湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟考试数学文试

长郡中学2017届高三五月模拟考试
文科数学试卷（原创）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合{}20,1,2,3,|
0x A B x x -⎧⎫
==≥⎨⎬⎩⎭
，则A B = A. {}0,1,2 B. {}1,2 C. {}2,3 D.{}0,2,3
2.设复数z 满足()11i z -=+（i 为虚数单位），则z 在复
平面内对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D. 第四象限 3.某人到甲、乙两市一个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘制成了如图所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为 A. 4 B. 3 C. 2 D.1
4.给出下列四个命题，其中真命题的个数是
①回归直线ˆˆˆy
bx a =+恒过样本中心点()
,x y ； ②“6x =”是“2
560x x --=”的必要不充分条件；
③“0x R ∃∈,使得200230x x ++<”的否定是“x R ∀∈,均有
2230x x ++>”；
④命题“p q ∨”是真命题，则“p q ⌝∧⌝”也是真命题.
A. 0
B. 1
C. 2
D.3
5.若正整数N 除以正整数m 后所得的余数为n,则记为
()mod N n m =，
例如()104mod6=.如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的：孙子定理的某一环节，执行该框图，输入2,3,5a b c ===，则输出的N = A. 6 B. 9 C. 12 D.21
6.已知,A B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，
52
2,33
AB OC OA OB ==-,若M 是线段AB 的中点，则
OC OM ⋅的值为
A. 3
B.
7. “1m =-”是“直线()1:2110l mx m y +-+=与直线
2:330l x my ++=垂直”的
A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 8.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A.
323 B. 503 C. 643 D.803
9.若函数()2
f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图像是
10.已知()2
sin cos 2
f x x x x =-
，将()f x 的图象向右平移6π个单位，再向上平
移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若对任意实数x ，都有()()g a x g a x -=+成立，则4g a π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
A. 12+
B. 1
C. 12
- D.0 11.双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上一点，且
120PF PF ⋅=，若12,126PF F ππ⎡⎤
∠∈⎢⎥⎣⎦
，则双曲线离心率的取值范围是
A. 1⎡⎤⎣⎦
B. 2,1⎡⎤⎣⎦
C. 2⎤⎦
D.1⎤⎦
12.设实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212
x y z
+-的最大值为
A. 0
B. 1
C. 9
4
D.3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.《九章算术》中有“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一次。

大鼠日自倍，小鼠日自半。

问几何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小鼠第一天也进一尺，以后每天减半，如果墙厚31
6432
， 天后两只老鼠打穿城墙. 14.在锐角ABC ∆中，34,sin ,cos 66565B A B π
ππ⎛⎫⎛
⎫>
+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,则()sin A B += .
15.过定点()2,0-的直线l 与曲线()()2
2
:2403C x y x -+=≤≤交于不同的两点，则直线l
的斜率的取值范围为 .
16.某高新技术公司要生产一批新研发分A 款手机，生产一台A 款手机需要甲材料3kg ，乙材料1kg ，并需要花费1天时间，生产一台B 款手机需要甲材料1kg ，乙材料3kg ，也需要花费1天时间.已知生产一台A 款手机利润是1000元，生产一台B 款手机利润是2000元，公司目前有甲、乙两种材料各300kg ，则在不超过120天的情况下，公司生产两款手机的最大利润是 元.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若93581,14.S a a =+=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=，若{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <.
18.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,90,ABC ACB M ∠=是AB 的中点，1 2.AC BC CC ===
（1）求证：平面1ACM ⊥平面11ABB A ； （2）求点M 到平面11ACB 的距离.
19.（本题满分12分）
长郡中学学习兴趣小组通过随机询问某地100名高中生在选择座位时是否挑同桌.得到如下22⨯列联表：
（1）从这50名男生中按是否挑同桌采用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名同学中至少有2名要挑同桌的概率；
（2）根据以上22⨯列联表，是否有99%的把握认为“性别”与在选择座位时是否挑同桌有关？
下面的临界值表供参考：
20.（本题满分12分）已知抛物线2
:4E y x =的准线为l ，焦点为F ，O 为坐标原点. （1）求过点,O F ，且与l 相切的圆的方程；
（2）过F 的直线交抛物线E 与,A B 两点，A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点.
21.（本题满分12分）已知函数()()32
23log 0,132
a f x x x x a a =
-+>≠为定义域上的增函数，()f x '是函数()f x 的导数，()f x '且的最小值小于等于0. （1）求a 的值；
（2）设函数()()3
24ln 63
g x f x x x x =-
-+，且()()120g x g x +=，求证：
122x x +≥
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数），以坐标原点
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为.4πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（1）曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）设直线l 与曲线C 交于A,B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4
π
α=
时，
PA PB +的值.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数(),.f x x a a R =-∈
（1）当1a =时，求不等式()256f x x ++≥的解集；
（2）若函数()()3g x f x x =--的值域为A ，且[]1,2A -⊆，求实数a 的取值范围.。