2 0 1 0年北京数学高考试卷分析(文科).docx

2 0 1 0年北京数学高考试卷分析(文科)
2010年高考是北京市进入实施新课改实验Z后的第一次高考•今年的高考数学试题所折射出来的信息对今后高考复习的指导意义不言而喻，对高屮数学教学的导向作用也是非常重要的，因而这是一份格外引人关注的试卷.
一、试题总体印象
2010年高考数学试题延续了历年高考数学命题的经验，立足新课标教材，以教冇部颁发的《2009年全国考试大纲(课标实验版)》和北京教育考试院编写的《2010年普通高等学校招生全国统一考试北京卷考试说明》为依据.试卷中的大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基木方法，试题的起点低，入手容易，难易适屮；在考查数学传统的主干知识的同时•，注意体现新课改Z后新增知识的考杏要求.注重学科的内在联系和知识的综合运用，对能力的考杳强调探究性、应用性，多视点，多角度，多层次地考查了考生学习数学所具备的索养和潜力.这种命题的思路既有利于正确引导高屮数学教学的方向，揭示数学概念的木质，不讲解题的技巧，侣导用数学的思维进行教学，引导学生掌握丿IJ数学的思维解决数学问题，感受数学的思维过程；又冇利于为高校选拔优秀的人才, 为进一步实施新课改的实验起到了良好的促进作川.
二、试题主要特点
1.传统的主干知识的考查是本套试卷的主体，落脚点在对数学思维站质的考查，对数学本质认识程度的检验.
如理科解答题的15题的第二问，研究“函数/(x) = 2cos2x + sin2x-4cosx ”的最值问题.对学生的思维要求是：先要化简函数的解析式.化简的方向是统一函数的名称和角，最终日标是转化为熟悉的函数形式•如此，利用正余弦的平方关系将sin2x转化为cosx非常简单，而cos2x转化为cos2x只需用一次余弦二倍角公式就能完成.这样就得到了函数的最简单的形式：/(X)=3COS2X-4COSX-1.M利用二次函数的性质研究函数就非常简单了.
缺乏理性思维的学生盲目的套用公式，死记老师的“教诲”：见到二次就用降帚公式!
1—PQC 2 片
把cos2x转化为2cos2兀-1或l-2sin2x，同时sin2 x = --------------- --- ,为什么这样做不知道!
2
最后在计算上又出现错误导致失分.
又如理科解答题的18题的第二问：“求函数f(x) = In(\ + x)-x^-x2(k>0)的单调区间”.木题对学生的思维的基木要求是：用导数丁具研究函数的单调区间问题•思维的焦点在于求导Z后，对于导函数f ■⑴h'g + k二1)符号的讨论.
1+兀
由于l + x> 0是函数定义域的要求，可以将对f，（x）=x（kx——}.符号的讨论进一步
1 +兀
化简为貝需讨论g（x）二兀（也+ £-1）的符号了•而已知条件限定了 20,从而决定了函数的类型是一次函数或二次函数，也就决定了分类讨论标准分为两大类：£=0和£>0.当R〉0时，
二次函数的讨论涉及零点斗=0和/匕大小的比较，还需分
-k
0<k<\,k = \,k> 0三种情况.题目看似不难，也是在高三复习屮学生经常练习的题目，但
对学生数学的思维要求不低.真正理解数学问题实质的学生解答木题得心应手，对为什么要
进行讨论，如何讨论始终不得要领的学生，本题就要失去一定的分数•可以看出，这道题能
够把数学基础扎实，数学思维品质优秀的学生区分出来.
文科18题的第二问“若f（x） = ^x3+bx2 + cx + d（a > 0）在（―co, +oo）无极值点，求a 的取值范围”思维的要点是能够把这个条件转化为“/'（兀）》0在（-8,+x）内恒成立”，从而进一步转化为“ d > （）,△5 0 ” .学生一般都能先去求导，但求导Z后对导函数的要求是什么？如何用导函数来刻画“函数/0）在（-oo,+oo）无极值点”，就要难倒对数学问
题理解不深刻，不到位的考生.
2.多角度考查学生研究数学问题的意识和方法，対数学教学的导向有明确的指导意义.
以研究函数问题为例.木套试题（文科、理科）以解决问题、研究问题为命制试题的岀发点，全面考查学生掌握研究函数的一般方法.
（1）利用函数的解析式研究函数的性质：
会不会利用函数的解析式研究函数的性质，对于复杂的函数解析式有没有化简的意识，先化简再研究性质，是反应考生是否具备研究函数性质的基本要求.
如:文科第4题:若a,b是非零向量，且d丄b,|a|H|b|,则函数J\x） = （xa-^b）（<xb-a）是
（A）一次函数且是奇函数（B）—次函数但不是奇函数
（C）二次函数且是偶函数（D）二次函数但不是偶函数
第15题：（文科）已知函数/（x） = 2cos2x + sin2x
（I）求/（?）的值；（II）求/（X）的最大值和最小值
（理科）已知函数/（x） = 2cos2x + sin2x-4cosx.
7T
（I ）求/二（-）的值;（II ）求/（X）的最大值和最小值.
利用函数图彖的肓观性是研究函数性质的有效载体，在U知函数解析式的基础上做出2利用函数的图象研究函数的性质：
函数图彖的简图，能够迅速得到函数的冇关性质.
如：文科的第6题：给定函数①y = x2，②y = log! (x+1)，③y二|兀一11，④y = 2'",
2
期屮在区间(0, 1)上单调递减的函数序号是
(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④
x + y -11 > 0
理科的第7题：设不等式组3x-.y + 3>0 表示的平面区域为D,若指数函数尸Q的
5x-3y + 950
图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是
(A) (1,3] (B)[2,3] (C )(1,2] (D)[3, +oo)
(3)运用导数工具研究函数的性质.如文科、理科的18题.分析见上.
3.试卷突出数学学科内部的学科特点、学科的基本思想.
数学教学的目的就是要让学生掌握数学各个单元的思维特点，学会用数学的思维方法来思考数学问题，解决数学问题.
(1)如解决函数问题就要分析自变最的变化是如何影响因变量的变化的.
理科的第14题：如图放置的边长为1的正方形PABC沿尤轴滚动•设顶点P(x,y)的轨迹方程是
= f(x),则f(x)的最小正周期为_____________ ；
y
木题考查学生能否从白变量x的变化，即增加了多少个单位函数值不变来求出f(x) 的最小正周期•实际上，由题意并结合图象不难得出，当自变量x变化到兀+ 4时，，函数值不变，从而得出/(兀)的报小正周期为4.
(2)立体几何的思维特征是确定空间屮的点、线、面的位置关系，依赖于学生的空间想象能力的高低.
新课标下的立体几何更加关注学生的空间想彖能力的培养，试卷也通过三视图的考点对此进行了考查.题型新颖，H的明确•如理科的第：3题，文科的第4题.
文理科的第8题：如图，正方体ABCD・AdG9的棱长为2,动点E、F在棱人百上，动点P，Q 分别在棱AD, CD 上，若EF=1, A, E=x, DQ=y, DP= z ( x, y , z 大于零), 则四面体PEFQ的体积
(A)与x, y , z都有关(B)与x有关，与y, z无关
(C)与y有关，与x, z无关 (D)与z有关，与x, y无关
木题通过空间运动背景下的几何图形的体积问题，来考查学生空间想象能力和逻辑推理的能力，着眼于想，去分析，而不是计算•符合学科的思维特征，考查的目的明确.
(3)解析几何的思维特征就是要用代数的方法解决几何问题.思维的要点是：通过分析几何元素的几何特征进行有效的代数化，并通过代数的运算得出代数的结果，从而得到几何的结论.文科、理科的18题都是关注于解析几何基木思想的考査,学科的思维特征显著.
以理科的18题为例：在平面直角坐标系WP，点B与点A (-1,1 )关于原点0对称，P 是动点，且直线AP与BP的斜率Z积等于-
3
(门求动点P的轨迹方程；
(II)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M, N,问:是否存在点P使得APAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

本题儿何元素的儿何特征是：动点P的轨迹方稈为X2+3/=4(x^±l)，点P运动引起APAB与APM,的血积的变化，问是否存在点P使得APAB与△PMN的血积相等•问题的
焦点是P点.故有效的代数化方式是：设点Pg,y°),并以此建立直线AP和BP的方程，通过运算得出M,N的左坐标，进而通过APAB与APM,的面积相等得出P点的坐标.木题方法
很多，不同方法的区别源于对几何特征代数化的不同形式的选择.
可以看出：19题的平面解析儿何试题全面考查了学生用代数方法研究儿何问题的意识和能力，对平面解析几何教学屮准确把握学科的基木思想，在平面解析几何学习中体会学科的思维特征进行了正确的导向.
4.坚持能力立意,稳中有新
今年的数学试卷是北京市首次新课标高考，坚持能力立意，保持稳定成为大家的共识, 今年的数学高考试卷也充分体现了这一点.如试卷结构不变，考查内容的主干知识基木不变等.同时，为了激发学生的创造性思维，挖掘学生在数学方面的潜能，使优秀学生脱颖而出，满足不同的大学录取新生的要求，在保持稳定的基础上，试题也是注意创新且不标新，试题有新意但不怪异•如文科与理科的笫8题、第14题、笫20题.在创新的同时，也注意到了文理科学生思维的差异：文科更注重数学的形象性，理科突出数学的深刻性和抽彖性.
三、对中学教学的启示
当前数学复习中存在的诸多问题，如：记忆型的知识复习在课堂上还占•有很重要的地位；缺乏理性的思考与点拨，满足于大量的习题训练仍成为数学复习的主流形式.等等.因此，如何上好一节高质量的高三复习课是毎个有责任心的数学教师的追求，改变传习下来的一成不变的复习套路是提高复习效率，提高复习质量的不多的选择Z-.
从2010年的高考对屮学教学的重要启示是：高三复习课质量的提升点就在于理性地复习.就在于让我们的课堂充满智慧.
启示1紧紧抓住“核心知识”与“核心思想”是高考数学复习的最重要的特征；概括数学的思维特点和方法是高考复习的主旋律.
在复习屮，教师有必要帮助学生提高数学的思维品质，引导学生概括出每个单元数学知识的思维特点和思维方法，逐步树立信心去解决所面对的数学问题.
启示2每一节复习课的教学定位要准确.，课堂教学一定要能够揭示出数学的木质
我们的有限的课堂教学不能仅仅告诉学生这道题怎么解.而是应把教学的落脚点放在思维过稈的揭示上.每节课也许都要分析一些典型的例题，但教师要能够从如何审题，如何分析题，如何思考问题入手展开教学.题型的教学是最没有效果的教学，原因就在于这种教学只是在外在的形式上做文章，没有触到数学思维的木质的东西，是僵化的思维，是对学生理解数学问题、领会数学思维的误导.没有帮助学生概括数学的思维特点，没有从知识的整体上帮助学生去认识数学，是“讲题”式教学的最大的问题，在一定稈度上也反映了我们教师在备课时的不深入，不到位.
因此，课堂教学一定要能够揭不出数学的木质，要能够从观念上启发学生去深入的、科学的思考数学问题；通过我们的复习，让学生能够领悟到学习数学不是靠记忆的，学的好与不好与记与记不住公式没有必然的联系.作为教师，我们一定要清楚：最后阶段的复习质量和效率还是要靠每一节课的高质量来落实的；学生的数学思维水平的提高是要靠教师有思维含量的教学来造就的.
一、选择题
(1)B・ P = {0,l,2},M ={XG Z|-3<x<3},所以P[}M = {0,1,2},
(2) C.・・・A(6,5),B(-2,3),・・・C(2,4),故点C对应的复数是2+4i
(3) D.基木事件空间为
Q = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (33), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3)} 其屮{(1,2),(1,3),(2,3)}为满足b>a的基木事件，故所求概率为P = — =-
1
(4) A. /(x) = a • bx2 + (/? - a)x-a-b
V a ± by a-b = 0,又 & 工a , f(x) = (fe - a)x
故/(A)为一次函数，且为奇函数•
(5) C.
丄
(6) B.由①y =妒，④),=2曲在区间(0, 1)上为单调递增的函数，排除(A), (0, (D)
(7) A.设正方形的边长为由由余弦定理得：«2 =12 +12-21-1COS^=2-2COS^
故八边形的面积为S = 4x —xlxlxsina + a2 = 2 sin a — 2 cos a + 2
2
(8) C
设四面体PEFQ的体积为U ,则V=-S、EFQ• h
其屮力为P到平面EFQ的距离.・・• E,F,Qw平面A}B}CD ,.・・力为P到平面A.B.CD的
距离.连40与人£>交于M ,则AM丄平回A. B.CD, /. 丄 = -,/? = —x.
AM 2 2
又\EFQ底边EF上的高为平行线CD与AQ的距离，即为A}D的长2^2 ,故S沁=迈
.\V=-x
3
二、解答题
(9)x<2 y = log2 x
(10) 1
由余弦定理得：C2 =«2+/72-2^COS C,代入整理得：a2 +a-2 = 0,a = \
(11)一3
z 4/n-9 + l . . 亠
由已知得----
---- =4, \m一2| = 5,加=一3 或m = 7
:
由P⑺3)点的坐标不满足不等式2x +y <3,所以加=-3
(12)0. 030 3.
••・(0.005 + 0.010 + 0.020 + a + 0.035)xl0 = 1,.・.a = 0.030
•・•身高在［120, 130), ［130 , 140), ［140,150］三组内的学生人数分别为30人,20人,10人
1 O
•••身高在［140 , 150］内的学生屮选取的人数应为10X ------------- = 3
30 + 20 + 10
(13)(±4, 0) y = ±V3x
•，椭圆纟+牛1的焦点坐标为(±4, 0), 双曲线汩舒1的焦点坐标为(±4, 0)
在双|11|线—= 1 屮，"a，化 a =乙b — 2^3 ,
X b~ c = 4
因此，双Illi线的渐近线方稈为y = ±V3x
(14) 4 龙+ 1
当正方形沿x轴滚动一周时，P点纵坐标相等，此时横坐标x增加4个单位，所以/(%)的最小正周期为4
歹二/(X)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为三段圆弧
(x-l)2 + y2 =l(0<x<l,y>0). (x-2)2+ y2 =2(1 <x<3,y >0).
(x一3)2 + y2 = 1(3 < x < 4, y n 0)与x轴围成的面积，即为：
5寸小2+存（阿2+2冷11 +挣12" + 1
（9）已知函数l0g2%，%~2右图表示的是给定x 的值，求其对应的
2-x, x<2 函数值y 的程序框图，①处应填写 _________ ；②处应填写 _________
命题意图：本小题主要考資程序框图，程序框图的基木逻辑结构以及基木
算法语句.
正确解法：
菱形框是判断框，由于“是”下的执行框为y = 2-x,所以①处应
填写x<2,同时“否”下的执行框即②处应填写y = log 2
学生主要错误：
1、不理解判断框、执行框的形状、作用及使用规则，错答为①处填写2-x,x<2,②处填 ^log 2x,x>2.
2、 审错题或者不理解判断语句与“是”、“否”的对应关系，错答为①处填写x>2.
3、 学生对于赋值语句要胡变量二表囲的格式不清楚,有错吗成log 2 x;log 2x = ^fl<J.
（10）在△ABC 屮，若 b 二 1, c , ZC =——，则玄= ______________
命题遺图：本小题主要考查了解斜三角形以及正弦定理和余弦定理. 正确解法： 方法1：由余弦定理得V32=6Z 24-l-2-6/l-COS-y.解得d = l
Ar AP i 方法2：由正弦定理一=-一解得sinfi = -, sinB sinC 2
7T
又AABC 为锐角三角形，故B = — ,即AABC 为等腰三角形，所以a = l 6
方法3：做BC 边的垂线AH,交BC 与H,
在 RtAACH 屮，ZACH =—, 解得 CH=-,AH= —
2 2 故在RtAABH 中，由勾股定理解得B H =-
2
4、对数符号书写极具不规范, 比如 矽比坷丸（。

尹汀叫
开
结束 y m 2-x /转血》/
所以a = BH-CH =\.
学生主要错误：.
1、余弦定理的边角对应关系不清楚，特殊角的三角函数值掌握不正确，把b、c当做角C 的邻边，同时认为cos—,故6z2=V32+l-2-V3-bcos—= 7,错得a =护.
3 2 3
2、不看条件，乱用勾股数，认为6Z2=12+V32=4, :.a = 2.
3、一些学生对三角形的边角关系缺乏基木认识，不少同学错答为3,这样连三角形都构不
成呀.
（11）若点P（m, 3）到直线4x-3y + l = 0的距离为4,且点p在不等式2x + y <3表示
的平面区域内，则呼_________ .
命题意图：木小题主要考杏了点到肓线距离公式以及用二元一次不等式（组）表示平面区域.
正确解法: •・•点P 5, 3）到直线4x-3y + l = 0的距离为4
|4m-3x3 + l| ,
・・・J—, = 4解得m = 7,m = -3
・・•点P在不等式2x + y <3表示的平面区域内,
・••当m = 7时，（7,3）不是不等式2x + y <3的解，故舍去
当m = -3时,（-3,3）是不等式2x+y <3的解,故m = -3.
学生主要错误：
1、点到直线距离公式公式不会或者方稈解错，出现了很多答案，比如-7,3,2,1,-1,等等.
2、错误建立了不等式的解与区域的点的对应关系，错认为（7,3）在不等式表示的平面区域内，错答为m = 7 .
（12）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高
（单位：厘米）数据绘制成频率分布育方图（如
图）.由图屮数据可知a= _________ .若要从身高
在［120, 130 ） , ［130, 140 ） , ［140, 150］三组
内的学生屮，用分层抽样的方法选取18人参加一
项活动,则从身高在［140, 150］内的学生中选取
的人数应为 ________ .
命题意图：木小题主要考查直方图、分层抽样、用样木的频率分布估计总体分布.
正确解法：・・•组距为1 0 ,・••频率Z和/组距=0 . 1 ,・•・d二0.030
故身高在［120,130）, ［130 , 140）, ［140,150］三组内的学生比例为3:2:1
所以从身高在［140 , 150］内的学生屮选取的人数应为18x- = 3.
6
学生主要错误：.
1、对直方图的纵坐标表示频率/组距理解不清，谋以为d是身高在［120 , 130）的同学人数的频率，错答为6/= 0.30.
2、错因不明，估计是马虎，错答为a = 0.003.
3、部分学生对分层抽样的概念认识不清，认为身高在［140, 150］内的学生所占一比例就是人数，第二问错答为1.
X2 V2X2V2
（13） --------------------------------------------- L L知双曲线一-—二~ = 1的离心率为2,焦点与椭I员I --------------------------------------------- 1--— = 1的焦点相同，那么双a2 b225 9
曲线的焦点坐标为_________ :渐近线方程为__________ •
命题意图：木小题主要考杏椭圆、双曲线的标准方程及简单几何性质.
正确解法：
V2V2
椭圆25^1~ = i的焦点坐标为（一&0）,（4,0）,故双曲线的焦点坐标为（一4,0）,（4,0）
X2 y2 c 4
・・•双Illi线—-^ = 1的离心率为2,所以一=—=2解得a = 2
a~ b~ a a
又・.・戻二c2 _卅=i £.・・双||］|线渐近线方程为：y = ±-X = 土羽X
a
学生主要错误：.
1、焦点和渐近线方程只写一个，比如（4,0）,y = JIx.
2、对于方程屮“、b、c的几何意义极其关系认识不准确，错答焦点坐标为（3,0）,（5,0）.
3、概念不清，比如认为焦点在y轴上，错答为（0,-4）,（0,4）；渐近线方程认为是
y = ±—A*=±—x,英至认为是方程为y = ±馆;兀=±馆;土等等，
b 3
与理科相比，文科还多了如下形式的双曲线渐近线方程：±V3；y = x; y = 2x等等.
(14)
设顶点P(X, V)的纵坐标与横坐标的函数关系是
C B
V = f(x),则f(x)的最小正周期为:
V-广(兀)在其两个相邻零点间的图像与X轴所围
0P A1X 区域的血积为
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方
向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动是指以顶点A为屮心顺时针旋转，当顶点B 落在x轴上时，再以顶点B为屮心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以
沿着x轴负方向滚动.
命题意图：木小题主要考查函数的周期性，函数的零点，考杳学生分析和解决问题的能力.
正确解法：/(X)的图像如右图所示，故/(兀)的最
八
小正周期为4, y = /(x)在其两个相邻零点间的图像
与x轴所围区域的面积为
龙1兀•肱 1 7T12.
---- + - + ------ + — + --- =龙 + ]
4 2 4 2 4
学生主要错误：
1、想当然认为点P—直绕A转半圈，故错答为最
小正周期为龙.
2、由于文科这道题的正方形的初始位置比理科好理解一些，故文科答对第一问的不少，但第二问少人问津.有不少学生第二问错答为2兀，估计是认为P的轨迹为以2为半径的半个圆.
3、不审题或者不理解最小正周期的概念，错答最小正周期为4£, ±4好可惜.
教学建议
1、重视基木概念的落实，对于学生易错点要反复帮助学生理解概念的形成过程，比如框图的相关概念，不等式表示平面区域、分层抽样、最小正周期等等.
2、对于考纲知识层次要求为A的知识点同样要重视，不可以降低教学要求，比如双曲线的方程和几何性质.
3、对于教材可能使学生产生负迁移的内容要予以纠正，比如，A版教材在判断框中写条件时加了“？”，例如“ xv 2?”,所以学生就发挥成在判断框中填写“兀是否小于2”，“是否无小于2”，“x小于2否”，等等，
4、填空题不能反映学生思维过稈，所以对数学符号的理解、认识以及书写规范十分重要，比如学生想写焦点坐标为(-4,0)或(4,0),可是学生写成(-4,0)U(4,0)；又比如前面所举的对数的例了.
三、解答题
(15)(本小题共13分) 已知函数/(x) = 2cos2x + sin 2 x (I)
求/(◎的值；
(II) 求f(x)的最大值和最小值 命题意图：
本题主要考查三角函数求值和简单的三角变换。

要求学生能正确运用三角函数的概念和公式 (如二倍角公式和同角的三角函数关系等)对已知的三角函数进行化简、求值。

本题的考查 体现了考试说明的要求，关注考题的文理差异，考杏了运算能力。

正确解法：
(I) 解法-:4)= 2co S ^+S in^=-l +| = 4
(I )解法二：/(x) = 2(2 cos 2 x -1) + (1 - cos 2 x) =3cos 2 X -1,XG R
心7一1今
(II) 解法一：/(x) = 2(2 cos 2 x -1) + (1 - cos 2 x)
=3cos 2 x-\.xe R
因为COSXG [-1,1],所以，当cosx = ±l 时/(x)取最大值2；当cosx = OH 寸, 几兀)取最小值-1。

(II)解法二 /(x) = 2(l-2sin'x) + sin2x =2-3sin'x
T sinxe [-1,1],
・・・当sin x = 0吋，.f ⑴取最大值为2 ； 当siz = ±l 时，/⑴取最小值为-1
因为cos2x6 [-1,1],所以/(X )的最大值是2； /(X )的最小值是-1。

学生的主要错误：
TT
1、 思维混乱,胡乱编造公式;3sin — = sin 兀等 3、 缺少必要的推演过稈，或过稈错误而结论正确；
兀 2兀
4、 字迹潦草，导致白己把cos2x 与cos'x 弄混，cos 2(—) = cos ——、sin 2 x= 2sinxcosx
2 特殊角的三角函数值记错；
(II)解法三:
2 cos 2x +
1 -cos2x
2
2 2
寸寸；
5、马虎，在推导过程中“+”写成等，或将2cos2a = 2-2cos2a-l等，笔误多；
6、计算错误
教学建议：
1、三角函数是函数版块的重要组成部分，是重要的函数模型。

这部分的教学，应该“函数立意”，不能让学生误以为这部分的内容就是“背公式、套公式”，要让•学生真正地理解函数的概念。

如木题的笫一问就是已知自变量值求函数值。

变形不是必需的。

不论文科还是理科题，直接求值并不难。

2、三角变换的目的是化简，化简的最终结果是为了把问题木质的东西更好地体现出来，所以教学屮要讲清三角变换的目的、思路和方法，准确把握变换目标、变换对象，从宏观上把控变换方向。

一切为实现目标服务，避免机械、盲目地套用公式。

只有理解了变换的目的, 才能做恰当的变换。

3、重视基础知识和基木技能的落实，对于相对容易的教学内容应避免眼高手低。

4、关注运算能力的培养，解决学生“一算就错”的问题。

5、平时重视书写规范的训练，让学生学会有条理地书写、清晰地表达。

注意严谨的态度、实事求是的科学精神的养成教冇。

6、教学中处理好质与量的关系。

盲目的重复训练，不利于基础知识的掌握、基木技能的提高。

要注意解题思路的展示和解题后的反思。

讲一个题就把它讲透，同时加强学法指导。

16、已知｛a“｝为等差数列,且a3 =-6,a6 =0.
(I )求｛a“｝的通项公式;
(II)若等比数列｛仇｝满足$ =-8上2二⑷+勺+如，求仇｝的前乃项和公式.
命题意图
木题完全遵循了考试说明屮对数列的要求：理解等茅数列、等比数列的概念；掌握等养数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.在木题中，考查了数列最基础、最核心的内容，同时注重了问题的层次性和综合性.
正确解法
(I )
解法
设等普数列｛%｝的公弟为d.
因为a3 = -6, a6 =0
ci, + 2d = —6
所以｛解得a, =-10,r/= 2 q+5d=0 1
所以％ =-10 + (n-l)-2 = 2n-12
解法2：
设等并数列｛色｝的公寿为d.
由仇一 6 = 3d，得d = 2
又①=4 +2d =-6,得①=—10
所以 = % + (力—\)d = 2n— 12
解法3：
设等茅数列｛%｝的公羌为d.
由a6一如=3d ,得d = 2
所以，a n = a3 + (n - 3)d = 2n -12
(或a“ = a6 + (n - 6)d = 2n-12)
解法4：
由数列S”｝为等差数列，设a H=kn + b
彳Jc/3 =3R+b = _6
& = 6k + b = 0
,z \k = 2
解得
\b = -\2
所以a n =2/1-12
解法5：
因为数列S”｝为等差数列，
2a d =禺 + = —6 + 心
所以彳 4 3 5 5
2a5=©+。

6 =。

4
解得r 4 =~4
血=- 2
所以公差d =a 5-a 4 =-2-(-4) = 2 所以 G ? = —&d] = —10 所以 ％ =-10 + (/?-1)*2 = 2«-12 (II) 解法1：
设等比数列｛亿｝的公比为q
因为人—6f| + 禺 + 色=(—10) + (-8) + (—6) — —24 , /?] — —8 所以一 8q = —24 即q = 3
所以\b n }的前n 项和公式为S” = = 4(1- 3")
解法2：
前面同解法1,得到q = 3 所以仇=(一8)・3心
学生的主要错误 1・解题过程不规范
1.1在解答中没有相应的文字说明。

在解答题屮，如果出现已知屮没有的字母必须进行相应的文字说明。

在水题的两个问题屮分 别用到了字母〃和q ,绝大多数同学都没有说明d 和q 的含义。

1.2在解答中没有必要的公式说明和演算步骤，严重跳步。

如：①因为a 3 =-6,a 6 = 0,所以a { =-10,J = 2； ② ……解得€/, =-10,f/= 2,所以a n =2n-\2
③ 因为 a 3 - -6, a 6 =0 ,所以 Q] =-10卫2 =-&如=一6,為-_4,6/5 =一2 ,所以
a n =2/7-12；
④ 因为+ 他=—6 '所以 a4 = —4卫5 = —2 5
b\_b“q 1一9 -8-(-8) • 3" - 3
1-3
=4(1一3“)
⑤由a6 - a y = id ,得d = 2 9所以a n =2n-\2 ；
⑥真接写出％+5-1）〃 = 一10 + 0?-1）・2,对一10和2的出现没有任何说明；
1.3不知道最后结果应写成什么形式
如：①第1问的结果写到％=-10 + （〃一1）・2即结束，第2问的结果写到s” =X（1
「3」
即2
结束，不知道应把表达式写成最简形式；
②第1问屮已经算出⑷和〃，最后结果写成色=如+5-1）・2,或者
a H =_10 + （〃一l） d ,不知道把％和d全部代入;
2.基本概念不清、基本公式不熟
如：①将等差数列的通项公式记成：=/7d|+（n-l）・d ；或a n = a x +/?（/?-1）-6?
或a n =a l-（n-l） cl或a n = a ni + （m -n） d ,或根木就不知道通项公式；
②没有分清通项公式和递推公式，将结果写成：％+|-鑫=2；
③没有分清｛色｝和将结果写成:｛^,｝ = 2n-12；
④d,q不分,将通项公式写成：込=q+S-l）y；
A n― 1
⑤将等比数列的求和公式写成：s“或s“=仇（1一；
\-q — n>2
I
、
nb x = -8/? q = 1
⑥已经求出q = 3,还能写出式了：S” =< biQ-q"）..；
―——一=4（1 一3"） g H 1 〔1-9
⑦没有记住等比数列的求和公式，重新利用错位相减法推导，将问题复杂化；
⑧记住了公式S“ =，却不知q代表的含义，不知如何求q；
1-9
⑨将数列｛1\｝的前n项和写成S心；
⑩将通项公式和前〃项和公式的后面又添上了“wZ,或HW R,或n>2.ne N；
3・因马虎造成失分
3.1计算失误
如：①解方程组严+2〃=一6时，得到3〃=0一(_6) = _6；
+5〃=0
②= 2/? -12 = n - 6 ；
③S“ =4(1一3") = 4-12"；
④将方2 = % += (― 1 °)+ (―*) + (—6) = —24 -V-t'H
3.2抄错已知条件
如：①将。

3=-6写成。

3=6；
②将勺=一8写成= 8；
3.3审题失误
如：将第2问中的前/?项和求成了通项公式；
3.4习惯性错误
如：①习惯将等比数列的求和公式写成S“ =以二'-),导致将％=-10代入；
i_q
②将第2问的答案写成：｛仇｝的前〃项和为仇=久°二心)=4(1 —3”)
1-9
教学建议
数列作为定义域为正整数集(或它的有限了集)的特殊函数，是刻呦离散现象的数学模型，是高屮数学得重要内容，而且具有结论多、能力要求高、易与其它知识交汇等特点，经常作为高考题屮的压轴题。

北京数学卷屮的这道数列题，题目很简单，但是，学生试卷屮暴露出的问题也同样出乎意料。

学生在简单题当屮所出现的问题应该更加引起老师的重视。

从上面学生在试卷屮的问题可以看出学生的问题主要集屮在两个方面：一是学生机械套用定义、公式和性质，没有深刻理解定义、公式、性质及其相互关系；二是因紧张造成失误较多, 不能以平和的心态参加考试。

为减少以上问题的发生，提出以下问题仅供老师参考：
1.你在复习教学屮是否认真研究了《课程标准》和《考试说明》？有没有提高或降低
复习要求，扩大或缩小复习范围？
2・你在复习屮是否扔掉了课木，只重视复习资料？
3.你是否淸楚高屮数学屮各章的核心知识及方法？是否重视基础知识和基本方法的训练？
4.你是否教给了学生既要学会归纳类比又要学会严谨推理的思维方式?。