，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，222AM x y z =
++，
(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =
所以2
2
2
222
222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM AB
AM AC
AM AD
αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⋅⋅⋅⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
2222
2
2
1x y z AM
AM
AM
=
+
+
=，所以D 正确．
对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，
由D 有222
222cos cos cos 1αβγ++=，
由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确． 故选：ACD.
【点睛】
关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.
3．如图，已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ，E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有（ ）
A ．11E
B AD ⊥
B ．二面角11E A B A --的大小为
4
π C ．三棱锥11A B D E -体积的最小值为3
13
a D ．1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】
连接1A D 、1B C ，则易证1AD ⊥平面11A DCB ，1EB ⊂平面11A DCB ，则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确；二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠，易知
14
DA A π
∠=
，则可判断选项B 正确；用等体积法，将求三棱锥11A B D E -的体积转化为
求三棱锥11E AB D -的体积，当点E 与D 重合时，三棱锥11E AB D -的体积最小，此时的值为3
16a ，则选项C 错误；易知平面11//D DCC 平面11A B BA ，而1D E ⊂平面11D DCC ，
则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ，可判断选项D 正确. 【详解】
选项A ，连接1A D 、1B C ，则由正方体1ABCD ABC D -可知，
11A D AD ⊥，111A B AD ⊥，1111A D A B A =，
则1AD ⊥平面11A DCB ，又因为1EB ⊂平面11A DCB ， 所以11EB AD ⊥，选项A 正确； 选项B ，因为11//DE A B ，
则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --， 由正方体1ABCD ABC D -可知，11A B ⊥平面1DA A ， 则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角，且14
DA A π
∠=，
所以选项B 正确；
选项C ，设点E 到平面11AB D 的距离为d ， 则111111
13
A B D E E AB D AB D V V S d --==
⋅，
连接1C D 、1C B ，易证平面1//BDC 平面11AB D ，
则在棱CD 上，点D 到平面11AB D 的距离最短， 即点E 与D 重合时，三棱锥11A B D E -的体积最小， 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD ， 所以1111123
11
1
113
326
D AB D B ADD
ADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=， 则选项C 错误；
选项D ，由正方体1ABCD ABC D -知，
平面11//CC D D 平面11A B BA ，且1D E ⊂平面11CC D D ， 则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ，则选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题对于选项C 的判断中，利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.
4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）
A ．11//A D 平面EFGH
B ．1A
C ⊥平面EFGH
C ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°
D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】
如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否. 【详解】
如图，连接OA ，则2115OA AA =
+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.
同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.
因为正方体的棱长为2，而26<
球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ， 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .
因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.
由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ， 同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF
因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确. 因为在直角三角1BA C 中，122A B =2BC = ，
190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误.
由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ，
所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥
在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥， 因为EF
EH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，
所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒， 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，
因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱， 其体积为
1
11212
⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8， 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.
5．如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//EF AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2AB =，1EF AD ==，则下述正确的是（ ）
A ．//OF 平面BCE
B ．BF ⊥平面ADF
C ．点A 到平面CDFE 的距离为
217
D ．三棱锥C BEF -5π 【答案】ABC 【分析】
由1EF OB ==，//EF OB ，易证//OF 平面BCE ，A 正确；
B ， 由所矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直， 易证AD ⊥平面ABEF ，所以
AD BF ⊥，由线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，易证故B 正确.
C ，由C DAF A CDF V V --=可求点A 到平面CDFE 的距离为
21
7
，C 正确. D ，确定线段DB 的中点M 是三棱锥C BEF -外接球心，进一步可求其体积，可判断D
错误. 【详解】
解：1EF OB ==，//EF OB ，四边形OFEB 为平行四边形，所以//OF BE ，
OF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//OF 平面BCE ，故A 正确.
线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，
矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，平面ABCD 平面ABEF AB =，AD ⊂平
面
ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF ，BF ⊂平面ABEF ，所以AD BF ⊥ AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD AF A =， 所以BF ⊥平面ADF ，故B 正确.
1OF OE EF ===，OFE △是正三角形，所以1EF BE AF ===， //DA BC ，所以BC ⊥平面ABEF ，BC BF ⊥，
BF =2CF ==，
DF ===
2AB CD ==，CDF 是等腰三角形，CDF 的边DF 上的高
2==，
1
222
CDF S =⨯=
△， //DA BC ，AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ， //BC
平面ADF ，点C 到平面ADF 的距离为BF = 11
1122
DAF S =⨯⨯=△，C DAF A CDF V V --=，
设点A 到平面CDFE 的距离为h ，
11
33ADF CFD S FB S h ⨯⨯=⨯⨯△△，1113232
h ⨯=⨯，
所以h =
，故C 正确. 取DB 的中点M ，则//MO AD ，1
2
MO =
，所以MO ⊥平面CDFE ，
所以2
1512ME MF MB MC ⎛⎫====+= ⎪⎝⎭
所以M 是三棱锥C BEF -5
， 三棱锥C BEF -外接球的体积为3
344
55533V r ππ==⨯=⎝⎭
，故D 错误， 故选：ABC. 【点睛】
综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.
6．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是
11
,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥
D ．当1
13AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】
如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，
13
4
AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡∈⎣，()
2,23,Q b ，
[]0,2b ∈，
设11
A R AC λ=，得到()
22,23,22R λλλ--，[]
0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正
确；
()
122,23,2D R λλλ=--，()12222D
R CQ b λλ⋅=--，取2
2b
λ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥，则
()()
12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 1
4λ=，此时11333313,,,,022224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,333R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,333D R ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭，
设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则10
0n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，解得(
)
3,1,3n =
-，
故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .
【点睛】
本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.
7．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）
A ．MN ∥平面ABD
B ．异面直线A
C 与MN 所成的角为定值
C ．在二面角
D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大
D ．若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
【答案】ABD 【分析】
利用线面平行的判定即可判断选项A ；
利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；
借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;
过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D. 【详解】
对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；
对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：
则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以
AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，
故选项B 正确；
对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角
D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大， 故选项C 错误；
对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；
若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,
若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；
若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此
ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
.故选项D 正确;
故选：ABD 【点睛】
本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.
8．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形
11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（ ）
A ．()
111
2
DA A A B A BC =
-+ B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于2
2
AC C ．异面直线AD 与1BC ，所成角的余弦值为
66
D ．若点
E 到平面11ACC A
的距离等于2
EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】
根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】
解析：对于选项A ，()
111
2
AD A A B A BC =
-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．
以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．
设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a
A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,
,，002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
,,，102B a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，102a C b ⎛⎫
- ⎪⎝⎭,,
，所以122a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，122a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，
即2
2
2
02a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，解得2b a =． 因为//DE 平面11ABB A ，则动点E
的轨迹的长度等于1BB =
．选项B 正确． 对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫
⎪⎝⎭,,，002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,
，122a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
,，
因为2
11
1cos ,6||||a
BC DA BC DA BC DA a ⎛⎫
- ⎪
⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成角
C 正确． 对于选项D
，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1E F 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A EB ，即有1E F EB =，又因为在1CE F ∆中，
3
112
E F E C =
，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.
故选：BCD 【点睛】
本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.。