多思维切人，妙方法破解——2020年江苏卷第13题

３
犿 λ
＋
２ －犿 λ
＝１，即λ＝３ ２
．由
犃犘
＝９可得
犃犇
＝３，
而在 △犃犅犆 中，犃犅 ＝４，犃犆＝３，∠犅犃犆＝９０°，可得
犅犆 ＝５，设 犆犇 ＝狓，∠犆犇犃 ＝θ，则 犅犇 ＝５－狓，
∠犅犇犃 ＝π－θ．
根据余弦定理，可得ｃｏｓθ＝犃犇２２＋犃犇犆犇·２犆－犇犃犆２ ＝
狓 ６
，ｃｏｓ（π－θ）＝犃犇２２＋犃犇犅犇·２犅－犇犃犅２
（２犿 －３）（０，３）＝（－８犿，６犿 －９）．由 犃犘 ＝９，可得
６４犿２
＋
（６犿
－９）２
＝８１，解得
犿
＝０或
犿
２７ ＝２５．
当 犿 ＝０时，犘→犃 ＝（０，－９），此时点 犇 与点犆 重
合，可得犆犇 ＝０；
当犿 ＝２ ２７ ５时，直线犘犃 的方程为狔＝９－ ８犿６犿狓，直
线
犅犆
的方程为狓 ４
狔 ＋３
度问题．过程完整，步骤烦琐． 解法 ２：由 于 犃，犇，犘 三 点 共 线，可 设犘→犃 ＝
（ ） λ犘→犇（λ ＞０），结合犘→犃 ＝犿犘→犅 ＋
３ ２ －犿
犘→犆，可得
３
（ ） λ犘→犇 ＝犿犘→犅＋
３ ２ －犿
犘→犆，即犘→犇＝λ犿犘→犅＋
２ －犿 λ
３
·犘→犆，结合
犅，犇，犆
三点共线，可得犿 λ
图３
解法３：如图３所示，以点 犃 为坐标原点，分别以
犃犅，犃犆 所在直线为狓，狔 轴建立平面直角坐标系，则
（ ） 犅（４，０），犆（０，３）．由犘→犃 ＝犿犘→犅 ＋
３ ２ －犿
犘→犆，可
（ ） 得犘→犃＝犿（犘→犃＋犃→犅）＋
３ ２ －犿
（犘→犃＋犃→犆），整理
可得犘→犃 ＝－２犿犃→犅 ＋ （２犿 －３）犃→犆 ＝－２犿（４，０）＋
一、真题呈现
高考真题：（２０２０ 年 江苏卷第 １３ 题）如 图 １，在
△犃犅犆 中，犃犅 ＝４，犃犆＝３，∠犅犃犆＝９０°，犇 在边犅犆 上，延 长 犃犇 到 犘，使 得 犃犘 ＝９，若犘→犃 ＝犿犘→犅 ＋
（ ） ３ ２
－犿
犘→犆（犿 为常数），则犆犇 的长度是
．
图１ 此题是在平面向量基本定理背景下的一道平面 向量与解三角形的综合问题，借助平面向量基本定理 这一载体，结 合 系 数 的 巧 妙 设 置，进 而 得 以 确 定 线 段 的长 度 问 题．破 解 此 类 问 题 的 常 见 处 理 策 略 方 法 有： 构造三点共线模型、等和线模型、坐标系模型等，结合 平面向量的基底运算以及坐标的代数运算等来处理 与应用．
犃犅 ＝４，犃犆＝３，∠犅犃犆＝９０°，可得犅犆＝５．如图２，过
点犃 作犃犎 ⊥犆犇，垂足为 犎 ．利用三角函数的定义可
得ｃｏｓ∠犃犆犅
３ ＝５
，由于
犃犇
＝犃犆＝３，若点
犇
与点犆
重合，可得犆犇 ＝０．
若 点 犇 与 点 犆 不 重 合，可 得 犆犇 ＝２犆犎 ＝
１８ ２犃犆ｃｏｓ∠犃犆犅 ＝５．
（ ） ８
综上分析，可得犆犇 的长度是０或１５８．
故填答案：０或１５８．
点评：根据条 件，结 合 平 面 向 量 的 线 性 关 系 引 入
参数，结合 三 点 共 线 模 型 的 构 造 来 确 定 对 应 的 参 数
值，进而确定相应的线段长度，设出犆犇 的长度，利用
余弦定理的应用，结合关系式的求解来确定对应的长
＋
２ －犿 λ
＝１，
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教学 参谋 新颖试题 ２０２１年３月
即λ＝３２．由于犃犘＝９，可得犃犇＝３，而在 △犃犅犆 中，
教学
２０２１年３月 新颖试题
参谋
多思维切入，妙方法破解
———２０２０年江苏卷第１３题
? 江苏省宿迁中学 李志中
涉及平面向量与解三角形的综合问题，背景创新 多变，难度中等可控，方式新颖多样，一直备受高考命 题者 的 高 度 关 注．此 类 问 题 以 平 面 几 何 图 形 为 载 体， 结合平面向量的“数”与“形”的阐述，以及解三角形的 过渡，展 示 出 一 幅 美 妙 的 画 卷，往 往 是 历 年 高 考 中 的 一大亮点题．
二、真题破解
思维视角一：平面向量思维 解法 １：由 于 犃，犇，犘 三 点 共 线，可 设犘→犃 ＝
（ ） λ犘→犇（λ ＞０），结合犘→犃 ＝犿犘→犅 ＋
３ ２
－犿
犘→犆，可得
（ ） λ犘→犇＝犿犘→犅＋
３ ２
－犿
犘→犆，即犘→犇＝λ犿犘→犅＋
３ ２
－犿
λ
·犘→犆．若 犿 ≠０且犿 ≠ ３ ２，则犅，犇，犆 三点共线，可得
＝１，联立两直线方程可得狓＝
三、变式拓展
探究１：保 留 题 目 条 件，改 变 求 解 对 象，变 求 解
“犆犇 的长度”为“常数犿 的值”，问题得以简化，进而得
到以下对应的变式问题．难度在原有基础上有很大的
３犿
＝７ ２２ ５，狔＝３－２犿
＝
，那么犆犇 ＝
槡（ ） （ ） ７２ ２ ２１
２ １８
２５ ＋ ２５－３ ＝５．
综上分析，可得犆犇 的长度是０或１５８．
故填答案：０或１５８．
点评：根据条件，建立相应的平面直角坐标系，结 合平面向量的线性关系式的变形与转化，把犘→犃 的坐
标用参数犿 加以表示，借助条件中犃犘＝９列式求得犿 值，然后通过分类求得犇 的坐标，进而确定线段犆犇 的
长度问题．合理建系，坐标转化．
图２
综上分析，可得犆犇 的长度是０或１５８． 故填答案：０或１５８． 点评：根据条件，结 合 平 面 向 量 的 线 性 关 系 引 入 参数，结合三 点 共 线 模 型 的 构 造 来 确 定 对 应 的 参 数 值，进而确定相应的线段长度，结合辅助线的构造，利 用三角函数的定义加以转化，进而通过解直角三角形 来确定对应的长度问题．直观简捷，操作方便． 思维视角二：坐标思维
＝
（５－狓）２ －７， ６（５－狓）
结合ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（π－θ）＝０，有狓６ ＋ （５６－（５狓－）２狓－）７＝０，
解得狓＝１５８，即犆犇
１８ ＝５．
当 犿 ＝０时，此时有犘→犃 ＝３ ２犘→犆，点 犇 与点犆 重
合，可得犆犇 ＝０．
当犿
３ ＝２
时，此时有犘→犃 ＝３ ２犘→犅，点 犇
与点犅
重
合，可得犃犘 ＝１２，这与条件矛盾，舍去．