2020届宁夏长庆高级中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

2020届宁夏长庆高级中学高三上学期第一次月考数学（理）
试题
一、单选题
1．若集合{}
12A x x =-<，{13}B y Z y =∈-≤<，则A B = （ ）
A ．∅
B ．{}1,0,1,2-
C ．{}0,1,2
D ．{}1,0,1-
【答案】C
【解析】先求出集合A ，B 中元素的范围，再求A B
【详解】
解：由已知{}{
}
12=13A x x x x =-<-<<，{}{13}1,0,1,2B y Z y =∈-≤<=-， 所以{}0,1,2A
B =，故选：
C 。

【点睛】
本题考查交集的求法，要注意细节y Z ∈，是基础题。

2．设命题p:1,ln x x x ∀>>,则( ) A ．p ⌝:0001,ln x x x ∃>> ，是真命题 B ．p ⌝：0001,ln x x x ∃≤≤， 是假命题 C ．p ⌝：0001,ln x x x ∃>≤，是假命题 D ．p ⌝：0001,ln x x x ∃>≤， 是真命题
【答案】C
【解析】构造函数()ln ,
(1,)f x x x x =-∈+∞，判断其在(1,)+∞上大于零恒成立，
得出p 为真命题，故它的否定为假命题。

【详解】 设()ln ,
(1,)f x x x x =-∈+∞，
1
1
(),(1,),()0x x f x x f x x
x
''--=
∈+∞∴=
>， ()ln f x x x ∴=-在(1,)x ∈+∞上单调递增，()(1)1f x f ∴>=，即ln 1x x -> ，
ln 0x x ∴->，即1,ln x x x ∀>>为真命题，所以0001,ln x x x ∃>≤，是假命题
故选：C 。

【点睛】
本题考命题的否定的书写规则，以及原命题和命题的否定的真假关系，是一道基础题。

3．函数(1)f x +的定义域为[]-11，，则函数(2)f x 的定义域为（ ） ( )
A ．[]-4,0
B ．[]-1,0
C ．[]-2,2
D ．[]0,1
【答案】D
【解析】由(1)f x +的定义域为[]-11，，求得()f x 的定义域，再由定义域的含义，计算
即可得到求得所求(2)f x 的定义域． 【详解】
解：(1)f x +的定义域为[]-11，，即为11x -≤≤，
可得012x ≤+≤，则()f x 的定义域为[]0,2，
由022x ≤≤，可得01x ≤≤，即(2)f x 的定义域为[]0,1． 故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的定义域的求法，注意运用定义域的定义，考查运算能力，属于基础题．
4．函数1()2f x ⎛= ⎪⎝⎭
的单调减区间是（ ） A ．(,2]-∞- B ．(,1]-∞-
C ．[-1,)+∞
D ．[0,)+∞
【答案】D
【解析】先求出函数的定义域，在定义域内，根据复合函数单调性的判断规则来判断。

【详解】
解：先研究函数的定义域，由已知220x x +≥，即2x -≤或0x ≥，
当x ∈(,2]-∞-12⎛ ⎪⎝⎭
当[0,)x ∈+∞12⎛ ⎪⎝⎭
单调递减。

故选：D 。

【点睛】
根据复合函数的单调性，同增异减来判断函数的单调性，是基础题。

5．函数[]2
1
1,1y x x x =-+∈-，的最大值与最小值之和 （ ） A ．1.75 B ．3.75 C ．4 D ．5
【答案】B
【解析】先求出函数的对称轴，判断其在[]1,1-上的单调性，根据单调性求出最值，即可得出结果。

【详解】
解：函数2
1y x x =-+的对称轴为12x =，其在1
(1,)2-上单调递减，在1(,1)2
上单调
递增，
22max min 113(1)(1)13,()1224y y ∴=---+==-+=，max min 3
3+=3.754
y y ∴+=
故选：B 。

【点睛】
本题考查二次函数在给定区间上的单调性及最值，是基础题。

6．下列命题中为真命题的是( )
A ．命题“若1x =，则20x x -=”的否命题
B ．命题“若x y >，则||x y >”的逆命题
C ．命题“若21x ≤，则1x ≤”的否命题
D ．命题“若a b >，则
11
a b
<”的逆否命题 【答案】B
【解析】写出每个命题要求的命题，然后判断真假。

【详解】
A. 命题“若1x =，则20x x -=”的否命题为“若1x ≠，则20x x -≠”，假命题，因为
0x =时，20x x -=。

B. 命题“若x y >，则||x y >”的逆命题为“若||x y >，则x y >”，真命题。

C. 命题“若21x ≤，则1x ≤”的否命题为“若21x >，则1x >”，假命题，比如2x =-时。

D. 命题“若a b >，则
11a b <”的逆否命题为“若11
a b
≥，则a b ≤”，假命题，比如2,1a b ==-时。

【点睛】
本题考查四种命题及真假判断，是基础题。

7．已知函数22
log ,1
()3,1
x x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩则((1))f f -= ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B
【解析】推导出2
(1)(1)34f -=-+=，从而2((1))(4)log 4f f f -==，
由此能求出结果。

【详解】 解：
函数22
log ,1()3,1
x x f x x x ≥⎧=⎨
+<⎩，2
(1)(1)34f ∴-=-+=， 2((1))(4)log 4=2f f f -==，故选：B 。

【点睛】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．函数131
x
y x -=
+的值域为 （ ） A ．{}
-3y y R y ∈≠且 B ．{}
0y y R y ∈≠且 C ．{}1y y R y ∈≠且 D ．{}
4y y R y ∈≠且
【答案】A
【解析】根据分式函数的性质进行求解即可． 【详解】 解：1313(1)34
33111
x x y x x x --++=
==-+≠-+++ 即函数的值域为{}
-3y y R y ∈≠且，故选：A 。

【点睛】
本题主要考查函数值域的求解，分离常数是解决本题的关键． 9．ABC ∆中，sin sin A B >是a b >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
解：在三角形中，由正弦定理
sin sin a b A B
=，得sin sin a A b B =，若sin 1sin a A
b B =
>可得sin sin a b A B >⇔>，即sin sin A B >是a b >的充要条件，故选：C 。

【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据正弦定理是解决本题的关键．
10．函数f （x ）=1232,(2)
{log (1),(2)
x e x x x -<-≥，则不等式f （x ）＞2的解集为（ ）
A ．(2,4)-
B ．（4-，-2 ）∪（1-，2 ）
C ．（1，2+∞）
D ．，+∞）
【答案】C 【解析】当时，有，又因为
，所以为增函
数，则有
，故有
；当
时，有
，因为是增函数，所以有
，解得
，故有。

综上。

故选C
11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0]2，
上是增函数，则
A.(25)(11)(80)f f f -<<
B.(80)(11)(25)f f f <<-
C.(11)(80)(25)f f f <<-
D.(25)(80)(11)f f f -<<
【答案】D
【解析】由()()4f x f x -=-，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小. 【详解】
因为()f x 满足()()4f x f x -=-，所以()()8f x f x -=， 所以函数()f x 是以8为周期的周期函数，
则()()()()()()251,800,113f f f f f f -=-==. 由()f x 是定义在R 上的奇函数，
且满足()()4f x f x -=-，得()()()()11311f f f f ==--=.
因为()f x 在区间[]
02，
上是增函数，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()f x 在区间[]
22-，
上是增函数， 所以()()()101f f f -<<，即()()()258011f f f -<<. 【点睛】
在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，
，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，
然后根据单调性比较大小．
12．对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能是 A ．4和6 B ．3和1
C ．2和4
D ．1和2
【答案】D
【解析】试题分析：求出f （1）和f （﹣1），求出它们的和；由于c ∈Z ，判断出f （1）+f （﹣1）为偶数． 解：f （1）=asin1+b+c ① f （﹣1）=﹣asin1﹣b+c ② ①+②得：
f （1）+f （﹣1）=2c ∵c ∈Z
∴f （1）+f （﹣1）是偶数 故选：D
【考点】函数的值．
二、填空题
13．函数2ln(34)
()3
x x g x x -++=-定义域为______________．
【答案】()()1,33,4-⋃
【解析】直接由对数的真数大于0且分式的分母不等于0，求解即可得答案． 【详解】
解：由已知得2340
30
x x x ⎧-++>⎨-≠⎩，解得14x -<<且3x ≠，
所以函数2ln(34)
()3
x x g x x -++=-定义域为()()1,33,4-⋃，
故答案为：()()1,33,4-⋃。

【点睛】
本题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数函数的性质，是基础题． 14．函数()()
2log 31x
f x =+的值域为__________________．
【答案】()0.+∞
【解析】试题分析：函数定义域为R ，
30311x x >∴+>，函数是增函数，所以
()0f x >值域为()0.+∞
【考点】函数单调性与值域
15．定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时。

()(1)f x x x =-，则当10x -≤≤时，()f x =________________. 【答案】(1)
()2
x x f x +=-
【解析】当10x -≤≤，则011x ≤+≤，故(1)(1)(11)(1)f x x x x x +=+--=-+ 又(1)2()f x f x +=，所以(1)
()2
x x f x +=-
【考点定位】考查抽象函数解析式的求解.
16．已知条件()2:log 10p x -<，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(,0]-∞ 【解析】【详解】
条件p :log 2(1−x )<0，∴0<1−x <1，解得0<x <1. 条件q :x >a ，
若p 是q 的充分不必要条件， 根据包含关系可得a ⩽0. 则实数a 的取值范围是：(−∞,0]. 故答案为(−∞,0].
三、解答题
17．已知集合{}{}
24,131A x x B x m x m =-<<=+<<-
（1）当2m =时，命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p q ⌝∧为真命题，求x 范围； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)[)4,5x ∈
；
（2）5
,3
m ⎛⎤
∈-∞ ⎥⎝
⎦
【解析】（1）根据p q ⌝∧为真命题，得p 为假命题，q 为真命题，所以,x A x B ∉∈，
即可得出答案。

（2）由B A ⊆，讨论①当B =∅时，②当B ≠∅时，运算即可得解． 【详解】
（1）当2m =时，{}
35B x x =<<，
p q ⌝∧为真命题，得p 为假命题，q 为真命题。

R ()x A B ∴∈⋂ð，由于R (,2][4,)A =-∞-⋃+∞ð， R ()[4,5)A B ∴⋂=ð ，
[)4,5x ∴∈
（2）
B A ⊆
①当B =∅，有131m m +≥-，得1m £，
②当B ≠∅，有13112314
m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，解得5
13m <≤，
综合得：5,3
m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦
【点睛】
本题考查了集合的关系及集合间的运算，属中档题 18．已知p ：x 2≤5x －4，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0. (1)若p 是真命题，求对应x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）x 的取值范围为[1,4]（2）a 的取值范围为[1,4]
【解析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求命题p 中对应x 的范围； （2）利用p 是q 的必要不充分条件，建立条件关系，即可求a 的取值范围． 【详解】 1)因为x 2≤5x －4， 所以x 2
－5x ＋4≤0，
即(x －1)(x －4)≤0，所以1≤x≤4， 即对应x 的取值范围为[1,4]． (2)设p 对应的集合为A ＝{x|1≤x≤4}． 由x 2
－(a ＋2)x ＋2a≤0， 得(x －2)(x －a)≤0.
当a ＝2时，不等式的解为x ＝2，对应的解集为B ＝{2}； 当a>2时，不等式的解为2≤x≤a ，对应的解集为B ＝{x|2≤x≤a}； 当a<2时，不等式的解为a≤x≤2，对应的解集为B ＝{x|a≤x≤2}． 若p 是q 的必要不充分条件，则B ⊂A ， 当a ＝2时，满足条件； 当a>2时，因为A ＝{x|1≤x≤4}， B ＝{x|2≤x≤a}，
要使B ⊂A ，则满足2<a≤4；
当a<2时，因为A ＝{x|1≤x≤4}，B ＝{x|a≤x≤2}，要使B ⊂A ，则满足1≤a<2. 综上，a 的取值范围为[1,4]． 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，以及充分条件和必要条件的应用，涉及的知识点较多．
19．（1）对R 上的奇函数()f x ，当0x <时，有2
()21f x x x =--，求()f x ；
（2）()f x 是定义在[]-2,2上的减函数，且2
()(22)f a a f a ->-，求实数a 的取值范
围.
【答案】（1）2221,0
()0,021,0x x x f x x x x x ⎧--+>⎪
==⎨⎪--<⎩
；（2）(1,2)
【解析】（1）根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解即可． （2）利用函数的单调性，得到自变量大小的不等式，解不等式即可． 【详解】
解：（1）当0x >时，则0x -<，故22)2()()()[121(]x x x f f x x x -=--=---=---+ 当0x =时，(0)(0),(0)0f f f =--∴=
2221,0
()0,021,0x x x f x x x x x ⎧--+>⎪
∴==⎨⎪--<⎩
（2）()f x 是定义在[]-2,2上的减函数，且2
()(22)f a a f a ->-
2222222222a a a a a a ⎧-<-⎪
∴-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩
，解得：12a <<
即a 的取值范围为(1,2) 【点睛】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数的奇偶性以及单调性是解决本题的关键
20．已知二次函数f （x ）满足条件f （0）＝1，及f （x +1）﹣f （x ）＝2x ． （1）求函数f （x ）的解析式；
（2）在区间[﹣1，1]上，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +m 的图象上方，试确定实数m 的取值范围．
【答案】（1）()2
1f x x x =-+（2）m ＜﹣1
【解析】（1）根据二次函数f （x ）满足条件f （0）＝1，及f （x +1）﹣f （x ）＝2x ，可求f （1）＝1，f （﹣1）＝3，从而可求函数f （x ）的解析式；
（2）在区间[﹣1，1]上，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +m 的图象上方，等价于x 2
﹣x +1＞2x +m 在[﹣1，1]上恒成立，等价于x 2
﹣3x +1＞m 在[﹣1，1]上恒成立，求出左边函数
的最小值，即可求得实数m 的取值范围． 【详解】
解：（1）令x ＝0，则∵f （x +1）﹣f （x ）＝2x ， ∴f （1）﹣f （0）＝0， ∴f （1）＝f （0） ∵f （0）＝1 ∴f （1）＝1，
∴二次函数图象的对称轴为1
2
x =
． ∴可令二次函数的解析式为f （x ）2
1()2
y a x h ==-+． 令x ＝﹣1，则∵f （x +1）﹣f （x ）＝2x ， ∴f （0）﹣f （﹣1）＝﹣2 ∵f （0）＝1 ∴f （﹣1）＝3，
∴1
14934
a h a h ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
∴a ＝1，3
4
h =
∴二次函数的解析式为()2213
()124
y f x x x x ==-+
=-+ （2）∵在区间[﹣1，1]上，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +m 的图象上方 ∴x 2﹣x +1＞2x +m 在[﹣1，1]上恒成立 ∴x 2﹣3x +1＞m 在[﹣1，1]上恒成立 令g （x ）＝x 2
﹣3x +1，则g （x ）＝（x 32-
）254
- ∴g （x ）＝x 2﹣3x +1在[﹣1，1]上单调递减， ∴g （x ）min ＝g （1）＝﹣1， ∴m ＜﹣1. 【点睛】
本题重点考查二次函数解析式的求解，考查恒成立问题的处理，解题的关键是将在区间[﹣1，1]上，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +m 的图象上方，转化为x 2﹣3x +1＞m 在[﹣1，1]上恒成立． 21．已知函数
若
，求
的单调区间；
是否存在实数a ，使
的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（I ）单调增区间为，单调减区间为
；（II ）存在实数
，使
的最
小值为0. 【解析】根据
代入函数表达式，解出，再代入原函数得
，求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义
域内的单调性，即可得函数的单调区间；
先假设存在实数a ，使
的最小值为0，
根据函数表达式可得真数恒成立，且真数t 的最小值恰好是1，再结
合二次函数的性质，可列出式子：
，由此解出
，从而得到
存在a 的值，使的最小值为0．
【详解】
且
，
可得函数
真数为
函数定义域为
令
可得：当时，t 为关于x 的增函数；
当时，t 为关于x 的减函数．
底数为
函数
的单调增区间为，单调减区间为
设存在实数a ，使的最小值为0，
由于底数为
，可得真数
恒成立，
且真数t 的最小值恰好是1， 即a 为正数，且当
时，t 值为1．
因此存在实数，使的最小值为0．
【点睛】
本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题．
22．已知直线的参数方程为132x t
y t =+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为
2sin 16cos ρθθ=，直线与曲线C 交于A 、B 两点，点P(1,3).
（1）求直线的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求AB 的值.
【答案】（1）直线：21y x =+，曲线C ：2
16y x =；（2
）【解析】（1）利用三种方程的转化方法，求出直线的普通方程与曲线C 的直角坐标方程即可；
（2
）直线的参数方程改写为13x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，代入2
16y x =，利用参数方程的几何意
义求AB 的值。

【详解】
（1）直线的普通方程21y x =+ ，曲线C 的直角坐标方程为2
16y x =，
（2
）直线的参数方程改写为135x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
，代入2
16y x =，
24705t --=
，12t t +，12354t t =-，
AB =
=【点睛】
本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题． 23．已知()11f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）12x x ⎧⎫
>
⎨⎬⎩⎭
；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段
将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式
()1f x >的解集为12x x ⎧
⎫⎨⎬⎩
⎭；
(2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,
2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
故不等式()1f x >的解集为12x x
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<
，所以2
1a
≥，故02a <≤．
0,2．
综上，a的取值范围为(]
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.。