2018年高考数学二轮复习专题八系列4选讲第2讲不等式选讲专题突破讲义文

第2讲 不等式选讲
本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.
热点一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法
(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；
(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
例1 (2017届辽宁省葫芦岛协作体模拟)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)求不等式f (x )>1的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝|x ＋2|－|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－3，x ≤－2，2x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1，
当x ≤－2时，f (x )＝－3<0，不合题意． ∴当－2<x <1时，由2x ＋1>1，得0<x <1， 当x ≥1时，f (x )＝3>1恒成立，得x ≥1. 故不等式f (x )>1的解集为(0，＋∞)． (2)由(1)可知，f (x )的最大值为3， 故f (x )＋4的最大值为7.
若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解， 只需7≥|1－2m |，
即－7≤2m －1≤7，求得m 的取值范围为[－3,4]． 思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
跟踪演练1 (2017届河北省石家庄二中三模)已知不等式|x －a |＋|2x －3|>a 2
2.
(1)已知a ＝2，求不等式的解集；
(2)已知不等式的解集为R ，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，可得|x －2|＋|2x －3|>2， 当x ≥2时，由3x －5>2，得x >7
3，
当x <3
2时，由－3x ＋5>2，得x <1，
当3
2
≤x <2时，由x －1>2，得x ∈∅， 综上所述，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x >7
3
或x <1
. (2)∵f (x )＝|x －a |＋|2x －3|的最小值为
f (a )或f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，
∵f (a )＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a －32， ∴f (x )min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －32，令⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －32>a
2
2
，
则32－a >a 2
2或32－a <－a
2
2， 可得－3<a <1或a ∈∅，
综上所述，a 的取值范围是(－3,1)． 热点二 不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式
定理1：设a ，b ∈R ，则a 2
＋b 2
≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则
a ＋b
2
≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
定理3：如果a ，b ，c 为正数，则
a ＋
b ＋c
3
≥3
abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则
a 1＋a 2＋…＋a n
n
≥n
a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．
例2 (2017届福建省福州质检)(1)求函数f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x |
|x ＋3|的最大值M ；
(2)若实数a ，b ，c 满足a 2
＋b 2
≤c ，求证：2(a ＋b ＋c )＋1≥0，并说明取等条件． (1)解 f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x |
|x ＋3|
≤
|3x ＋2＋1－2x |
|x ＋3|
＝1，
当且仅当x ≤－23或x ≥1
2时等号成立，所以M ＝1.
(2)证明 2(a ＋b ＋c )＋1≥2(a ＋b ＋a 2
＋b 2
)＋1 ≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b ＋(a ＋b )2
2＋1＝(a ＋b ＋1)2
≥0， 当且仅当a ＝b ＝－12，c ＝1
2时取等号，
所以存在实数a ＝b ＝－12，c ＝1
2
满足条件．
思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧． 跟踪演练2 (2017届河北省衡水中学押题卷)已知a ，b 为任意实数． (1)求证：a 4
＋6a 2b 2
＋b 4
≥4ab (a 2
＋b 2
)；
(2)求函数f (x )＝|2x －a 4
＋(1－6a 2b 2
－b 4
)|＋2|x －(2a 3
b ＋2ab 3
－1)|的最小值． (1)证明 a 4
＋6a 2b 2
＋b 4
－4ab (a 2
＋b 2
) ＝(a 2
＋b 2)2
－4ab (a 2
＋b 2
)＋4a 2b 2
＝(a 2
＋b 2
－2ab )2
＝(a －b )4
. 因为(a －b )4
≥0，
所以a 4
＋6a 2b 2
＋b 4
≥4ab (a 2
＋b 2
)．
(2)解 f (x )＝|2x －a 4
＋(1－6a 2b 2
－b 4
)|＋2|x －(2a 3
b ＋2ab 3
－1)| ＝|2x －a 4
＋(1－6a 2b 2
－b 4
)|＋|2x －2(2a 3
b ＋2ab 3
－1)| ≥|[2x －2(2a 3
b ＋2ab 3
－1)]－[2x －a 4
＋(1－6a 2b 2
－b 4
)]| ＝|(a －b )4
＋1|≥1. 即f (x )min ＝1.
热点三 柯西不等式的应用 柯西不等式
(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2
＋b 2
)(c 2
＋d 2
)≥(ac ＋bd )2
，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n )(b 2
1＋b 2
2＋…＋b 2
n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2
，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，
n )时，等号成立．
例 3 (2017届贵州省贵阳市高三适应性考试)已知函数f (x )＝m －|x －1|(m >0)，且f (x ＋1)≥0的解集为[－3，3]． (1)求m 的值；
(2)若正实数a ，b ，c 满足1a ＋12b ＋1
3c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥3.
(1)解 因为f (x ＋1)＝m －|x |， 所以f (x ＋1)≥0等价于|x |≤m ， 由|x |≤m ，得解集为[－m ，m ](m >0)， 又由f (x ＋1)≥0的解集为[－3,3]，故m ＝3. (2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋1
3c ＝3，
又因为a ，b ，c 是正实数，
所以a ＋2b ＋3c ＝13(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥13⎝
⎛
⎭
⎪⎫ a ·1
a
＋ 2b ·12b
＋
3c ·13c 2
＝3.
当且仅当a ＝1，b ＝12，c ＝1
3时等号成立，
所以a ＋2b ＋3c ≥3.
思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明． (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为
(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2
.在使用柯西不等式时，要注意右边为
常数且应注意等号成立的条件．
跟踪演练 3 (2017届江西省重点中学盟校联考)若关于x 的不等式|ax －2|<6的解集为
⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬
⎫－43
<x <83.
(1)求a 的值；
(2)若b ＝1，求－at ＋12＋3bt 的最大值．
解 (1)依题意知－43和8
3是方程|ax －2|＝6的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43a －2＝6，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪83a －2＝6，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝3或a ＝－6，a ＝3或a ＝－3
2，
∴a ＝3.
(2)－3t ＋12＋3t ＝3(4－t ＋t ) ≤3(1＋1)(4－t ＋t )＝26，
当且仅当4－t ＝t ，即t ＝2时等号成立． 所以－at ＋12＋3bt 的最大值为2 6.
真题体验
1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2
＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于
x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.
①
当x <－1时，①式化为x 2
－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2
－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；
当x >1时，①式化为x 2
＋x －4≤0， 从而1<x ≤－1＋172
.
所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪⎪
－1≤x ≤
－1＋17
2. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，
所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于 当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.
又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．
2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3
＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5
＋b 5
)≥4； (2)a ＋b ≤2.
证明 (1)(a ＋b )(a 5
＋b 5
)＝a 6
＋ab 5
＋a 5
b ＋b 6
＝(a 3
＋b 3)2
－2a 3b 3
＋ab (a 4
＋b 4
) ＝4＋ab (a 4
＋b 4
－2a 2b 2
) ＝4＋ab (a 2
－b 2)2
≥4.
(2)因为(a ＋b )3
＝a 3
＋3a 2
b ＋3ab 2
＋b 3
＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )
2
4(a ＋b )
＝2＋3(a ＋b )3
4
，
所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2. 押题预测
1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；
(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．
押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4. 当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4， 解得x ≥5
3
，所以x ≥2；
当－1
2<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，
即x ≥1，所以1≤x <2；
当x ≤－1
2时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，
解得x ≤－1，所以x ≤－1.
所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)应用绝对值不等式，可得
f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|.
因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立， 所以(f (x )＋|x －2|)min <3，
所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1， 故实数a 的取值范围为(－7，－1)． 2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.
(1)要使不等式1x ＋1
y
≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)求证：x 2＋2y 2
≥323
，并指出等号成立的条件．
押题依据 不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意，分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值． (1)解 因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y
4＝1.
由基本不等式，得 1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥12＋12
y x ·x
y
＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时取等号．
要使不等式1x ＋1
y
≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，
只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可． 构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|， 则等价于解不等式f (a )≤1. 因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，
3，a ≥1，
所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)证明 因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4， 所以y ＝4－x (0<x <4)， 于是x 2
＋2y 2
＝x 2
＋2(4－x )2
＝3x 2
－16x ＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋323≥323
，
当x ＝83，y ＝4
3
时等号成立．
A 组 专题通关
1．(2017届湖南省郴州市质检)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，g (x )＝a －|x －2|. (1)若关于x 的不等式f (x )<g (x )有解，求实数a 的取值范围；
(2)若关于x 的不等式f (x )<g (x )的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ，72，求a ＋b 的值． 解 (1)当x ＝2时，g (x )＝a －|x －2|取得最大值a ， ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －3| ≥4，当且仅当－1≤x ≤3，
f (x )取得最小值4，又∵关于x 的不等式f (x )<
g (x )有解，
∴a >4，即实数a 的取值范围是(4，＋∞)． (2)当x ＝7
2
时，f (x )＝5，
则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝－72＋a ＋2＝5，解得a ＝132， ∴当x <2时，g (x )＝x ＋9
2
，
令g (x )＝x ＋92＝4，得x ＝－1
2∈(－1,3)，
∴b ＝－1
2
，则a ＋b ＝6.
2．(2017届辽宁省锦州市质检)已知函数f (x )＝|x －a |.
(1)若对x ∈[0,4]不等式f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)当a ＝2时，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3，
∴不等式f (x )≤3的解集M ＝[a －3，a ＋3]，
根据题意知[0,4]⊆M ，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －3≤0，
a ＋3≥4，∴1≤a ≤3.
(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，
设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.
由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)， ∴g (x )的最小值为5，
因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 则实数m 的取值范围是(－∞，5]．
3．(2017届安徽省蚌埠市教学质检)已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝7，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|.
(1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；
(2)设max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥b ，b ，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2
－2x ＋n |}的最小值． 解 (1)f (x )≥(m ＋n )x ⇔|x －1|－|x ＋1|≥7x ，
当x ≤－1时，2≥7x ，恒成立，
当－1<x <1时，－2x ≥7x ，即－1<x ≤0；
当x ≥1时，－2≥7x ，即x ∈∅，
综上可知，不等式的解集为{x |x ≤0}．
(2)∵F ≥|x 2－4y ＋m |，F ≥|y 2－2x ＋n |，
∴2F ≥|x 2－4y ＋m |＋|y 2－2x ＋n |
≥|(x －1)2＋(y －2)2＋m ＋n －5|
＝|(x －1)2＋(y －2)2＋2|≥2，
∴F ≥1，F min ＝1.
4．(2017届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学二模)已知x ，y ∈R .
(1)若x ，y 满足|x －3y |＜12，|x ＋2y |＜16，求证：|x |＜310
； (2)求证：x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.
证明 (1)∵|5x |＝|2(x －3y )＋3(x ＋2y )|
≤|2(x －3y )|＋|3(x ＋2y )|<2×12＋3×16＝32
， ∴|x |<310
. (2)∵x 4＋16y 4－(2x 3y ＋8xy 3)
＝x 3(x －2y )－8y 3(x －2y )
＝(x －2y )(x 3－8y 3)
＝(x －2y )2(x 2＋2xy ＋4y 2)
＝(x －2y )2[(x 2＋2xy ＋y 2)＋3y 2]≥0，
∴x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.
5．(2017届云南省昆明市适应性检测)已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.
(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1；
(2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4
c 2≥1. 证明 (1)因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |，
a 2＋
b 2＋
c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，
所以|am |＋|bn |＋|cp |≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p
22
＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，
即|am ＋bn ＋cp |≤1.
(2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，
所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4
c 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4a 2＋n 4b 2＋p 4
c 2(a 2＋b 2＋c 2)
≥⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2a ·a ＋n 2b ·b ＋p
2c ·c 2
＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1.
所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4
c 2≥1.
B 组 能力提高
6．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝|x －1|.
(1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；
(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1
c 3＋3abc .
(1)解 令g (x )＝2f (x )－x ＝2|x －1|－x
＝⎩⎪⎨⎪⎧
x －2，x ≥1，－3x ＋2，x <1， 当x ≥1时，由x －2≥2，得x ≥4，
当x <1时，由－3x ＋2≥2，得x ≤0，
∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．
(2)证明 |x －1|－|x ＋5|≤|x －1－(x ＋5)|＝6，
又∵a ，b ，c >0，
∴1a 3＋1b 3＋1
c 3＋3abc ≥33
1
a 3·1
b 3·1
c 3＋3abc
＝3
abc ＋3abc ≥23
abc ·3abc ＝6，
当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，
∴|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .
7．(2017届四川省成都市二诊)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.
(1)求不等式f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r
＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值． 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －32≥0， 根据绝对值的几何意义，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32表示点(x,0)到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，0两点的距离之和．
接下来找出到A ，B 距离之和为4的点．
将点A 向左移动12
个单位长度到点A 1(－2,0)， 这时有|A 1A |＋|A 1B |＝4；
同理，将点B 向右移动12
个单位长度到点B 1(2,0)， 这时有|B 1A |＋|B 1B |＝4.
∴当x ∈[－2,2]时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －32≤4， 即f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r ，
由柯西不等式，得
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32 即⎝ ⎛⎭
⎪⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9， ∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94
. 上述不等式当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43
， 即p ＝14，q ＝38，r ＝34
时取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94
. 8．(2017·湖北省黄冈中学三模)设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.
(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12
； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．
解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于|x ＋1|－|x |≥12
， ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12
，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12
， 解得－14
≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12
，解得x ≥0. 综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，
∴b ≤f (x )max ，
∵f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |
≤|x ＋a －x ＋1－a |
＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，
当且仅当x ≥1－a 时取等号，
∴f (x )max ＝a ＋1－a ，
对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，
∴b ≤[a ＋1－a ]min ，
令g (a )＝a ＋1－a ，
∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )
＝1＋2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14
. ∵当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时单调递增，a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1时单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1，g (a )min ＝1， ∴b 的取值范围为(－∞，1]．。